Ottavio Serra Cosenza, giugno 2006 Curva ricorsiva di Von Kock.

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1 Ottavio Serra Cosenza, giugno 2006 Curva ricorsiva di Von Kock

2 A partire da un triangolo equilatero (lato = 1), si divide ogni lato in tre parti uguali, si toglie la parte centrale e su di essa si costruisce un triangolo equilatero. Si itera il procedimento n volte. Al limite, per n -> infinito, il bordo del triangolo diventa la curva (frattale) di Von Kock.

3 Si parte dal triangolo equilatero

4 Prima Iterazione

5 Seconda Iterazione

6 Terza Iterazione

7 Quarta Iterazione

8 N-ma Iterazione

9 Al limite, per n -> Infinito, L’area della parte di piano racchiusa dalla curva è finita, mentre la sua lunghezza è infinita.

10 Dimensione frattale, posta uguale ad 1 la misura della figura, se lo spigolo della figura è ridotta ad 1/n e la figura è decomposta in m parti, si abbia: Si chiama dimensione di Haussdorf di una figura il numero d tale che, posta uguale ad 1 la misura della figura, se lo spigolo della figura è ridotta ad 1/n e la figura è decomposta in m parti, si abbia:

11 Figure usuali Per esse la dimensione di Haussdorf è quella solita. a) Segmento. Diviso il segmento in n parti (uguali), m = n, perciò d = 1. b) Quadrato. Diviso il lato in 2 parti, il quadrato è diviso in 4 (n, m = n^2), perciò d = 2. c) Cubo. d =3.

12 Curva di Von Kock Se il lato del triangolo è diviso in tre parti, esso viene sostituito da quattro parti, esso viene sostituito da quattro segmenti ognuno pari a 1/3, perciò: segmenti ognuno pari a 1/3, perciò: In questo senso la curva di Von Kock è frattale.