Modelli Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a

Presentazione sul tema: "Modelli Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a"— Transcript della presentazione:

1 Modelli Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali a.a. 2007-2008
Laurea in Ingegneria Gestionale Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Laurea Specialistica in Ingegneria Informatica Prof.ssa: Chiara Mocenni

2 Modelli e sistemi Sistema: è un complesso normalmente costituito di più elementi interconnessi, in cui si possono distinguere grandezze soggette a variare nel tempo (variabili). Solitamente l’evoluzione di alcune variabili dipende da altre variabili, per cui parleremo di ingressi (cause) ed uscite (effetti).

3 Modello matematico (di un sistema): è un insieme di equazioni e di parametri che permettono di determinare (in modo approssimato) gli andamenti nel tempo delle uscite noti quelli degli ingressi. E’ di fondamentale importanza trovare il giusto compromesso tra precisione e semplicità del modello. S M

4 Motivazioni Definire un problema Organizzarne lo studio
Comprendere dati che si sono raccolti Fare previsioni sul problema basandosi sul modello

5 classificazione dati disponibili Modelli Modelli Deterministici
Stocastici Modelli Deterministici complessi Analisi Statistica Modelli Deterministici semplificati conoscenze

6 Modelli Statistici. Dati disponibili ma raccolti in modo non finalizzato. Scarsa conoscenza sul sistema. Classificazione. Modelli Stocastici. Serie storiche di dati disponibili. Strumento operativo che riproduca al meglio l’andamento osservato dell’uscita, utilizzando dati di ingresso misurati. Causa-effetto. Separare la parte predicibile da quella stocastica. Previsioni.

7 Modello deterministico semplificato
Modello deterministico semplificato. Buona conoscenza sui meccanismi che stanno alla base del fenomeno. Mancanza della convenienza a procedere verso un modello più complesso. Modello deterministico complesso. Stadio più avanzato della modellistica. Conoscenza profonda sulla fisica del sistema.

8 Classi di Modelli Scatola Nera Scatola Grigia Fisici

9 Obiettivi Controllo Analisi Predizione Scelte fondamentali Scelta della classe di modelli Scelta dei segnali di ingresso Scelta dei segnali di uscita

10 Tipologia dei modelli Statici / Dinamici Lineari / Non Lineari
Tempo Continuo / Discreto Parametri Concentrati / Distribuiti

11 Modelli statici La dipendenza tra ingressi e uscite è istantanea, cioè gli ingressi presenti hanno influenza solo sulle uscite presenti. La storia passata del sistema non influenza lo stato presente (relazione algebrica ingressi-uscite).

12 Esempio. Confluenza fra due canali
Q1, C1 Qv, Cv Bilancio di portate Qv = Q1 + Q2 Bilancio delle sostanze disciolte Qv Cv = Q1 C1 + Q2 C2 Q2, C2 Segue Cv = (Q1 C1 + Q2 C2) / (Q1 + Q2 )

13 Modelli dinamici Si introduce il concetto di stato del sistema: variabili interne che tengono conto della storia passata del sistema. Il legame tra ingresso e uscita non è istantaneo, ma è mediato dalle variabili di stato. Un sistema dinamico è composto da una relazione ingresso-uscita (senza memoria) e da un termine di aggiornamento dello stato (con memoria).

14 I sistemi lineari Definizione interna (ingresso-stato-uscita)
u(t) = [u1(t),…um(t)]T = ingresso all’istante t x(t) = [x1(t),…xn(t)]T = stato all’istante t y(t) = [y1(t),…yp(t)]T = uscita all’istante t Sistema a tempo continuo: t numero reale Sistema a tempo discreto: t numero intero

15 Sistema continuo (scrittura matriciale)
Sistema discreto (scrittura matriciale) A(nxn), B(nxm), C(pxn), D(pxm) matrici reali.

