Algoritmi e complessità

Presentazione sul tema: "Algoritmi e complessità"— Transcript della presentazione:

1 Algoritmi e complessità
La complessità Complessità in tempo e spazio Complessità asintotica Algoritmi e complessità Ricerca e ordinamento La macchina di Turing e le classi di complessità

2 La complessità

3 La complessità L’analisi di complessità definisce le risorse teoricamente consumate da un algoritmo complessità temporale: tempo necessario all’esecuzione dell’algoritmo complessità spaziale: memoria necessaria all’esecuzione dell’algoritmo Poiché ad ogni algoritmo corrispondono più implementazioni (più programmi), lo studio della complessità non definisce esattamente il tempo e la memoria usata: si concentra sulle proprietà che sono indipendenti dell’implementazione fornendo un’idea di quanto sia efficiente un algoritmo

4 Che cosa si misura?  1 Complessità temporale
Si contano le istruzioni eseguite dall’algoritmo Poiché le istruzioni potrebbero essere di natura diversa, si individuano quelle che incidono principalmente sul tempo di esecuzione Le operazioni in virgola mobile: le più lente da eseguire per una CPU; sono predominanti se il loro numero è paragonabile al numero delle altre istruzioni Le istruzioni di controllo (gli if) e le istruzioni più frequenti (sono predominanti se sono in numero molto superiore alle altre istruzioni) Le istruzioni di accesso alla memoria secondaria e alle periferiche: sono decine di migliaia di volte più lente delle istruzioni svolte nella memoria principale; se un’applicazione ne richiede molte, queste potrebbero essere predominanti (ad es., nei database, l’analisi di complessità è concentrata sugli accessi al disco)

5 Che cosa si misura?  2 Complessità spaziale
Si misurano le “posizioni” di memoria occupate dai dati necessari allo svolgimento dell’algoritmo La complessità spaziale sarà misurata relativamente alla memoria principale se i dati dell’algoritmo possono essere allocati in memoria principale, in base all’occupazione di memoria secondaria quando le strutture dati dell’algoritmo sono troppo grandi per poter risiedere nella memoria centrale

6 Complessità asintotica
Lo studio della complessità si concentra su i casi in cui il problema è grande: non importa se un programma di contabilità impiega 1 o 100 millisecondi a calcolare il bilancio cambia molto se il programma della segreteria impiega 1 o 10 secondi a trovare i dati di uno studente nell’archivio Complessità asintotica Definisce le risorse usate da un algoritmo al crescere della dimensione del problema affrontato Ad esempio: come cambia il tempo di accesso ai dati quando cresce il numero degli studenti nell’archivio della segreteria

7 Complessità temporale asintotica  1
Formalmente, si usa il concetto matematico di ordine di grandezza sia n la dimensione del problema, cioè la dimensione dell’input dell’algoritmo sia T(n) il tempo impiegato per l’esecuzione dell’algoritmo quando l’ingresso ha dimensione n sia f(n) una qualsiasi funzione di n, ad esempio 3, n, n2, n5, 2n Si dice che la complessità asintotica dell’algoritmo è dell’ordine di f(n) e si scrive O (f(n)) se esiste una costante  tale che T(n) f(n) Osservazione importante: in base alla definizione data, algoritmi che differiscono solo per una costante moltiplicativa hanno lo stesso ordine di complessità Esempio: due algoritmi che richiedono 4n e 7n operazioni sono entrambi O (n)

8 Complessità temporale asintotica  2
Informalmente… L’ordine O (f(n)) fornisce una misura della complessità temporale di ogni programma che implementa l’algoritmo Esempio: Calcolare la somma degli elementi di un array n: numero di elementi dell’array complessità: O (n)

9 Complessità media e relativa al caso peggiore
Un algoritmo può richiedere un numero di operazioni diverse per ingressi di dimensione uguale: complessità media: complessità valutata su tutti i possibili ingressi complessità nel caso peggiore: complessità dell’algoritmo per l’ingresso che richiede più operazioni Di solito, quando si parla di complessità, ci si riferisce alla complessità nel caso peggiore

10 Complessità asintotica: array e liste
n: numero degli elementi dell’array Ricerca/inserimento/cancellazione di un elemento Complessità O (n) Liste semplici n: numero delle posizioni nella lista Ricerca/cancellazione di un elemento Inserimento di un elemento all’inizio della lista (in testa) Complessità O (1)

