Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 13 Modelli media varianza con N titoli.

Presentazione sul tema: "Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 13 Modelli media varianza con N titoli."— Transcript della presentazione:

1 Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 13 Modelli media varianza con N titoli

2 Modello con N titoli rischiosi In un modello con N titoli rischiosi la determinazione della frontiera efficiente conduce a una relazione non lineare, un ramo di iperbole (una parabola se il rischio è misurato con la varianza) La determinazione della frontiera efficiente consente di stabilire il principio di separazione dei fondi: Rendimento e rischio di un qualsiasi portafoglio sulla frontiera efficiente possono essere ottenuti costruendo un portafoglio di due portafogli efficienti Perché due portafogli? Perché due sono i vincoli del problema di ottimizzazione. Ricordiamo che cerchiamo i portafogli di minima varianza sotto il vincolo che 1.La ricchezza sia tutta investita 2.Il rendimento atteso del portafoglio sia pari a un target predefinito Se includessimo più vincoli nell’algoritmo di determinazione della frontiera efficiente otterremmo un numero maggiore di fondi

3 Minimizzazione della varianza Assumiamo di poter investire un’unità di ricchezza, in un insieme di N titoli rischiosi, con matrice di covarianza V. Esempio: Individuiamo il portafoglio con la varianza minore possibile (e è il vettore unità)

4 Il Lagrangiano Il problema è scritto come il lagrangiano

5 La soluzione La soluzione è

6 Frontiera efficiente Introduciamo Assumiamo di investire un’unità di ricchezza, in un insieme di N titoli rischiosi, con rendimento atteso dato dal vettore  matrice di covarianza V. Le migliori allocazioni del portafoglio possibili sono l’insieme dei vettori w che risolvono il problema

7 Il Lagrangiano Il problema è scritto come il lagrangiano

8 La soluzione La soluzione è …e dobbiamo ricavare i moltiplicatori di Lagrange dai vincoli

9 Moltiplicatori di Lagrange I moltiplicatori di Lagrange sono ottenuti da dove abbiamo definito

10 La soluzione La soluzione è alla fine

11 La frontiera efficiente La relazione media-varianza è

12 La frontiera efficiente con N titoli rischiosi

13 Modello con N titoli rischiosi ed uno privo di rischio Assumiamo di investire un’unità di ricchezza, in un insieme di N attività rischiose, con rendimento atteso dato dal vettore  e matrice di covarianza V e un titolo non rischioso che garantisce un rendimento pari a R f Il problema di allocazione del portafoglio

14 La soluzione La soluzione è ottenuta con la stessa tecnica di prima

15 Frontiera efficiente Recuperiamo il moltiplicatore di Lagrange sostituendo i vincoli nella relazione della varianza

16 La frontiera efficiente