16 Osservazioni La coppia (u(t),x(t)) determina univocamente l’uscita y(t). (trasformazione di uscita) La coppia (u(t),x(t)) determina univocamente la derivata dx/dt e x(t+1). (equazioni di stato) La conoscenza dello stato all’istante t = 0 permette di determinare univocamente lo stato e l’uscita del sistema nel futuro. Infatti, noti x(0) e u(t) per t  0, le equazioni di stato permettono di calcolare univocamente x(t) per t  0. Conoscere lo stato del sistema ad un istante di tempo significa, quindi, poter dimenticare tutta la storia passata del sistema senza per questo inficiare la possibilità di determinare l’evoluzione futura del sistema. Lo stato è una variabile interna del sistema.

17 Il n. di equazioni è l’ordine del sistema;
Sistema continuo (scrittura estesa) Il n. di equazioni è l’ordine del sistema; Se non c’è ingresso il sistema si dice autonomo

18 Particolarmente studiati sono i sistemi propri (D=0) ad un ingesso ed una uscita, cioè descritti da una terna (A,b,cT), o, analogamente, dalle equazioni:

19 MODELLI ARMA definizione esterna
Possiamo definire un sistema dinamico lineare a tempo continuo come un ente le cui coppie ingresso-uscita (u(¦),y(¦)) sono tra loro legate da un’equazione differenziale lineare di ordine n, del tipo (u(i) e u(i) denotano la derivata i-esima). definizione esterna

20 Sistemi discreti che, risolta rispetto a y, dice che in ogni istante di tempo t l’uscita y di un sistema lineare è la somma di una combinazione lineare delle ultime n uscite (termine autoregressivo - AR) e di una combinazione lineare degli ultimi n+1 ingressi (media mobile - MA).

21 Sinteticamente: Un modello ARMA può essere descritto dalla relazione:
dove i polinomi rappresentano operatori applicati alle funzioni u e y. L’operazione che rappresenta la loro applicazione è una differenziazione (tempo continuo, p=s) o una anticipazione (tempo discreto, p=z).

22 N(s)=q(s)r(s)n(s) D(s)=q(s)r(s)d(s)
Modelli ridotti In generale un modello ARMA non ridotto è della forma (N(s),D(s)) con N(s)=q(s)r(s)n(s) D(s)=q(s)r(s)d(s) dove i polinomi n(s) e d(s) sono coprimi e il modello ARMA ridotto è individuato dalla coppia di polinomi (r(s)n(s),r(s)d(s)). Modello ARMA di trasferimento (n,d) è definito dalla funzione di trasferimento

23 Movimento, traiettoria, cicli ed equilibri
Fissato lo stato iniziale x(0) e l’ingresso u(t) per t¸0 le equazioni di stato ammettono un’unica soluzione x(t) per t¸0 (il fatto è evidente per i sistemi a tempo discreto, mentre per i sistemi a tempo continuo è conseguenza di risultati classici sull’esistenza e unicità della soluzione delle equazioni differenziali ordinarie).

24 La funzione x(¦) si chiama movimento, mentre l’insieme {x(t), t¸0} nello spazio di stato Rn si chiama traiettoria o orbita. x2 x2 x(1) t x x(2) x(0) x(0) x1 x1 x(3)

25 Una traiettoria puo’ passare piu’ volte dallo stesso punto x in istanti di tempo diversi. Nel caso in cui anche i vettori tangenti siano diversi in quel punto, allora Ax+Bu(t1)  Ax+Bu(t2) che implica Bu(t1)  Bu(t2) Ne consegue che tale condizione non può essere verificata se l’ingresso è costante.

26 Può anche capitare che il movimento x(¦) corrispondente ad un particolare stato iniziale x(0) e ad una particolare funzione di ingresso u(¦) sia periodico di periodo T, cioè x(t) = x(t+T) 8t In questo caso la traiettoria risulta essere una linea chiusa (ciclo) ripetutamente percorsa ogni unità T di tempo.

27 Poiché se x è periodico anche lo è, segue che Ax(t)+Bu(t) = Ax(t+T)+Bu(t+T) 8t, e quindi Bu(t) = Bu(t+T) 8t. Ciò significa che un ciclo può ottenersi soltanto con funzioni di ingresso particolari. Un sistema si dice in regime periodico se ingresso e stato, e quindi anche uscita, sono funzioni periodiche di periodo T. La traiettoria chiusa nello spazio di stato si chiama ciclo. I cicli ottenuti da ingressi periodici si dicono forzati, quelli ottenuti da ingressi costanti si dicono autonomi.