11 Complessità asintotica: alberi binari
Alberi binari di ricerca n: numero dei nodi dell’albero Inserire, eliminare o ricercare un elemento in un albero binario bilanciato Complessità: O (log2n) 6 3 1 8 4 7 9

12 Complessità asintotica: tabelle hash
Problema Memorizzare in maniera opportuna un insieme di dati  tipicamente sotto forma di record  in modo da poter reperire un qualsiasi elemento dell’insieme con un numero “piccolo” di tentativi Cosa significa “piccolo” ? Indipendente (o quasi) dalla dimensione della tabella su cui si effettua la ricerca, quindi con una complessità in tempo pari ad O (1)

13 Funzioni hash  1 h: K → {0, 1, 2, …, m–1}
K: insieme dei valori distinti che possono essere assunti dalle chiavi dei record m: dimensione del vettore in cui si intende memorizzare la tabella Ipotesi: K sottoinsieme dei numeri naturali Possibile funzione di accesso: h(k)  k MOD m, kK Valore della funzione sempre compreso fra 0 e m–1

14 Funzioni hash  2 Se K non è un sottoinsieme dei numeri naturali
Esempio: insieme di stringhe alfanumeriche La funzione hash si applica a numeri Per utilizzarla in corrispondenza di una chiave non numerica occorre associare alla chiave un valore numerico Necessità di definire funzioni hash generali Associazione di un valore numerico ad una chiave di qualunque tipo Applicazione della funzione hash a tale valore Esempio: si utilizza la somma dei codici ASCII dei caratteri che costituiscono la stringa

15 Collisioni  1 Associazione, da parte di una trasformazione, della stessa posizione a chiavi distinte Sinonimi Esempio: [10,12,20,23,27,30,31,39,42,44,45,49,53,57,60] h(chiave)  (chiave MOD 15) Posizione 0 ← 30, 45, 60 Posizione 8 ← 23, 53 Posizione 12 ← 12, 27, 42, 57 Ciascuna posizione dell’array può contenere al più un elemento; occorre… Ridurre al massimo le collisioni Gestirle quando si verificano

16 Collisioni  2 Funzioni di hashing perfetto (che evitano i duplicati) sono rare, anche per tabelle grandi Esempio: paradosso del compleanno Dato un gruppo di 23 persone, ci sono più del 50% di probabilità che due di esse siano nate nello stesso giorno dell’anno In altre parole, se scegliamo una funzione aleatoria (a valori casuali) che trasforma 23 chiavi in un indirizzo di una tabella di 365 elementi, la probabilità che due chiavi NON collidano è solo (meno della metà) Individuare una funzione di accesso che porti ad un numero ridotto di collisioni è un problema complesso

17 Collisioni  3 Tuttavia… numero di collisioni ridotto drasticamente se accettiamo uno spreco del 25% di memoria extra Esempio: array di 19 elementi (indicizzati da 0 a 18) Posizione 0 ← 57 Posizione 8 ← 27 Posizione 1 ← 20, 39 Posizione 10 ← 10 Posizione 3 ← 60 Posizione 11 ← 30, 49 Posizione 4 ← 23, 42 Posizione 12 ← 12, 31 Posizione 6 ← 44 Posizione 15 ← 53 Posizione 7 ← 45 Collisioni non eliminate del tutto h(chiave)  (chiave MOD 19)

18 Gestione delle collisioni  1
Uso di liste concatenate destinate alla memorizzazione degli elementi che, in inserimento, hanno portato ad una collisione Ricerca di un elemento di chiave k Si calcola h(k) Se si verifica una collisione allora si accede alla lista associata alla posizione h(k) e la si scandisce

19 Gestione delle collisioni  2
Il costo dell’operazione di ricerca  realizzata in modo lineare relativamente alle liste di elementi in collisione  si mantiene pressoché indipendente da n (numero degli elementi contenuti nella tabella) Inserimento/cancellazione costano O (1) Metodo non adatto a reperire sottoinsiemi di dati con chiave che soddisfi una data relazione

20 Complessità asintotica fattoriale
Sia dato un programma che prende in ingresso i partecipanti ad una competizione e genera (ad esempio per stamparle) tutte le possibili classifiche finali n: numero di partecipanti Complessità: O (n!) Si osservi che n! è un numero molto grande anche per n relativamente piccoli 20!  2.41018

