Rappresentazione di dati numerici

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1 Rappresentazione di dati numerici

2 Sistemi numerici Si suddividono in:
Non posizionali : quali ad esempio il sistema di numerazione romano (i cui simboli sono: I, II, III, IV, V, X, L, C, D, M) oppure quello egiziano Posizionali : quali ad esempio il sistema arabo (decimale) e il sistema maya (ventesimale). Nei sistemi posizionali le operazioni aritmetiche risultano molto agevoli mentre in quelli non posizionali sono alquanto complicate.

3 Sistema posizionale a base fissa
Nei sistemi numerici a base fissa, un numero N può essere rappresentato in uno del seguenti modi: N = dn-1; dn d1; d0; d d-m N = dn-1· rn d0· r0 + d-1· r d-m· r-m

4 Sistemi numerici Proprietà di un sistema numerico a base fissa
è a rango illimitato : ogni numero intero vi può essere rappresentato; è a rappresentazione unica : ad ogni numero intero corrisponde un solo insieme ordinato di cifre; è irridondante : ad ogni insieme ordinato di cifre corrisponde un solo numero non rappresentato da altri insiemi ordinati.

5 Sistema decimale r = 10 cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Esempio: 10110 = 1 × × × 100 = = 10110

6 Sistema binario r = 2 cifre: { 0, 1 } = 4 + 0 + 1 = 510 Esempio:
1012 = 1 × × × 20 = = 510

7 Sistema ottale r = 8 cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Esempio: 1018 = 1 × × × 80 = = molto utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 3 cifre binarie corrisponde una cifra ottale) ( ) 2 = ( ) 8

8 Sistema esadecimale r = 16
cifre: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } Esempio: 101H = 1 × × × 160 = = anch’esso utile per scrivere in modo compatto i numeri binari (ad ogni 4 cifre binarie corrisponde 1 cifra esadecimale) ( ) 2 = ( B ) 16

9 Sistema base 5 r = 5 cifre: { 0, 1, 2, 3, 4 } = 25 + 0 + 1 = 2610
Esempio: 1015 = 1 × × × 50 = =

10 Sistema binario Caratteristiche
su n cifre si rappresentano 2n numeri; ad esempio su 4 cifre: Prime 16 potenze del 2:

11 Sistema binario La cifra binaria è detta bit
parola che deriva dall’unione di due elisioni: binary digit I bit estremi di un numero binario si chiamano: MSB (Most Significant Bit) LSB (Least Significant Bit)

12 Limiti del sistema binario
Poiché su n bit si rappresentano 2n numeri, per rappresentare la stessa grandezza occorrono molte più cifre rispetto al sistema numerico decimale. bit simboli val. minimo val. massimo 16 65, ,535 32 4,294,967, ,294,967,295

13 Conversione da binario a decimale
Si applica direttamente la definizione effettuando la somma pesata delle cifre binarie: 1012 = 1 × × × 20 = = 5 = 1 × × × × × 2-1 = =

14 Conversione da binario a decimale (2)
B) Metodo consigliato: da mettendo in evidenza i fattori comuni, si ricava:

15 Conversione da binario a decimale (3)
Si deduce il seguente algoritmo: Si parte dalla cifra più significativa Si moltiplica per la base Si somma la cifra successiva Si ripete da 2. fino ad arrivare a d0 Esempio: = ((1*2+0)*2+1)*2+0 = 1010

16 Conversione da decimale a binario
N = dn-1· rn d0· r0 + d-1· r d-m· r-m Consideriamo la sola parte intera e riscriviamo il numero binario nel modo seguente: N = d0 + 2 · (d1 + 2 · (d dn-1)) Si può osservare che dividendo N per la base 2, si ottiene un quoziente (d1 + r · (d dn-1)) e un resto d0, che costituisce proprio la cifra meno significativa del numero nella base 2. Dividendo successivamente il quoziente per la base 2 si trova ancora un quoziente e un resto d1, che è la cifra di peso uno cercata, e così via.

