Analisi delle Decisioni Esistenza della funzione di utilita’

Analisi delle Decisioni Esistenza della funzione di utilita’
Chiara Mocenni

Esistenza della funzione u
Una simile funzione u(•) esiste? Assiomi “della razionalità” riguardanti il comportamento dei decisori (Von Neumann e Morgenstern 1947) Riprendiamo qui l’obiezione, accennata alcune slide addietro, che un decisore sia effettivamente in grado di esprimere una propria preferenza tra due lotterie qualsiasi. (Si pensi al caso in cui occorra confrontare due lotterie, ciascuna con 10 risultati diversi…). Come ora vedremo, quanto detto trae legittimità dal fatto che in realtà il decisore non deve affatto esprimere quantitativamente tali preferenze, ma solo accettare la validità, per sé, di un insieme di assiomi riguardanti le proprie preferenze. Dall’accettazione di tali assiomi, come vedremo, discende matematicamente l’esistenza di una funzione di utilità. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Esistenza della funzione u
X è l’insieme dei risultati certi x1, x2 , …, xi,…, xr L rappresenta l’insieme di tutte le lotterie che si possono definire su X Per gli scopi che seguono, indichiamo in questo modo risultati certi e preferenze, sempre tenendo conto del fatto che i risultati certi possono sempre vedersi come particolari lotterie. Andremo ora a considerare quelli che sono spesso chiamati assiomi della razionalità, dovuti a Von Neumann e Morgenstern. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
1. Ordinamento debole Dati due elementi a, b  A è sempre possibile confrontarli, ossia vale una tra queste: a  b b  a a ~ b Inoltre a  b, b  c implica a  c Di questo abbiamo già parlato; in più c’è da osservare che supponiamo valga la transitività delle preferenze, cosa questa che non dovrebbe suscitare particolari obiezioni. Se considero il risultato a migliore di b, e b migliore di c, a maggior ragione direi che a è meglio di c. Se un decisore accetta questo fatto, per lui vale l’assioma di ordinamento debole Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

2. Non banalità Si consideri l’insieme X dei possibili risultati certi x1  x2  …  xr allora x1  xr >>> non tutti i risultati sono ugualmente appetibili Supponiamo soltanto che non tutti i risultati siano ugualmente appetibili (altrimenti qualsiasi problema di decisione perde di significato). Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

3. Riduzione di lotterie composite (I)
Consideriamo una lotteria composita (cioè una lotteria i cui “premi” sono altre lotterie) L = <q1,l1;q2,l2;…;qs,ls> che dà diritto alla partecipazione a s lotterie semplici, t.c. Lj=<pj1,x1;pj2,x2;…;pjr,xr>, j = 1,…,s. Sia L’ = <p1,x1;p2,x2;…;pr,xr> t.c. pi = q1p1i+q2p2i+…+qspsi, i = 1,…,r. Allora L  L’ Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Le preferenze del decisore dipendono solo dai risultati finali e dalle probabilità con cui questi possono essere ottenuti e non dalle modalità con cui vengono di volta in volta organizzate le lotterie. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

3. Riduzione di lotterie composite (II)
Consideriamo la lotteria L = <0,x1;0,x2;…;1,xi;…;0,xr> che assegna il premio xi con probabilità 1. Allora xi  L Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Questo corollario dell’assioma 3 permette di stabilire che il decisore non “prova gusto” semplicemente nel partecipare ad una lotteria, ma unicamente nel vincere il premio che vi è associato. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

3. Lotterie composite (esempio)
Una lotteria i cui “premi” sono altre lotterie 0.5 0.4 0.6 0.3 0.7 +10 -10 +20 -20 L 0.2 0.5 0.3 L1 L2 L3 Si consideri qui una lotteria i cui “premi” sono biglietti di ingresso in altre lotterie. Questa è una lotteria composita. Se ci chiediamo, ad esempio, con quale probabilità si verificherà il risultato +20, essa è data da 0.3*0.4=0.12, in quanto l’unica possibilità è che l’esito della lotteria L sia L2 e che questa dia come risultato appunto +20. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Lotterie composite Probabilità di avere +10: 0.5 0.4 0.6 0.3 0.7 +10 -10 +20 -20 0.5 L1 L2 L3 L 0.2 0.5 0.3 0.2 Invece, osservando che il risultato +10 può essere ottenuto in due modi diversi, concludiamo che la probabilità di tale risultato è 0.2* *0.3=0.25. 0.3 0.5 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