21 Complessità asintotica polinomiale
Sia dato un programma che ha come ingresso due array a, b e cerca tutte le coppie (i,j) tali che a[i]b[j] n: dimensione di a m: dimensione di b Complessità: O (nm) void search(int a[], int b[], int alength, int blength) { … for(i0;ialength;i){ for(j0;jblength;j){ if(a[i]b[j]) printf(“Trovata corrispondenza: a[%d]b[%d]%d”, i, j, a[i]); }

22 Algoritmi facili e difficili
In base alla loro complessità temporale asintotica, gli algoritmi sono tipicamente divisi in classi Algoritmi a complessità costante O (1) o lineare O (n) Molto veloci, “scalabili” Algoritmi a complessità polinomiale O (na) per un qualche valore a Usabili se l’esponente a è piccolo Algoritmi a complessità esponenziale O (an) per un qualche valore a (1) Usabili solo per n molto piccoli

23 Algoritmi a complessità esponenziale
Fondamentale: perché gli algoritmi a complessità esponenziale sono considerati quasi inusabili? Perché richiedono talmente tante operazioni che probabilmente anche i calcolatori futuri non saranno in grado di eseguire in tempi ragionevoli le loro possibili implementazioni (programmi) per dati in ingresso ad alta dimensionalità

24 Esempio Si consideri il programma che genera tutte le classifiche finali di una competizione con n partecipanti, complessità O (n!) (è esponenziale, perché ) Con 20 concorrenti le classifiche sono 20! 2.41018 Un computer che generi 1 miliardo di classifiche al secondo, circa 31016 l’anno, impiegherebbe circa 79 anni per generare tutte le classifiche richieste Tendenzialmente, i computer diverranno sempre più veloci e fra dieci anni forse saranno abbastanza veloci da realizzare in un mese quello per cui adesso occorrono 79 anni ma… …comunque, fra dieci anni per risolvere il problema con 21 partecipanti occorreranno ancora 21 mesi e per 25 partecipanti circa anni!!

25 Algoritmi e complessità

26 La ricerca dicotomica  1
Per “cercare” un elemento in un vettore ordinato esiste un metodo detto ricerca binaria o dicotomica Si confronta il valore val da ricercare con l’elemento centrale del vettore A[length/2] Se val è minore dell’elemento mediano, si ripete la ricerca sulla metà sinistra del vettore, altrimenti si ricerca nella metà destra

27 La ricerca dicotomica  2
Esempio: ricerca del numero 23 Si confronta 23 con 13 27 30 34 35 23 20 16 13 9 8 5 4 2 Ci si concentra sulla metà destra (da ind. 8 a ind. 14): si confronta 23 con 27 27 30 34 35 23 20 16 13 9 8 5 4 2 Ci si concentra sulla metà sinistra (da ind. 8 a ind. 10): si confronta 23 con 20 27 30 34 35 23 20 16 13 9 8 5 4 2 Ci si concentra sulla metà destra (da ind. 9 a ind. 9): trovato!! 27 30 34 35 23 20 16 13 9 8 5 4 2

28 Implementazione della ricerca dicotomica
int search(int val, int A[], int from, int to) { int center(fromto)/2; if (from  to) return 1; if (fromto) { if (A[from]val) {return from;} return 1;} // si esegue solo se A[from]!val //si esegue solo se (fromto) if (valA[center]){ return search(val,A,from,center1);} if (valA[center]){ return search(val,A,center1,to);} return center; }

29 Complessità della ricerca dicotomica
La ricerca dicotomica divide il vettore in due ad ogni passo: dopo p passi la dimensione del vettore è nel caso peggiore, la ricerca si ferma quando è 1, cioè quando plog2n Quindi la ricerca dicotomica è O (log2n)

30 Mergesort  1 Il Mergesort è un algoritmo basato sul paradigma del divide et impera Una strategia divide et impera consiste nel suddividere un problema in sottoproblemi, nel risolvere i sottoproblemi, e nel ricomporli per ottenere la soluzione del problema originale Il Mergesort è composto da due fasi: una fase di divisione del vettore da ordinare in sottovettori una fase di ricomposizione dei risultati (merge)

