Cammini minimi con una sorgente

Presentazione sul tema: "Cammini minimi con una sorgente"— Transcript della presentazione:

1 Cammini minimi con una sorgente
Problema dei cammini minimi Varianti e archi negativi Sottostruttura ottima di un cammino minimo Algoritmo di Dijkstra Complessità dell’algoritmo Rappresentazione dei cammini minimi

2 Problema dei cammini minimi
Input: un grafo G=(V,E) orientato e pesato, con una funzione peso w: E → R, che associa ad ogni arco in E un peso a valore nei reali. 1 9 1 8 1 2 1 2 1 1 1 3 1 3 3 3 6 6 1 6 1 4 4 4 1 -3 5 5 1 -1

3 Problema dei cammini minimi
Il peso di un cammino p= <v1, v2, …,vk> è la somma dei pesi degli archi che lo costituiscono. p1= <PO, FI, SI> = 15 min + 50 min = 65 min p2 = <PO, FI, AR, SI> = 15 min + 35 min + 40 min = = 90 min p3 = <PO, FI, PI, LI, GR, SI> = 160 min MC 50 PT 20 35 LU 20 25 PO 20 15 PI 60 FI 35 LI 50 AR 65 SI 40 70 GR

4 Problema dei cammini minimi
Il peso di un cammino minimo dal vertice u al vertice v è definito da: Un cammino minimo dal vertice u al vertice v è definito come un qualunque cammino p con peso w(p) = δ(u,v). Può non essere unico! δ(6,1) = 7 p1 = <6, 2, 3, 1 > w(p1) = 7 p2 = <6, 1> w(p2) = 9 p3 = <6, 5, 6, 2, 3, 1 > w(p3) = 9 p4 = <6, 5, 4, 3, 1 > w(p4) = 7 9 8 1 2 1 3 3 3 3 6 3 4 -2 5 -1

5 Vari problemi Problema di cammini minimi con sorgente singola: si vuole trovare un cammino minimo da un dato vertice sorgente s ad ogni vertice v in V. Problema di cammini minimi con destinazione singola: si vuole trovare da ogni vertice v in V un cammino minimo ad un dato vertice destinazione t. Problema di cammini minimi tra una coppia: si vuole trovare un cammino minimo da u a v. Problema di cammini minimi tra tutte le coppie: determinazione di un cammino minimo per ogni coppia di vertici u e v.

6 Archi con pesi negativi
Un possibile problema può essere rappresentato dalla presenza di pesi negativi sugli archi e di cicli che contengano archi con pesi negativi. Se il peso di un ciclo è negativo, allora tutti i nodi raggiungibile dal ciclo hanno un cammino minimo infinitamente negativo (-∞). Ciclo <6,5> negativo. Ogni volta che compio un giro diminuisco il peso del cammino che passa per il ciclo. δ(6,1) = -∞ 9 8 1 2 1 3 3 3 3 6 3 4 -2 5 -7

7 Sottostruttura ottima di un cammino minimo
Sottocammini di cammini minimi sono cammini minimi Dato un grafo G=(V,E) con funzione peso w:E→ R, sia p= <v1, v2, …,vk> un cammino minimo da v1 a vk. Per ogni i e j tali che 1 ≤ i ≤ j ≤ k, ha che il sottocammino pij= <vi, vi+1, …,vj> è un cammino minimo. w(pij)=δ(i,j) 1 i j k p’ij Dato un altro sottocammino da i a j p’ij, necessariamente w(pij ) ≤ w(p’ij), altrimenti il cammino minimo passa per p’ij.

8 Sottostruttura ottima di un cammino minimo
Di conseguenza: Si supponga che un cammino minimo p da una sorgente ad un vertice v passi per l’arco (u,v) con peso w(u,v). Il peso del cammino minino da s a v è δ(s,v) = δ(s,u) + w(u,v). δ(s,u) cammino minimo tra u e v δ(s,v) = δ(s,u) + w(u,v). w(u,v) i u v Più in generale, se esiste un arco (u,v), allora si ha: δ(s,v) ≤ δ(s,u) + w(u,v).