0.2 * * 0.3 = 0.25 0.5 0.4 0.6 0.3 0.7 +10 -10 +20 -20 0.5 L1 L2 L3 L 0.2 0.5 0.3 0.2 0.3 0.5 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

La lotteria L’ è equivalente a L +20 0.12 +10 0.25 0.28 -10 L’ Cosa implica questo assioma, apparentemente molto ragionevole? Un effetto che è escluso da questo assioma, è che il livello di gradimento di un decisore nei confronti di una lotteria dipende esclusivamente dalle probabilità con cui i vari risultati vengono conseguiti, e non dal meccanismo (prima una lotteria, poi un’altra) con cui tale risultato può essere raggiunto. Un po’ come dire che un giocatore d’azzardo dovrebbe provare lo stesso grado di soddisfazione tra vincere una somma a poker o trovare per terra la stessa somma; il che non è sempre detto… Diciamo comunque che in molti casi possiamo assumere che l’assioma sia vero, soprattutto perché stiamo cercando di modellare problemi di decisione in cui il risultato finale è senza dubbio il fulcro della questione. -20 0.35 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Osservazioni Ripetendo il procedimento per tutti i risultati possibili, otteniamo una lotteria L’ avente come probabilità i numeri ottenuti. E’ evidente che le probabilità di conseguire i vari risultati sono esattamente le stesse nella lotteria composita L, come nella lotteria L’. Per questo motivo, l’assioma delle lotterie composite dice che un decisore razionale dovrebbe provare indifferenza tra L e L’. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

4. Sostituibilità Se a ~ b, allora due lotterie identiche tranne che per il fatto che a è sostituito da b, sono equivalenti: L = < …;… ; p,a ;…;…> L’ = < …;… ; p,b ;…;…> L  L’ In questa notazione abbiamo escluso i risultati cui corrisponde probabilità nulla. Il concetto è che due risultati ritenuti equivalenti, fanno sì che due lotterie che differiscano solo per questi due risultati devono essere altresì percepite come equivalenti. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Lotterie di riferimento
Sono di particolare importanza le lotterie di riferimento: L p 1-p x1 xr Queste sono lotterie a due sole vie, e hanno come unici risultati possibili x1 e xr, ossia il più desiderato e il meno desiderato. Vedremo ora che queste lotterie rivestono notevole importanza per stabilire l’esistenza di una funzione di utilità associata a un decisore. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

LOTTERIE DI RIFERIMENTO
DEF. Si chiamano lotterie di riferimento le lotterie del tipo x1pxr = <p,x1;0,x2;…;0,xr-1;(1-p),xr> . DEF. Si definisce esperimento di riferimento l’insieme di tutte le lotterie di riferimento x1pxr  A,  0p1 . Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

5. Monotonicità L p 1-p x1 xr L’ p’ 1-p’ x1 xr Confrontando due lotterie di riferimento (che quindi differiscono solo per la probabilità di conseguire x1 ), dovrà risultare preferibile quella che dà maggiore probabilità al risultato x1. L  L’  p  p’ Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

6. Continuità Esiste un valore di probabilità ui tale che: xi L ui 1-ui x1 xr ~ Il sesto e ultimo assioma è forse il più importante, anche se per certi versi l’unico un po’ controverso. Consideriamo un qualunque risultato intermedio xi. Questo assioma dice che per ogni xi esisterà un valore di probabilità, indicato con ui, tale da rendere il risultato certo xi indifferente rispetto a una lotteria di riferimento in cui ui è la probabilità di vincere x1. Ossia, per quanto catastrofico possa essere xr, ci sarà sempre un valore ui che rende il rischio di giocare la lotteria L equivalente alla certezza del risultato xi. Si noti che, quanto più “appetibile” è xi (ossia, quanto più è vicino a x1), tanto più grande dovrà essere il valore ui per far ancora sì che tra le due scelte vi sia indifferenza. Quindi, appare sensato pensare che ui possa fornire proprio un valore attendibile per esprimere il livello di gradimento del risultato xi . Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Osservazioni Il sesto e ultimo assioma è forse il più importante, anche se per certi versi l’unico un po’ controverso. Consideriamo un qualunque risultato intermedio xi. Questo assioma dice che per ogni xi esisterà un valore di probabilità, indicato con ui, tale da rendere il risultato certo xi indifferente rispetto a una lotteria di riferimento in cui ui è la probabilità di vincere x1. Ossia, per quanto catastrofico possa essere xr, ci sarà sempre un valore ui che rende il rischio di giocare la lotteria L equivalente alla certezza del risultato xi. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