31 Mergesort  2 Idea Dato un vettore da ordinare, lo si divide in due sottovettori di ugual dimensione, si ordinano i sottovettori e poi si “fondono” insieme 6 5 7 4 3 8 2 1 Divisione 6 8 2 1 5 7 4 3 Ordinamento Ordinamento 1 8 6 2 3 7 5 4 Fusione 1 8 7 6 5 4 3 2

32 Mergesort: la divisione ricorsiva
Come si ordinano i due sottovettori ? Applicando ricorsivamente la divisione fino a quando il vettore contiene un solo elemento: in tal caso l’ordinamento è banale 6 5 7 4 3 8 2 1 Divisione 6 8 2 1 5 7 4 3 6 1 2 8 3 4 7 5 6 1 2 8 3 4 7 5

33 Mergesort: la fusione ricorsiva  1
I sottovettori ordinati verranno poi ricorsivamente fusi 1 8 7 6 5 4 3 2 Fusione 1 8 6 2 7 5 4 3 1 6 2 8 3 4 5 7 6 1 2 8 3 4 7 5

34 Mergesort: la fusione ricorsiva  2
La fusione viene realizzata utilizzando due indici che scorrono i due sottovettori da fondere: Ad ogni passo si confrontano i due elementi indicati dagli indici i e j, A[i], A[j] Si copia l’elemento minore in un vettore d’appoggio e si incrementa l’indice corrispondente Si torna al passo 1. fino a quando i due vettori non sono stati completamente visitati 1 2 6 8 i 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 7 k j

35 Complessità del Mergesort
Il Mergesort ha complessità O (nlog2n) sia nel caso medio che nel caso pessimo Mergesort è un algoritmo ottimo! La sua complessità asintotica è la migliore possibile Comunque… …esistono algoritmi che per alcuni ingressi fanno meglio di nlog2n (ad es., Bubblesort su vettori ordinati) …esistono altri algoritmi con complessità nlog2n nel caso pessimo  Heapsort

36 Quicksort  1 Quicksort, come Mergesort, è un algoritmo divide et impera Idea Si divide il vettore A in due sottovettori, che contengono rispettivamente tutti gli elementi maggiori e minori di (per esempio) A[0], cioè il primo elemento del vettore  detto perno Si ripete ricorsivamente la divisione…

37 Quicksort  2 4 5 7 8 3 6 1 2 Si ripartisce il vettore rispetto ad A[1]  4 3 5 7 8 6 4 1 2 3 1 2 5 7 8 6 Si divide rispetto a 3 Si divide rispetto a 6 1 3 2 8 7 6 5 1 2 5 8 7

38 Quicksort: l’operazione perno  1
4 5 7 1 3 6 8 2 i j Si scorrono i, j confrontando con 4 Si scambiano gli elementi Come si divide il vettore? Si usano due indici i, j che scorrono il vettore da sinistra e da destra, rispettivamente L’indice i scorre fino a quando A[i]A[1] L’indice j scorre fino a quando A[j]A[1] Si effettua lo scambio fra A[i] e A[j] e quindi si procede come sopra

39 Quicksort: l’operazione perno  2
Alla fine si scambia il perno con l’elemento in posizione j Si scambiano gli elementi 4 5 7 8 3 6 1 2 i j Si scambia A[j] con il perno 4 5 7 8 6 3 1 2 j 3 5 7 8 6 4 1 2

40 Implementazione void perno(int A[], int from, int to) {
int ifrom1, jto; while(ij){ while(A[i]A[from]) i; while(A[j]A[from]) j; if(ij) scambia(A,i,j); } scambia(A,from,j); }

41 Complessità del Quicksort
Il Quicksort ha complessità media O (nlog n) Il caso pessimo si verifica quando il perno finisce in fondo o in testa al vettore In tal caso, Quicksort ha complessità pari ad O (n2)

42 Mergesort vs Quicksort
Mergesort ha il vantaggio di avere complessità sempre O (nlog n) Quicksort ha il vantaggio di non richiedere un vettore di appoggio: ordina il vettore “in loco” (minore complessità spaziale) In media, Quicksort si comporta “bene” e, per questo motivo, in pratica spesso è preferito a Mergesort