9 Algoritmo di Dijkstra L’algoritmo di Dijkstra risolve il problema dei cammini minimi con sorgente singola su un grafo orientato e pesato G=(V,E) nel caso in cui tutti i pesi degli archi siano non negativi. Ci sono due insiemi: S: dove d[v] = δ(s,v), quindi un cammino minimo tra s e v è stato determinato. Q = V-S: una coda a priorità dove d[v] ha il valore del cammino con peso minore finora scoperto. All’inizio, S contiene solo s, d[s]=0, mentre Q=V-{s} con d[v]=∞.

10 Algoritmo di Dijkstra DIJKSTRA(G,w,s)
for ogni vertice u in V[G] // inizializzazione di ogni vertice do d[u] ← ∞ p[u] ← NIL d[s] ← 0 // si comincia dal vertice s Q ← V[G] // coda a priorità S ← Ø // insiemi dei cammini minimi trovati while Q≠Ø // termina quando la coda Q è vuota do u ← EXTRACT-MIN(Q) // prendi il cammino in Q più piccolo S ← S U {u} // inserisci u in S for ogni vertice v in Adj[u] // aggiorna cammini minimi in Q con v adiacente a u do if d[v] > d[u] + w(u,v) then d[v] ← d[u] + w[u,w] p[v] ← u

11 Esempio 10 u v 10 u v 10 u v 1 1 1 ∞ ∞ 10 ∞ 8 14 s 3 s 3 3 9 9 s 9 2 2 2 4 6 4 6 4 6 7 7 7 ∞ ∞ 5 ∞ 5 7 5 2 5 2 5 2 x y x y x y (a) (b) (c) 10 u v 10 u v 10 u v 1 1 1 8 13 8 9 8 9 s 3 s 3 3 9 9 s 9 2 2 2 4 6 4 6 4 6 7 7 7 5 7 5 7 5 7 5 2 5 2 5 2 x y x y x y (d) (e) (f)

12 Correttezza algoritmo
Se si esegue un l’algoritmo di Dijkstra su un grafo orientato e pesato G=(V,E) nel caso in cui tutti i pesi degli archi siano non negativi, allora al termine vale d[v] = δ(s,v) per ogni v in V. Dimostrazione Supponiamo per assurdo che u sia il primo vertice ad entrare in S tale che d[u] ≠ δ(s,u). Prendiamo un cammino minimo da s a u, che può essere decomposto in s→x→y→u, con x in S, y in Q e (x,y) arco di G. S Può essere s = x o y = u s x y p1 p2 u

13 Correttezza algoritmo
d[x] = δ(s,x) x è entrato prima di u in S. S s x y p1 p2 u Si ha anche d[y] = δ(s,y) = δ(s,x) + w(x,y), perché sottocamino di un cammino minimo. Inoltre d[y] = δ(s,y) ≤ δ(s,u) ≤ d[u]. Nell’algoritmo u viene scelto prima di y (EXTRACT-MIN(Q)), quindi deve valere l’uguaglianza: d[y] = δ(s,y) = δ(s,u) = d[u]. ASSURDO! δ(s,u) ≠ d[u].

14 Complessità Si consideri che la coda con priorità Q come un array lineare: Inizzializzazione tempo O(|V|) EXTRACT-MIN(Q): ricerca del minimo in Q. Bisogna vedere tutti i valori in Q, richiede tempo O(|V|) EXTRACT-MIN(Q) viene eseguito per ogni vertice quindi il tempo totale è O(|V|x|V|) = O(|V|2) Come in BFS vengono, si esamina la lista di adiacenza di ogni vertice v, che entra solo una volta in S. La somma di tutte liste di adiacenze è |E|. Il tempo totale dell’algoritmo di Dijkstra è O(|V|+|E|+|V|2).

15 Rappresentazione dei cammini minimi
Come nella visita in ampiezza (BFS), l’algoritmo Dijkstra definisce un sottografo dei predecessori Tp=(Vp,Ep). L’albero che ne segue contiene i cammini minimi individuati da s ad ogni vertice raggiungibile v. Nota: questo vale solo al termine dell’algoritmo. 10 u v u v 1 1 8 9 8 9 s 3 3 9 s Tp=(Vp,Ep) 2 4 6 7 5 7 5 7 5 2 5 2 x y x y