6. Continuità Obiezione circa l’esistenza del valore ui (facilmente confutabile) Difficoltà nella determinazione precisa del valore ui >>> Necessità di una analisi della sensibilità Un’obiezione talvolta portata alla validità di questo assioma è il fatto che, si potrebbe dire, per nessun valore ui <1 un decisore potrebbe accettare il rischio di avere xr quando può avere tranquillamente xi. Ma considerando che ui può comunque essere un numero molto vicino a 1, ecco che, per quanto pernicioso possa essere l’evento xr, in realtà un valore ui di questo tipo esisterà sempre. Meno ovvia è invece l’obiezione secondo la quale si possa ragionevolmente arrivare a un livello di discernimento così elevato da essere in grado di indicare tale valore ui in modo preciso. Si osservi che tale valore ui esprime in modo quantitativo qualcosa che riguarda esclusivamente un decisore, ossia quanto è elevato il gradimento in lui/lei prodotto dal risultato xi. Questa capacità finita di discernimento mostra che le conclusioni cui si può arrivare con un modello di questo tipo andranno sempre validate alla luce di un’opportuna analisi della sensibilità (dei risultati dell’analisi rispetto alle imprecisioni del processo di assessment). Su questo torneremo più avanti. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Teorema di von Neumann-Morgenstern
Se il sistema di preferenze di un decisore rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una funzione u: X  [0,1] che per qualunque coppia di lotterie, L e M: se L è preferita a M U[L] > U[M] se M è preferita a L U[M] > U[L] se L e M sono indifferenti U[L] = U[M] Questo è il teorema fondamentale (Von Neumann-Morgenstern) su cui si basa l’analisi delle decisioni classica. Dunque, basta che un decisore accetti validi per sé gli assiomi di cui abbiamo parlato, e una funzione di utilità esiste senz’altro. Nella prossima lezione vedremo meglio come si possa stabilire la funzione di utilità di un decisore. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Utilità elementari Diamo convenzionalmente valore 1 e 0 all’utilità dei due risultati estremi, ossia u(x1) = 1 u(xr) = 0 Anziché vedere nei dettagli la dimostrazione del Teorema di Von Neumann - Morgenstern, vediamo come fare a stabilire il valore dell’utilità per i vari risultati certi. Anzitutto, stabiliamo convenzionalmente i valori 0 e 1 per i due risultati estremi. Di conseguenza, tutti gli altri xi avranno un valore di utilità compreso tra 0 e 1. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Utilità di una lotteria di riferimento
ui u(x1) + (1- ui )u(xr) u(xi) = L ui 1-ui x1 xr xi ~ Consideriamo ora una lotteria di riferimento. Dalla definizione di ui, e poiché vi è indifferenza tra il risultato certo xi e la lotteria di riferimento, si ha l’uguaglianza riportata sopra, che stabilisce che l’utilità di xi deve essere uguale all’utilità attesa della lotteria. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

ui u(x1) + (1- ui )u(xr) u(xi) = = 1 = 0 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Funzione di utilità L’utilità del risultato xi è data dal valore di probabilità ui che rende indifferente xi rispetto alla lotteria di riferimento, ossia u(xi) = ui Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