43 Heap  1 Ospita gli elementi dell’insieme A di cardinalità n, su cui è definita una relazione d’ordine totale “” Lo heap (mucchio) è un albero binario Proprietà 1 L’albero è quasi perfettamente bilanciato È completo fino al livello k1, cioè contiene il numero massimo di nodi, 2k1, mentre al livello k contiene un numero di nodi (foglie) compreso tra 1 e 2k I nodi a livello massimo sono tutti addossati a sinistra Proprietà 2 Ogni nodo contiene un elemento  dell’elemento contenuto nel padre

44 Heap  2 Noto il valore di n, la forma dell’albero è fissata dalla Proprietà 1 L’allocazione degli elementi nei nodi può variare, nel rispetto della Proprietà 2 L’elemento massimo dell’insieme è allocato nella radice Nello heap, i sottoalberi di ciascun nodo sono ancora heap Lo heap può essere allocato in un array 63 38 23 28 12 22 17 5 10 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 63 38 23 12 28 17 22 18

45 Heap  3 Con l’allocazione lineare…
A[1] è l’elemento contenuto nella radice dello heap Per ogni A[i], gli elementi corrispondenti ai figli sinistro e destro, se esistono, sono memorizzati in A[2i] e A[2i1] Se 2in e/o 2i1n il figlio sinistro e/o destro di A[i] non esiste nell’albero A[2i]A[i] e A[2i1]A[i], quando tali elementi sono definiti

46 Heapsort  1 Lo heap trova la sua applicazione più elegante nel metodo di ordinamento noto come Heapsort Si estrae l’elemento massimo dallo heap (quello nella radice, o in prima posizione nella rappresentazione lineare) Si ricostruisce lo heap …fino a quando non ci sono più elementi nello heap (ovvero gli elementi del vettore sono ordinati)

47 Heapsort  2 Come si ricostruisce lo heap, dopo l’estrazione della radice? 23 38 18 22 17 5 10 28 12 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 63 38 23 12 28 17 22 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 38 23 12 28 17 22 63 Continua…

48 Heapsort  3 Si considera il massimo fra i due figli della radice e, se max{A[2],A[3]}A[1], si effettua lo scambio 23 38 22 17 5 10 28 12 18 Si scambia A[1] con A[2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 38 23 12 28 17 22 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 18 23 12 28 17 22 63 Continua…

49 Heapsort  4 Si considera il massimo fra i due figli di A[2] e, se max{A[4],A[5]}A[2], si effettua lo scambio 23 18 22 17 5 10 28 12 38 Si scambia A[2] con A[5] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 18 23 12 28 17 22 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 28 23 12 18 17 22 63 Continua…

50 Heapsort  5 Si estrae A[1] che è l’elemento più grande… e si ricomincia il procedimento di ricostruzione 23 28 22 17 5 10 18 12 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 28 23 12 18 17 22 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 23 12 18 17 22 38 63

51 Heapsort  6 Poiché ogni estrazione e ricostituzione dello heap richiede tempo O (log2n'), se n′ è il numero di elementi attualmente contenuti nello heap… Heapsort ha complessità O (nlog2n) L’algoritmo di ordinamento può essere realizzato facilmente sulla “rappresentazione sequenziale” dello heap

52 Heapsort  7 void heapsort(int a[], int left, int right) {
int k, temp, sizerightleft1, *paleft1; /* si costruisce lo heap */ for (ksize2; k1; k) heap(p, k, size); /* si scambia l’elemento più grande con quello finale * e si ricostruisce lo heap */ while (size1) temp  p[1]; p[1]  p[size]; p[size]  temp; heap(p, 1, size); } exit(0);

53 Heapsort  8 /* Costruzione topdown di uno heap */
#define LESS(A,B)((A)(B)) void heap(int a[], int k, int size) { int j, temp; while (2ksize) j  2k; if (jsize && LESS(a[j],a[j1])) j; if (!LESS(a[k],a[j])) break; temp  a[k]; a[k]  a[j]; a[j]  temp; k  j; }

54 Ancora sulla complessità

55 Problemi e algoritmi Anche per i problemi si parla di complessità
Tipicamente non si riesce a definire univocamente la complessità di un problema, perché... ...lo stesso problema può essere risolto con algoritmi diversi che hanno diversa complessità …anche se si riesce a stabilire qual è il miglior algoritmo per la risoluzione di un dato problema, tale stima ha comunque un valore non assoluto, ma limitato nel tempo, in quanto non è dato prevedere se in futuro potrà esistere un metodo risolutivo migliore Per questi motivi, si parla solo di limite inferiore e superiore alla complessità di un problema