17 Esempio Esempio: 13 6 3 1 0 quozienti 1 0 1 1 resti d0 d1 d2 d3
1310 =

18 Numero di bit della rappresentazione binaria
Problema: dato N10, quanti bit (n) occorrono per rappresentarlo in base 2 ? Con n bit il massimo numero rappresentabile è: Con n-1 bit il massimo numero rappresentabile è:

19 Numero di bit della rappresentazione binaria (2)
Pertanto per rappresentare un numero x tale che x  2n-1 e x > 2n-1-1 occorrono n bit. Esempio: 3=22-1 < 5 < 7=23-1: 5 si rappresenta su 3 bit (infatti 510 = 1012). Ora: 2n-1-1 < x  2n-1 2n-1 < x+1  2n n-1 < log2(x+1)  n

20 Numero di bit della rappresentazione binaria (3)
n = log2 (x+1) k = intero superiore o uguale a k In generale, per una base r: n = logr (x+1)

21 Numero di bit della rappresentazione binaria (4)
Dato N, il rapporto tra cifre decimali e bit occorrenti per rappresentarlo: D / B = log10(N+1) / log2(N+1) non è costante al variare di N. Si può però osservare che: 210 = 1000 = 103  10 bit ogni 3 cifre decimali. Questo rapporto si mantiene per un largo intervallo di valori.

22 Numero di bit della rappresentazione binaria (5)
210 = 1024  103 → Kilo 220 =  106 → Mega 230 =  109 → Giga

23 Conversione da decimale a binario
Dato un numero frazionario: N = a a a-m 2-m moltiplicando N per la base 2, si ricava come parte intera la cifra a-1, cioè la prima cifra binaria. Eliminata questa parte intera, moltiplicando quanto resta ancora per 2, si ricava come parte intera a-2, ecc. Le parti intere, scritte nel medesimo ordine con cui sono state ricavate, rappresentano il numero frazionario binario cercato.

24 Esempio Regola: si moltiplica per due la parte frazionaria e si prende la cifra intera prodotta dal risultato proseguendo fino alla precisione richiesta. Esempio: x 2 0.68 x = 1.36 x 0.72 x ecc =

25 Per convertire un numero con parte intera e parte frazionaria, si convertono separatamente le due parti e poi si giustappongono. Esempio: = (?)2 2510 = (metodo delle divisioni successive) = (metodo dei prodotti successivi) = ( )2

26 Conversioni tra sistemi in base qualsiasi
E’ ovvio che le regole di conversione decimale-binario sono del tutto generali e valgono qualsiasi siano i sistemi numerici coinvolti. Ad esempio per convertire il numero decimale 365 in base 7 si divide per 7: =

27 Operazioni aritmetiche
Le operazioni aritmetiche in un qualsiasi sistema numerico si possono eseguire nello stesso identico modo che conosciamo così bene per il sistema numerico decimale. L’avvertenza è solo quella di costruire la “tabellina” opportuna per quel particolare sistema numerico: si ricordi che la tabellina per il sistema numerico decimale ce la siamo studiata a memoria sin dall’infanzia!!!! Il nostro interesse è però particolarmente concentrato sul sistema numerico binario e sono proprio le operazioni aritmetiche in binario che affronteremo ora.

28 Somma in binario Regole base: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1
= 0 = 1 = 1 = 0 con riporto (carry) di 1 Si effettuano le somme parziali tra i bit dello stesso peso, propagando gli eventuali riporti: = =

29 Somma completa La somma completa (full addition) tiene conto del riporto per cui si sommano due bit ed un carry ottenendo come risultato un bit di somma e un bit di riporto A B Carry S Rip 1

30 Sottrazione in binario
Regole base: 0 – 0 = 0 0 – 1 = 1 con prestito (borrow) di 1 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 Si eseguono le sottrazioni bit a bit tenendo conto dei prestiti: = =

31 Sottrazione completa Analogamente alla somma, è possibile definire la sottrazione completa (sottrazione tra due bit ed un borrow ) A B Borrow S Prest 1

32 Moltiplicazione in binario
Il prodotto tra due numeri binari si può calcolare con la tecnica già nota per i numeri in base 10, detta della somma e scorrimento. Esempio: x x = = Nella pratica si usano accorgimenti particolari basati sull’operazione di scorrimento (shift ).