A questo punto è chiaro che il valore di ui definito prima può essere preso proprio a misura dell’utilità del risultato xi. In altre parole, se riusciamo a stabilire i valori di utilità per i singoli risultati certi, e se il decisore accetta gli assiomi della razionalità, allora è possibile esprimere il valore di utilità attesa per qualsiasi lotteria, e impiegare tali valori per confrontare quantitativamente due lotterie qualsiasi. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Funzione di utilità Una funzione di utilità U[L] modella le preferenze di un particolare decisore Diversi decisori hanno in generale diverse funzioni di utilità, anche se alcune funzioni sono più usate Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Da quanto detto finora, emerge che è possibile associare un valore di utilità a ciascun risultato certo xi. Occorre sottolineare che questa funzione esprime le preferenze del singolo decisore, e dunque decisori diversi, pur accentando gli stessi assiomi, possono avere funzioni di utilità molto diverse. L’unica proprietà che deve avere una u(x) perché sia una funzione di utilità (rappresentando x una quantità di denaro) è il fatto che sia una funzione monotona crescente. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Determinazione di u(•)
Applicazione accurata dell’assioma di continuità Esempio: un investitore deve scegliere tra 3 alternative (lotterie): a1, a2, a3 Come fare in pratica a determinare i valori u(xi)? Basta applicare in modo accurato l’assioma di continuità, ponendo al decisore domande relative a confronti tra lotterie a due vie e risultati certi. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Variazione indice Dow-Jones (%) < -3 [-3,+2] Decisioni > +2 110 110 110 a1 a2 100 105 115 In questo semplice esempio, il decisore si trova di fronte a 3 alternative di investimento. La prima alternativa non è rischiosa, in quanto restituisce, a fronte di un investimento pari a 100, una somma di 110 in ogni caso. Le altre due alternative invece presentano un certo rischio, a seconda dell’andamento dell’indice Dow-Jones di qui a un anno, schematizzato con tre range di valori possibili (gli stati di natura). Il problema consiste nel decidere quale investimento effettuare. Di nuovo, non possiamo stabilire a priori quale sarà l’investimento migliore, in quanto dipenderà dallo stato di natura che si verificherà. Quello in cui l’analisi delle decisioni ci può aiutare è capire quale dei tre investimenti appare come quello più razionale per il decisore in questione, ossia quello più coerente con le sue valutazioni in termini di utilità delle diverse somme in gioco. a3 90 120 100 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Assessment Ricavando la funzione di utilità per i sei risultati certi in esame, si potrà calcolare l’investimento più “razionale” per il decisore in questione Veniamo al problema di asserire, ossia ricavare i valori di utilità del decisore per tutte le quantità monetarie di interesse nel problema in esame (assessment). In questo caso sono sei: 90, 100, 105, 110, 115, 120. Una volta ricavati tali valori, basterà inserirli nella formula dell’utilità attesa e confrontare poi le lotterie. Si noti che nel processo di supporto alla decisione, l’analista ha un ruolo ben distinto dal decisore. Ossia, la persona che alla fine ha comunque l’autorità e il ruolo di prendere la decisione è distinta dalla persona che invece ha il compito di fornire tutte le informazioni atte a informare tale decisione. La preoccupazione dell’analista sta nel condurre la fase di assessment (e anche di stima delle probabilità, come vedremo più avanti) avendo come unico scopo quello di fornire una serie di elementi che conseguono esclusivamente dalle preferenze del decisore e dalle informazioni disponibili sulla decisione in esame, e non, ad esempio, da aspetti emotivi o contingenti che potrebbero portare a una valutazione distorta della realtà. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

