Definizione Si dice che la variabile z è una funzione reale di due variabili x e y, nell’insieme piano D, quando esiste una legge di natura qualsiasi che.

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1 Definizione Si dice che la variabile z è una funzione reale di due variabili x e y, nell’insieme piano D, quando esiste una legge di natura qualsiasi che fa corrispondere uno e un solo valore della variabile z ad ogni punto x e y sono le variabili indipendenti; z è la variabile dipendente D è detto insieme di esistenza o dominio della funzione.

2 Dominio delle funzioni in R2

3 Dominio delle funzioni in R2

4 Grafico di una funzione in R2
Il grafico della funzione ha la proprietà caratteristica che ogni retta perpendicolare al piano Oxy lo incontra, al più, in un punto.

5 Definizione Si chiama curva di livello della funzione z la proiezione ortogonale, sul piano xy, dell’intersezione della superficie che rappresenta la funzione con un piano parallelo al piano xy di equazione La curva di livello è la proiezione ortogonale, sul piano xy, dell’insieme dei punti della superficie che hanno lo stesso valore

6 Curve di livello in R2

7 Continuità in R2 La funzione z si dice continua in P0 se risulta:

8 Calcolo differenziale in R2
Diventa una funzione ad una sola variabile x chiamata restrizione di z su y=y0 Diventa una funzione ad una sola variabile y chiamata restrizione di z su x=x0 Derivata prima parziale rispetto a x della funzione nel punto Nota bene: una funzione può essere parzialmente derivabile in un punto, pur non essendo continua in quel punto

9 Interpretazione geometrica

10 Calcolo differenziale in R2

11 Gradiente di una funzione in R2
La coppia delle derivate parziali di una funzione f calcolate in un punto P del suo dominio determina un vettore chiamato gradiente di f in P.

12 Determina il gradiente della seguente funzione

13 Determina il gradiente della seguente funzione

14 Massimi e minimi relativi
Definizione: Si dice che è un punto di massimo relativo o locale per la funzione f se esiste un intorno circolare C del punto P0 tale che Teorema: (condizione necessaria) Se il punto P0 è un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione f e se in esso la funzione f è parzialmente derivabile rispetto a x e a y, allora risulta: è detto punto stazionario per f

15 Punti di sella Definizione:
Si dice che è un punto di sella per la funzione f se è un punto stazionario e se: punto di massimo punto di minimo punto di sella

16 Derivate parziali seconde
Sia f una funzione in due variabili definita in un insieme D di R2 e sia f parzialmente derivabile sia rispetto a x sia rispetto a y. possono essere a loro volta funzioni parzialmente derivabili; in tal caso le loro derivate si chiameranno derivate parziali seconde Derivate seconde parziali pure Derivate seconde parziali miste