33 Divisione in binario Come per le altre operazioni applichiamo le stesse regole che usiamo col sistema decimale: Esempio: / 3 = 7 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0

34 L’operazione di shift Equivale ad una moltiplicazione o divisione per la base. Consiste nel “far scorrere ” i bit (a sinistra o a destra) inserendo opportuni valori nei posti lasciati liberi. In decimale equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 10. In binario equivale a moltiplicare (shift a sinistra) o dividere (shift a destra) per 2.

35 « 1 (shift a sinistra di 1 posizione)
Si inserisce come LSB un bit a zero Equivale ad una moltiplicazione per due 0011 « 1 = ( 3 ´ 2 = 6 ) 0011 « 2 = ( 3 ´ 22 = 12 ) 0011 « 3 = ( 3 ´ 23 = 24 ) 1 « 1 (shift a sinistra di 1 posizione) 1

36 » 1 (shift a destra di 1 posizione)
Si inserisce come MSB un bit a zero Equivale ad una divisione per due 0110 » 1 = 0011 ( 6 : 2 = 3 ) 0110 » 2 = 0001 ( 6 : 4 = 1 ) troncamento! 1 » 1 (shift a destra di 1 posizione) 1

37 Moltiplicazioni Una qualsiasi moltiplicazione tra due numeri può essere trasformata in una serie di shift e di somme, operazioni che vengono eseguite molto velocemente dai microprocessori. Ad esempio il prodotto 14 x 13 diventa: 14 · 13 = 14 · ( ) = 14 · · · 1 = 1110 « « 1110 =

38 Limiti della rappresentazione
Quando scriviamo sulla carta non ci preoccupiamo quasi mai della grandezza dei numeri (a meno di particolari necessità). Nelle macchine numeriche un numero deve essere rappresentato in un particolare dispositivo elettronico interno che si chiama registro ed è paragonabile ad una cella di memoria. Caratteristica fondamentale di questo dispositivo è la sua dimensione (numero di bit) stabilita in sede di progetto: ovvero in un elaboratore potremo rappresentare solo una quantità limitata di numeri.

39 Limiti della rappresentazione
Ad esempio se il nostro contenitore (registro) è lungo 5 bit: potremo rappresentare solamente i numeri binari compresi tra 0 e 31 Inoltre dovremo in qualche modo introdurre il segno dei numeri!

40 I numeri con segno Oltre al problema relativo al valore del numero bisogna trovare il modo di rappresentare il segno. Il segno dei numeri può essere solo di due tipi: positivo ( + ) negativo ( - ) Sembrerebbe quindi facile rappresentarlo in binario, tuttavia la soluzione più semplice (1 bit riservato al segno) non è sempre conveniente. Per tener conto del segno anziché il sistema numerico binario si utilizzano dei codici binari che hanno tuttavia come base, ovviamente, il sistema numerico binario.

41 Modulo e segno Su N bit, un bit è destinato al segno (in binario 0 = +, 1 = -) e N-1 bit al valore assoluto (anche detto modulo) S modulo E’ un codice che ricorda molto il nostro modo di rappresentare i numeri sulla carta. Presenta però gravi svantaggi dovuti alla doppia rappresentazione dello zero (esistono e sono leciti infatti sia + 0, che - 0) e alla complessità delle operazioni aritmetiche.

42 Modulo e segno Esempi - usando una codifica su quattro bit:
® MS ® MS Si ha una doppia rappresentazione dello zero: 0000MS ® 1000MS ® In generale su N bit sono rappresentabili i valori: - ( 2N ) £ x £ + ( 2N ) 8 bit => [ ÷ ] 16 bit => [ ÷ ]

43 Complemento a 1 Considerando numeri binari di n bit, si definisce complemento a uno di un numero A la quantità: A = 2n - 1 – A Viene anche detto semplicemente complemento. Regola pratica: il complemento a uno di un numero binario A si ottiene cambiando il valore di tutti i suoi bit (complementando ogni bit) Esempio: A = ® A = 0100

