Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Probabilita condizionate Chiara Mocenni.

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1 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Probabilita condizionate Chiara Mocenni

2 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Probabilità condizionate Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi Quando ciò non è più vero, si hanno probabilità condizionate P(A|B)P(A|B) probabilità che si verifichi A supponendo che si verifichi B

3 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Si considerino i seguenti eventi relativi alla nascita di un bambino: M il nascituro è maschio F il nascituro è femmina EM lecografia prevede maschio EF lecografia prevede femmina

4 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Si consideri dapprima la probabilità che due eventi si verifichino entrambi (probabilità congiunta): P(M,EM)

5 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Valgono le seguenti espressioni: P(M,EM) = P(M|EM) P(EM) P(M,EM) = P(EM|M) P(M)

6 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Teorema di Bayes Quindi: P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M) ossia P(M|EM) = P(EM|M) P(M) P(EM)

7 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Supponiamo P(M) = 0.5 P(F) = 0.5 P(EM|M) = 0.9 P(EM|F) = 0.05 e di conseguenza P(EF|M) = 0.1 P(EF|F) = 0.95

8 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Possiamo ora calcolare P(EM) = P(EM|M) P(M) + P(EM|F) P(F) = 0.9 0.5 + 0.05 0.5 = 0.475 P(EF) = 1- P(EM) = 0.525 Possiamo ora applicare la formula di Bayes

9 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia P(M|EM) = P(EM|M) P(M) P(EM) = 0.9 0.5 0.475 = 0.947

10 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia P(F|EF) = P(EF|F) P(F) P(EF) = 0.95 0.5 0.525 = 0.904

11 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Teorema di Bayes In generale, dati due eventi A e B: P(A|B) = P(B|A) P(A) P(B)P(B)

12 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Teorema di Bayes P(A|B) = P(B|A) P(A) P(B)P(B) Probabilità a-priori Probabilità condizionate

13 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Teorema di Bayes È uno strumento per integrare in modo quantitativo le informazioni disponibili (prob. a-priori) con quelle rilevabili o misurabili (prob. condizionate)

14 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Esempio: il concerto Supponiamo ora che sia disponibile ulteriore informazione sul tempo di domani Questa informazione non è perfetta Come determinare il valore di questa informazione?

15 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Attendibilità dellinformazione Caratterizziamo lattendibilità della nuova informazione in termini di probabilità condizionata: P(Sereno|Sereno) = 0.8 P(Pioggia|Pioggia) = 0.8

16 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Attendibilità dellinformazione Linformazione a-priori in questo caso è data da: P(Ser) = 0.4 P(Piog) = 0.6

17 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Attendibilità dellinformazione La probabilità che la nuova informazione indichi serenosarà: P(Ser) = P(Ser|Ser) P(Ser) + P(Ser|Piog) P(Piog) = 0.8 0.4 + 0.2 0.6 = 0.44 P(Piog) = 1- 0.44 = 0.56

18 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Attendibilità dellinformazione Con Bayes possiamo calcolare = 0.8 0.4 / 0.44 = 0.727 P(Piog|Ser) = 1- P(Ser|Ser) = 0.273 P(Ser|Ser) = P(Ser | Ser) P(Ser) P(Ser)

19 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Attendibilità dellinformazione E analogamente = 0.8 0.6 / 0.56 = 0.857 P(Ser|Piog) = 1- P(Piog|Piog) = 0.143 P(Piog|Piog) = P(Piog | Piog) P(Piog) P(Piog)

20 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Valore dellinformazione imperfetta Per molti decisori il valore dellinformazione si determina ancora come differenza tra equivalente certo della decisione con informazione gratuita e equivalente certo della decisione in assenza di informazione Attenzione: ora le probabilità in gioco sono probabilità condizionate

21 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso sereno (0.727) pioggia (0.273) 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32 0.727 0.597 0.778 portico aperto chiuso sereno (0.143) pioggia (0.857) 0.143 0.655 0.178 portico Loracolo prevede sereno (0.44) Loracolo prevede pioggia (0.56) 0.778 0.655 0.709 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32 5,470 Informazione gratuita (Avi)