56 Complessità di un problema
In alcuni casi è possibile dimostrare che nessun algoritmo che risolve un dato problema può/potrà impiegare meno risorse di un certo limite inferiore Esempi banali Nessun algoritmo che genera tutte le classifiche possibili per n concorrenti può farlo in meno di n! operazioni (il limite inferiore alla complessità è O (n!)) Nessun algoritmo può effettuare la somma fra vettori ndimensionali in meno di n operazioni (il limite inferiore alla complessità è O (n)) Esempio non banale Nessun algoritmo può ordinare un vettore di n elementi in meno di nlog2n operazioni, nel caso peggiore

57 Algoritmi ottimi Un algoritmo si dice ottimo, quando ha complessità pari al limite inferiore Esempi Mergesort e Heapsort sono ottimi Si consideri il problema di sommare gli elementi di un vettore: un algoritmo che scorre tutti gli elementi e li somma uno ad uno richiede O (n) operazioni: tale algoritmo è ottimo perché la sua complessità corrisponde con quella minima Si consideri il problema di inserire un elemento in un albero binario bilanciato che contiene n elementi: Abbiamo visto una soluzione algoritmica che impone O (log2n) operazioni  log2n è un limite superiore per tale problema Si può dimostrare che tale complessità corrisponde con il limite inferiore e che l’algoritmo proposto è ottimo

58 Algoritmi e computer Dubbi:
La complessità è indipendente dal computer su cui “gira” il programma? Ad esempio, se si inventasse un calcolatore in grado di generare contemporaneamente tutte le classifiche di n concorrenti, allora quel problema non avrebbe più complessità n! Oppure… potrebbe esistere in futuro un computer in grado di ordinare un vettore di qualsiasi lunghezza per mezzo di una sola istruzione Nessuno conosce la risposta ma, fino ad ora, nessuno è riuscito a progettare un computer con queste capacità Tutti i calcolatori conosciuti sono equivalenti, in termini di capacità di calcolo, ad un computer semplicissimo: la macchina di Turing

59 La macchina di Turing Alan Turing (19121954) è considerato uno dei padri dell’informatica Nel 1936 propose l’idea di una macchina immaginaria che fosse capace di eseguire ogni tipo di calcolo su numeri e simboli Esistono varie versioni della macchina di Turing, quella più simile ai nostri calcolatori è quella cosiddetta a registri

60 La macchina di Turing a registri
È costituita da un insieme di registri di lavoro R1, R2, R3,… e di registri di ingresso I1, I2, I3,… Ogni registro è una cella di memoria che contiene un intero non negativo I programmi sono costituiti da tre semplici tipi di istruzioni: incremento: Ri  Il registro i viene incrementato di 1 decremento: Ri  Il registro i viene decrementato di 1; se il registro ha già valore 0, l’istruzione non ha effetto salto condizionato: IF Ri GOTO L1 Se il registro i contiene un valore maggiore di 0, si va all’istruzione L1 IF I1 GOTO ciclo ciclo: I2 I1 fine: Programma che somma i contenuti di I1 e I2 in I2

61 La tesi di ChurchTuring
La tesi di ChurchTuring afferma che: Ogni problema intuitivamente calcolabile (risolubile) da un qualsiasi elaboratore è calcolabile da una macchina di Turing, purché dotata di memoria (e tempo di elaborazione) sufficiente Nessuno è mai riuscito a confutare la tesi di ChurchTuring La maggior parte dei ricercatori ritiene che sia vera

62 Il problema della terminazione
Supponiamo che esista un programma halt in grado di risolvere i problema della terminazione halt(P,I) restituisce: true se P con ingresso I termina false se P con ingresso I non termina Consideriamo il programma Q Cosa succede se si applica Q a Q ? Q(Q) termina o no ? Se Q(Q) termina allora halt(Q,Q) dovrebbe essere vero… ma allora Q(Q) non dovrebbe terminare Se Q(Q) non termina allora halt(Q,Q) dovrebbe essere falso … ma allora Q(Q) dovrebbe terminare Quindi il programma halt non esiste!! void Q(Program P){ while (halt(P,P)) {} }