44 Complemento a 2 Considerando numeri binari di n bit, si definisce complemento a due di un numero A la quantità: A = 2n – A Regola pratica: il complemento a due di un numero binario A si ottiene sommando uno al suo complemento (a uno) Esempio: A = ® A = ® A = 0101

45 Complemento a 2 E’ usato per rappresentare numeri relativi:
( A ³ 0 ) 0 A2 (= AMS) ( A < 0 ) complemento a 2 di A In questo modo l’MSB indica il segno: 0 = +, 1 = - Regola alternativa per la determimazione del complemento a due: si parte da destra, si lasciano inalterati tutti gli zeri fino al primo uno che si lascia inalterato, si complementano tutti gli altri bit Esempio: A = ; A =

46 Complemento a 2 Esempio - usando una codifica su 4 bit:
In generale su N bit sono rappresentabili i valori: - ( 2N-1 ) £ x £ + ( 2N ) 8 bit => [ ÷ ] 16 bit => [ ÷ ]

47 Somma e sottrazione in complemento a 2
La somma si effettua direttamente, senza badare ai segni degli operandi, come fossero due normali numeri binari. La sottrazione si effettua sommando al minuendo il complemento a 2 del sottraendo: A – B ® A + (- B) ovvero: A + B Esempio: = =

48 Overflow Si usa il termine overflow per indicare l’errore che si verifica in un sistema di calcolo automatico quando il risultato di un’operazione non è rappresentabile con la medesima codifica e numero di bit degli operandi. Nella somma in binario puro si ha overflow quando si opera con un numero fisso di bit e si genera un riporto (carry) sul bit più significativo (MSB, quello più a sinistra). Esempio: somma tra numeri di 4 bit in binario puro = overflow! ®

49 Overflow in complemento a 2
Operandi con segno discorde: non si può mai verificare overflow!!!!! Operandi con segno concorde: c’è overflow quando il risultato ha segno discorde da quello dei due operandi In ogni caso, si trascura sempre il carry (riporto) oltre il MSB Esempi: = = = carry, risultato OK overflow!

50 Fixed-point Si usa un numero fisso di bit per la parte intera e per quella frazionaria (e non si rappresenta la virgola!) Ad esempio (4 + 4 bit, binario puro): = = virgola sottintesa

51 Fixed-point Vantaggi: Svantaggi: Utilizzo tipico:
gli operandi sono allineati per cui le operazioni aritmetiche risultano facili ed immediate; la precisione assoluta è fissa Svantaggi: l’intervallo di valori rappresentati è assai modesto la precisione dei numeri frazionari rappresentati molto scarsa Utilizzo tipico: DSP (Digital Signal Processor) Sistemi digitali per applicazioni specifiche (special-purpose) Numeri interi nei calcolatori

52 Rappresentazione di numeri interi
A causa dell’estrema semplicità che presentano le operazioni aritmetiche in complemento a 2, in tutte le macchine numeriche i numeri interi vengono rappresentati in questo codice. Il numero di bit utilizzati dipende dalla macchina: si tratta generalmente di 16 bit (interi corti) o 32 bit (interi lunghi). La rappresentazione è nota col nome di fixed-point e il punto frazionario è supposto all’estrema destra della sequenza di bit (parte frazionaria nulla).

53 Rappresentazione di numeri reali
Le rappresentazioni fin qui considerate hanno il pregio di rappresentare esattamente i numeri (almeno quelli interi) ma richiedono un numero di bit esorbitante quando il numero da rappresentare ha valore elevato. La rappresentazione dei numeri frazionari che deriva dai codici precedenti, ovvero in fixed point, a causa delle forti approssimazioni che impone è usata raramente. Generalmente viene utilizzato un apposito codice noto come floating point che consente di rappresentare in un numero limitato di bit grandezze di qualsiasi valore anche se condizionate da approssimazioni più o meno elevate.

54 Rappresentazione di numeri in floating point
Realizza un compromesso tra l'intervallo dei valori rappresentati e la precisione della rappresentazione. Utilizza una notazione del tipo mantissa + esponente dove il numero di bit dedicati alla mantissa influisce sulla precisione all' esponente influisce sull' ampiezza dell'inter-vallo di valori rappresentabili

55 La notazione scientifica
Numeri in virgola fissa su 6 cifre decimali. Intervallo esprimibile: 0  ( 106) Numeri in notazione scientifica su 6 cifre. Forma: X.YYY10WW Dove la parte intera X esprime la quantità, il numero di cifre della parte frazionaria YYY la precisione, l’esponente WW l’ordine di grandezza.