22 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione (Avi) Quindi il valore dellinformazione imperfetta per Avi è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: 5,470 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: 4,600 = 870

23 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Informazione e decisioni Il valore dellinformazione perfetta per Avi era di 2,000 Limperfezione nellinformazione determina un cambiamento di decisione (Portico anziché Aperto nel caso in cui loracolo preveda tempo sereno)

24 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso sereno (0.727) pioggia (0.273) 1 0 0.4 0.5 0.9 0.2 0.727 0.427 0.709 portico aperto chiuso sereno (0.143) pioggia (0.857) 0.143 0.485 0.3 portico Loracolo prevede sereno (0.44) Loracolo prevede pioggia (0.56) 0.727 0.485 0.59 1 0 0.4 0.5 0.9 0.2 5,900 Informazione gratuita (Inat)

25 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione (Inat) Quindi il valore dellinformazione imperfetta per Inat è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: 5,900 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: 4,800 = 1,110

26 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Confronto tra decisori: Avi Senza informazione: Chiuso Con informazione imperfetta: se loracolo prevede sereno, allora Portico, altrimenti Chiuso

27 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Confronto tra decisori: Inat Senza informazione: Portico Con informazione imperfetta: se loracolo prevede sereno, allora Aperto, altrimenti Chiuso

28 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Confronto tra decisori Il valore dellinformazione imperfetta per Inat è di 1,110, per Avi è di 870 Il motivo per cui Inat, pur essendo più propensa al rischio rispetto a Avi, sia disposta a pagare di più è che ancora, in assenza di informazione, le scelte sono diverse

29 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi di sensibilità rivista Una volta introdotti il concetto di probabilità soggettiva e il teorema di Bayes, possiamo estendere lanalisi di sensibilità effettuata per la determinazione della funzione di utilità anche alla assegnazione delle probabilità soggettive. Riprendiamo perciò lesempio della tavola di decisione.

30 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 a1a1 Stati di natura 110 < -3 [-3,+2] > +2 a2a2 a3a3 110 100 105 115 90 100 120 Decisioni probabilità 0.2 0.4

31 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 I valori di utilita degli eventi elementari erano: u(90)=0 u(100)=0.4 u(105)=0.6 u(110)=0.8 u(115)=0.95 u(120)=1

32 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Osserviamo nuovamente che P( 2 ) = P( 3 ). Supponiamo che il decisore abbia espresso qualche dubbio sul fatto che effettivamente queste due probabilità fossero uguali. Poniamo allora P( 2 ) = p P( 3 ) = q

33 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 P( 1 ) = 1 - p - q Inoltre U[ a 1 ] = 0.8, U[ a 2 ] = 0.7, U[ a 3 ] = 0.56. U[ a 1 ] > U[ a 2 ] 0.8 > (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95 8 > 4p+11q Ne consegue che

34 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 U[ a 1 ] > U[ a 3 ] 0.8 > (1-p-q)*0.0 + p*0.40 + q*1 4 > 2p + 5q U[ a 2 ] > U[ a 3 ] (1-p-q)*0.40 + p*0.60 + q*0.95 > (1-p-q)* 0.0 + p*0.4 + q*1 8 > 4p+9q Analogamente

35 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 1.0 0.51.0 0 0.5 D C B A (0.4,0.4) p + q = 1 p q 4p + 9q = 8 2p + 5q = 4 4p + 11q = 8

36 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Nella regione A si ha U[ a 1 ] > U[ a 2 ] > U[ a 3 ] Nella regione B si ha U[ a 2 ] > U[ a 1 ] > U[ a 3 ] Nella regione C si ha U[ a 2 ] > U[ a 3 ] > U[ a 1 ] Nella regione D si ha U[ a 3 ] > U[ a 2 ] > U[ a 1 ]

37 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il punto (0.4,0.4) si trova allinterno della regione A. Quindi linvestimento a 1 sembra essere il più conveniente, coerentemente con quanto visto in precedenza. Quello che dobbiamo verificare, e che in questo caso è evidente, è che per piccole variazioni di p e q il punto stimato (0.4,0.4) rimanga allinterno della regione A.