L’insieme X dei risultati
In questo caso X consiste di tutti i possibili risultati, vale a dire 120, 115, 110, 105, 100, 90 x xr Le lotterie di riferimento hanno come “premi” 90 e 120 Per applicare l’assioma di continuità occorre identificare i due risultati estremi, che in questo caso sono 90 e 120. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Assessment L’analista pone domande del tipo: cosa sceglierebbe tra queste due? 110 L 0.5 120 90 Si noti che l’analista pone a confronto un risultato certo e una lotteria di riferimento. Oltre ad avere un preciso significato, alla luce degli assiomi della razionalità, questo tipo di confronto è comprensibile a chiunque. Anche se questo può sembrare strano da un punto di vista puramente razionale, molti consulenti riferiscono che il modo in cui viene posto il quesito può avere influenza sul grado di comprensione e quindi di attendibilità della risposta del decisore, spesso abbastanza poco avvezzo a ragionare in termini probabilistici. Così alcuni usano esempi tipo “testa o croce”, altri concetti come la “ruota di probabilità” etc. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Assessment (cont.) Supponiamo che la risposta sia: “110 sicuri” Possiamo già escludere che l’utilità di 110 sia inferiore 0.5 Infatti, per rendere più appetibile la lotteria rispetto ai 110 certi, occorre aumentare la probabilità con cui la lotteria dà 120. Siccome l’utilità di 110 è data dal valore per cui si ha indifferenza tra 110 e la lotteria, sappiamo già che u(110)>0.5. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Assessment (cont.) L’analista pone allora la seguente alternativa 110 L 0.875 0.125 120 90 A questo punto si prova con un’altra lotteria di riferimento, in modo da stabilire un limite superiore al valore di u(110). Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Assessment (cont.) Supponiamo che stavolta la risposta sia: “la lotteria” Possiamo escludere che l’utilità di 110 sia superiore a 0.875 Si prosegue fino a individuare quel valore di probabilità per cui si ha indifferenza Un modo di procedere può essere per bisezione, in modo da essere sicuri di “convergere” in un numero limitato di passi. Peraltro, è bene in genere (dicono gli esperti) porre domande in cui le lotterie sono significativamente diverse ogni volta. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Assessment (cont.) Supponiamo che si abbia per: 110 L 0.8 0.2 120 90 ~ Procedendo in questo modo, supponiamo che alfine il decisore si proclami indifferente tra 110 certi e una lotteria di riferimento in cui 120 viene vinto con probabilità 0.8. Allora possiamo provvisoriamente porre u(110)=0.8. Da cui, u(110)=0.8 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Assessment (cont.) Procedendo allo stesso modo si può determinare l’utilità degli altri valori, ad esempio u(100)=0.4 u(105)=0.6 u(115)=0.95 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Verifica della consistenza
115 L 0.75 0.25 120 110 In tutti i procedimenti di assessment, non è possibile prendere i valori stabiliti come fossero delle verità matematiche, in quanto provengono da un procedimento che può essere inficiato da errori, distorsioni, imprecisioni, ovviamente involontarie (ad esempio, il decisore può aver bisogno di un periodo di “rodaggio” prima di dare risposte consistenti). Perciò, una volta ottenuti tutti i valori di utilità, è bene sottoporli a una verifica di consistenza. In base ai valori ottenuti, infatti, il valore certo 115 e la lotteria raffigurata dovrebbero essere ugualmente graditi, in quanto i due valori di utilità sono uguali. U[L] = 0.75 * u(120) *u(110) = 0.75 * *0.8 = 0.95 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Verifica della consistenza
Poiché era stato misurato che l’utilità di 115 è pari a 0.95, posto di fornte alla scelta il decisore dovrebbe dichiararsi indifferente Se ciò non accade: vanno rivisti i valori di utilità il decisore rifiuta gli assiomi di von Neumann… Se invece il decisore propende per una delle due parti in modo netto, può darsi che in realtà vada rivisto uno dei valori di utilità precedentemente asseriti, oppure – nei casi più “gravi” – può darsi che più o meno inconsciamente il decisore rifiuti gli assiomi di von Neumann. In genere però, con l’aiuto dell’analista, si riesce a convergere su un insieme di valori su cui il decisore dichiara il proprio assenso. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Tavole di decisione, analisi di decisione e funzioni utilità
Che relazione esiste tra la scelta tra lotterie e la scelta in condizioni di rischio? Cerchiamo di individuare una corrispondenza tra lotterie e tavole di decisione. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Stati di natura Decisioni 1 2 3 x11 x12 x13 a1 x21 x22 x23 a2 a3 x31 x32 x33 Probabilità P(1) P(2) P(3) Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Consideriamo la seguente lotteria semplice: lk= < P(1),xk1;P(2),xk2;…;P(n),xkn> Allora ak  lk Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

NOTE Nella precedente equivalenza abbiamo leggermente modificato la notazione introdotta per le lotterie. In particolare: 1. Non assumiamo che i premi siano ordinati secondo un ordine decrescente, cioè non assumiamo che x1  x2  …  xr . Inoltre, le m lotterie che possono essere costruite a partire dalle azioni nella tavola di decisione hanno il seguente insieme dei premi: X = xij | i=1,2,…,m; j=1,2,…,n. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

2. Ogni conseguenza che risulta impossibile sotto la scelta ak non appartiene all’insieme dei premi (cioè non si considerano premi che hanno probabilità nulla). 3. Che cosa succede se due scelte diverse conducono agli stessi risultati? Nella notazione precedente non avevamo posto assunzioni sul fatto che i premi fossero tutti distinti. L’assioma 4 Sostituibilità afferma che se due premi sono uguali (o ugualmente graditi), allora le lotterie che si possono costruire sono tra loro equivalenti. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Assioma 7. Equivalenza di situazioni di incertezza
Sia data la tavola di decisione precedente e siano li le m lotterie da essa estratte come mostrato. Allora il decisore considera la sua scelta nella tavola di decisione identica alla scelta tra le suddette m lotterie. In particolare, ai  ak  li  lk,  i,k=1,2,…,m. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Corollario Dagli assiomi 1-6, dall’Assioma 7 e dal Teorema di von Neumann-Morgenstern discende che Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Riassumendo Dall’Assioma di continuità discende che la funzione di utilità è univocamente determinata. La funzione di utilità è una funzione che permette di ordinare lotterie/decisioni assumendo il fatto che le utilità attese calcolate siano effettivamente coerenti con le preferenze del decisore. Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

Teorema. Se u è una funzione di utilità su X, allora w = u +  (>0) è a sua volta una funzione di utilità che rappresenta le stesse preferenze. Viceversa, se u e w sono due funzioni di utilità su X che rappresentano le stesse preferenze, allora esistono >0 e  t.c. w = u + . Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a

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