56 La notazione scientifica (2)
Intervallo di valori espressi: 0 (0.000100)  (9.9991099) Con 6 cifre, si rappresentano sempre 106 numeri differenti, ma Nella rappresentazione in virgola fissa, sono equispaziati Nella rappresentazione in virgola mobile, non sono distribuiti uniformemente: vicino allo zero, i numeri differiscono di 10-3; vicino al valore massimo, differiscono di 10-31099= 1096.

57 Standard IEEE P754 Definisce i formati per la rappresentazione dei numeri in virgola mobile ma anche: le conversioni tra formati floating point differenti; le conversioni tra numeri f. p. ed interi o numeri rappresentati in codice BCD; i risultati delle operazioni aritmetiche; i metodi di trattamento di situazioni di eccezione (es. divisione per zero, errori di overflow, under-flow etc.).

58 Single basic format P754 (32 bit)
I numeri sono pensati nella forma normalizzata: X = (-1)s(1.m)2e dove: s è il bit di segno; e è l'esponente rappresentato in codice eccesso 127 (cioè esponente vero + 127) su 8 bit ( -126  e  127);

59 Single basic format P754 (32 bit)
m è la mantissa rappresentata in forma normalizzata su 23 bit in modo che il primo bit abbia peso 2-1;(il bit 20 sempre uguale a 1 non viene rappresentato ed è detto hidden bit) Esempio: va trasformato nella forma normalizzata: = 23

60 Struttura della rappresentazione single basic format
Esempio: rappresentare in P754 s.b.f. s = 0 e = m = = = *23 Þ

61 Caratteristiche della rappresentazione P754 su 32 bit
Range della rappresentazione: si considerano i valori assoluti dei numeri normalizzati rappresentabili: Nmax = ·2127 = 3.4 · 1038 Nmin = ·2-126 = 1.17 · 10-38 Precisione della rappresentazione: due valori rappresentabili e consecutivi differiscono per 2e-23 dove “e” è l’esponente vero (non in codice eccesso 127) Numero massimo di valori rappresentabili: 232

62 Distribuzione dei numeri in f.p.
1.0..* 20 1.0..* 21 1.0..* 22 1.0..* 23 - 8 - 4 -2 -1 1 2 4 8 223 numeri 223 numeri

63 Interpretazione di un numero f.p.
Sia s il bit del segno, e l’esponente, f la parte frazionaria. Se e = 0 ed f = 0, il valore è (-1)s0, cioè +0 oppure -0 Se e = 0 ed f  0, è una forma denormalizzata (esempio: si possono rappresentare gli interi su 23 bit, ecc.)

64 Interpretazione di un numero f.p. (2)
Se 0 < e < 255, è una forma normalizzata e il valore è (-1)s(1.f)2(e-127) Se e = 255 ed f  0, si rappresenta (-1)s() cioè un numero infinitamente grande o infinitamente piccolo

65 Interpretazione di un numero f.p. (3)
Se e = 255 ed f = 0, non si tratta di un numero valido (not a number, NAN): permette di codificare condizioni particolari, quali operazione non valida, overflow, ecc.

66 Operazioni in f.p. Gli operandi sono da riportare nella forma:
1.xxxxx…x2a 1.yyyyy…y2b dove a e b sono gli esponenti eccesso 127 SOMMA – SOTTRAZIONE Si eseguono le operazioni con gli algoritmi del modulo e segno.

67 Operazioni in f.p. (2) Si devono allineare i numeri rispetto al punto decimale, riportandoli allo stesso esponente. Si fa scorrere a destra il valore minore (in modulo) di un numero di posizioni pari alla differenza degli esponenti. La differenza degli esponenti si può fare direttamente sui valori eccesso 127: (a’+127)-(b’+127) = a’-b’. L’esponente del risultato è quello del modulo maggiore. Potrebbe essere richiesta una ri-normalizzazione del risultato.