63 Problemi impossibili Esistono problemi molto difficili… problemi non calcolabili con una macchina di Turing e  se la tesi di ChurchTuring è vera  con nessun calcolatore!! Esempi Problema della terminazione Dato un programma e un suo ingresso, dire se il programma terminerà (o entrerà in un ciclo indefinito) Problema di Post Dato un programma e due stati (uno stato è definito da un certo valore delle variabili), dire se a partire dal primo stato si potrà raggiungere il secondo

64 La macchina non deterministica  1
FORK{ R1, R1 } FORK{ R2, R2 } IF R1 GOTO cont IF R4 GOTO no cont: IF R2 GOTO ok ok: ACCEPT no: Nella macchina non deterministica, i programmi includono anche altre istruzioni scelta casuale: FORK prende in ingresso un insieme di istruzioni e ne esegue una a caso istruzione di accettazione: ACCEPT quando viene eseguita, il programma termina correttamente Un problema è risolubile se esiste un programma e una scelta casuale per cui il programma termina con ACCEPT e fornisce la risposta desiderata Programma che assegna a caso valori in {0, 1} a R1 e R2 e termina solo se R1R21

65 La macchina non deterministica  2
La macchina non deterministica “non calcola più di quella deterministica” Si può dimostrare che tutto ciò che è calcolabile sulla macchina di Turing non deterministica è calcolabile anche sulla macchina deterministica Si pensa però che la macchina non deterministica sia più efficiente di quella deterministica Il non determinismo può essere pensato come una forma di parallelismo: FORK è un istruzione che genera più programmi paralleli Il parallelismo permette di risolvere i problemi velocemente: ad esempio, si può cercare un elemento in un vettore guardando contemporaneamente a tutte le posizioni del vettore

66 Problemi P e NP I problemi decisionali richiedono solo una risposta binaria (sì/no), correlata in genere all’esistenza di una soluzione (es., problema della terminazione) Nella teoria della complessità, i problemi decisionali si dividono in due classi P  problemi risolubili in tempo polinomiale sulla macchina di Turing deterministica NP  problemi risolubili in tempo polinomiale sulla macchina di Turing non deterministica Includono sia i problemi “facili”, sia anche la quasi totalità dei problemi che si incontrano nelle situazioni pratiche Ovviamente vale PNP, ma non è noto se P≠NP

67 Problemi NPcompleti  1
Problema decisionale della soddisfattibilità: Data una forma normale congiuntiva F(x1,x2,…,xn) stabilire se esiste un assegnamento di valori delle variabili booleane x1, x2,…, xn che soddisfi F Qualunque problema della classe NP si riduce, in tempo polinomiale, al problema della soddisfattibilità PS PS è il “più difficile” fra i problemi di NP

68 Problemi NPcompleti  2
Un problema P è detto NPcompleto se PNP e PS si riduce a P I problemi NPcompleti sono tutti equivalenti fra loro: Sarebbe sufficiente trovare un algoritmo polinomiale per uno solo di essi ed avremmo trovato un algoritmo polinomiale per risolvere tutti i problemi Inoltre, tutti i problemi in NP sarebbero risolubili in tempo polinomiale sulla macchina di Turing deterministica, cioè avremmo dimostrato che NPP!

69 Problemi NPcompleti: esempi
Problema decisionale del commesso viaggiatore Dato un insieme di n città con le relative distanze, trovare, se esiste, un cammino di lunghezza k che, partendo da una città, le visiti tutte tornando in quella di partenza Un problema NParduo (non decisionale) Programmazione lineare intera Data una matrice A e due vettori b, c, calcolare un vettore di interi x che soddisfi Axb e minimizzi f(x)cx Problemi di programmazione lineare definire l’orario dei treni e degli autobus definire l’orario delle lezioni …

70 Conclusioni: PNP e tesi di Church
Attualmente si pensa che NPP …ma nessuno è ancora riuscito a dimostrarlo Si pensa anche che la tesi di Church sia vera: ovviamente questo non si può dimostrare ma è, eventualmente, solo confutabile Talvolta, problemi con complessità proibitiva sono utili: Ad esempio, gli algoritmi crittografici sono basati sul fatto che “decrittare” una chiave è molto complesso e richiederebbe un tempo troppo lungo Se la tesi di Church non fosse vera o se PNP, tali metodi non sarebbero più efficaci