28 Un sistema lineare si dice in regime stazionario (o all’equilibrio) se ingresso e stato e, quindi anche uscita, sono costanti.

29 Linearizzazione Lo studio di un fenomeno descritto da una funzione non lineare y=f(x) viene spesso effettuata facendo variare x nell’intorno di un punto di equilibrio , e approssimando f con la funzione lineare

30 Da un punto di vista analitico, ciò equivale ad aver sviluppato f(x) in serie di Taylor nell’intorno del punto e nell’aver poi trascurato i termini dello sviluppo in serie a partire da quello quadratico. La metodologia può essere estesa allo studio dei sistemi dinamici non lineari a tempo continuo e discreto.

31 Sia una soluzione di equilibrio del sistema
Si possono allora sviluppare in serie di Taylor le funzioni f e g nell’intorno del punto di equilibrio.

32

33 Ponendo e tenendo conto che all’equilibrio le equazioni di stato diventano

34 Mentre la trasformazione di uscita diventa

35 Se si trascurano i termini di ordine superiore al primo nello sviluppo in serie si ottiene un sistema lineare detto sistema linearizzato. La matrice che contiene tutte le derivate delle funzioni f rispetto alle variabili di stato, viene detta Jacobiano del sistema. Essa riveste un ruolo fondamentale nell’analisi di stabilità.

36 Stabilità Un sistema lineare è asintoticamente stabile se e solo se per ogni suo ingresso esiste uno stato di equilibrio verso cui lo stato x(t) tende qualsiasi sia lo stato iniziale x(0).

37 Classificazione dei sistemi lineari
Consideriamo, per semplicità un sistema disaccoppiato ad esempio del tipo NB. In questo caso x e y sono entrambi stati del sistema e y non è l‘uscita.

38 La soluzione di questo sistema radicata in x(0)=x0 e y(0)=y0 è
x(t)=x0eat y(t)=y0e-t Cioè y decade esponenzialmente. Che cosa succede a x?

39 a<0 anche x decade esponenzialmente e tutte le traiettorie convergono verso l’origine. La velocità e la direzione con cui converge dipendono da a paragonato a -1. a<-1 x decade più velocemente di y. (nodo stabile) a=-1 x e y decadono con la stessa velocità (stella, nodo simmetrico) -1<a<0 y decade più velocemente di x (nodo stabile)

40 a=0 x(t)=x0. (linea di punti fissi).
a>0 l’equilibrio diventa instabile perché x(t) diverge. Abbiamo una direzione stabile ed una instabile. (sella).

41 In generale Consideriamo gli autovalori 1 2 della matrice A in un sistema lineare autonomo. Si possono presentare i casi seguenti: 2< 1< 0 autovalori reali Le traiettorie tendono asintoticamente verso il punto di equilibrio. Sono tangenti alla direzione lenta quando tendono all’origine (t! 1) e parallele alla direzione veloce quando t! – 1

42 1 2 complessi coniugati
Immaginari puri (Re()=0) Centro. Soluzione neutralmente stabile in quanto le traiettorie non vengono né attratte, né respinte. Immaginari (Re()0) Spirale. La soluzione del sistema è ed, essendo gli autovalori complessi, è una combinazione lineare di etcos(t), etsin(t). A seconda del valore di  le oscillazioni crescono o decrescono.

43 1 = 2 autovalori coincidenti
Autovettori linearmente indipendenti cioè generano lo spazio. Se   0 si ha una stella Se invece  = 0 lo spazio è riempito di punti fissi. Autovettori linearmente dipendenti c’è un unico autovettore, l’autospazio associato è monodimensionale. Si ha un nodo degenere.

44   NODI INSTABILI SPIRALI INSTABILI CENTRI SELLE SPIRALI STABILI
NODI STABILI PUNTI FISSI NON ISOLATI STELLE, NODI DEGENERI