68 Operazioni in f.p. (3) PRODOTTO
Si sommano gli esponenti normalizzati e si sottrae 127: (a’+127) + (b’+127) = (a’+b’+127)+127. Si moltiplicano le mantisse di 24 bit, ottenendo il prodotto su 48 bit: il risultato deve essere troncato ai 24 bit più significativi (precisione di 2-23). Può essere richiesta una ri-normalizzazione: 1.x…  1.y… < 1002 = 4

69 Operazioni in f.p. (4) DIVISIONE
Si sottraggono gli esponenti normalizzati e si somma 127: (a’+127) - (b’+127) = (a’-b’). Il dividendo, di 24 bit, si estende a 48 bit, inserendo zeri a destra, e si divide per il divisore, di 24 bit: il risultato, di 24 bit, ha la precisione di 2-23. Può essere richiesta una ri-normalizzazione.

70 Osservazioni sul f.p. I risultati delle operazioni in f.p. possono dipendere dall’ordine di esecuzione. Esempio e danno risultati diversi.

71 Osservazioni sul f.p. (2) In generale, in f.p. vale a + b = a se
Esempio: non ha senso incrementare di uno un valore positivo a se a è molto maggiore di 1.

72 N = mantissa × base esponente
Floating-point E’ basata sul formato esponenziale (notazione scientifica) N = mantissa × base esponente Ricorda le notazioni: standard × E+4 scientifico × E+5 Nei sistemi di elaborazione Base = 2 Mantissa ed esponente sono rappresentati in binario

73 Floating-point Vantaggi: Svantaggi:
grande intervallo di valori rappresentabili errore relativo fisso Svantaggi: operandi non allineati per cui le operazioni aritmetiche risultano molto complesse errore assoluto variabile e dipendente dal valore del numero E’ la rappresentazione utilizzata da tutti i calcolatori elettronici per rappresentare i numeri frazionari ed è stata standardizzata dall’IEEE.

74 Formato IEEE-P754 Standard IEEE per il floating-point:
Rappresentazione binaria di mantissa esponente segno Singola precisione: 32 bit (float) Doppia precisione: 64 bit (double) esponente segno mantissa precisione: circa 7 cifre decimali 1 bit 8 bit 23 bit esponente segno mantissa precisione: circa 17 cifre decimali 1 bit 11 bit 52 bit

75 Overflow e Underflow underflow overflow
A causa della precisione variabile è possibile avere errori di rappresentazione: numeri troppo grandi: overflow numeri troppo piccoli: underflow Esempio: IEEE P754 underflow -1038 -10-38 10-38 1038 overflow

76 Rappresentazioni di dati non numerici
Qualunque insieme finito di oggetti può essere codificato tramite valori numerici associando ad ogni oggetto un codice (ad esempio un numero intero). Nel sistema numerico binario per rappresentare K oggetti distinti occorre un numero minimo di bit pari a: N = é log2 K ù

77 Caratteri E’ sicuramente il tipo di informazione più scambiata: occorre pertanto una codifica standard. la più usata fa riferimento al codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange) in passato era molto diffuso il codice EBCDIC (Extended BCD Interchange Code) codice UNICODE

78 Codice ASCII E’ usato anche nelle telecomunicazioni.
Usa 8 bit per rappresentare: i 52 caratteri alfabetici (a ÷ z , A ÷ Z) le 10 cifre (0 ÷ 9) i segni di interpunzione (,;:!?&%=+-/ ecc.) un gruppo di caratteri di controllo tra cui: CR ( 13 ) Carriage Return LF,NL ( 10 ) New Line, Line Feed FF,NP ( 12 ) New Page, Form Feed HT ( 9 ) Horizontal Tab VT ( 11 ) Vertical Tab NUL ( 0 ) Null BEL ( 7 ) Bell EOT ( 4 ) End-Of-Transmission

79 Codice ASCII Ad esempio per rappresentare il messaggio “Auguri a tutti!” è necessaria la seguente sequenza: A spazio u t g u u t r t i i spazio ! a

80 Fine Rappresentazione dei dati