I massimi, i minimi e i flessi

Presentazione sul tema: "I massimi, i minimi e i flessi"— Transcript della presentazione:

1 I massimi, i minimi e i flessi
I massimi e i minimi relativi La concavità I flessi I massimi, minimi, flessi e la derivata prima I flessi e la derivata seconda

2 I massimi e i minimi relativi
Sia f (x) una funzione definita nell’intervallo I. Il punto x0  I si dice: ● massimo relativo se: ● minimo relativo se:

3 Concavità verso l’alto
La concavità Concavità verso l’alto È data una funzione y = f (x) definita e derivabile nell’intervallo I con x0 punto interno a I . Sia y = t (x) l’equazione della retta tangente alla curva nel punto x0. Si dice che la curva ha in x0 la concavità verso l’alto se:

4 Concavità verso il basso
È data la funzione y = f (x) definita e derivabile nell’intervallo I con x0 punto interno a I ; sia y = t (x) l’equazione della retta tangente alla curva nel punto x0. Si dice che la curva ha in x0 la concavità verso il basso se:

5 I flessi Data la funzione y = f (x) definita e continua nell’intervallo I , si dice che presenta in x0, interno a I, un punto di flesso se in tale punto il grafico di f (x) cambia concavità. Flesso ascendente Flesso discendente

6 I massimi, minimi, flessi e la derivata prima
Data una funzione y = f (x) derivabile nell’intervallo I = ]a; b[ , se f (x) ha un massimo o un minimo relativo in x0, interno a I, allora Condizione necessaria per massimi e minimi relativi

7 Condizione sufficiente per massimi e minimi relativi
È data una funzione y = f (x) continua in un intorno del punto x0 e derivabile in per x ≠ x0 . Se per ogni x ≠ x0 dell’intorno si ha: ● f ' (x) > 0 per x < x0 e f ' (x) < 0 per x > x0 allora x0 è un punto di massimo relativo; ● f ' (x) < 0 per x < x0 e f ' (x) > 0 per x > x0 allora x0 è un punto di minimo relativo.

8 Condizione sufficiente per i flessi orizzontali
Data la funzione y = f (x) continua in un intorno del punto x0 e derivabile nello stesso intorno, se: ● f ' (x0) = 0, ● il segno della derivata prima è lo stesso per ogni x ≠ x0 dell’intorno allora x0 è un punto di flesso orizzontale.

9 I flessi e la derivata seconda
Condizione necessaria per i flessi È data una funzione y = f (x), definita nell’intervallo I = [a; b] e in tale intervallo esistono le sue derivate prima e seconda Se f (x) ha un flesso in x0, interno a I, allora:

10 Condizione sufficiente per i flessi
Sia data la funzione y = f (x) continua in un intorno del punto x0 e tale che esistono in le derivate prima e seconda per x ≠ x0. Se per ogni x ≠ x0 dell’intorno si ha: ● f ''(x) > 0 per x < x0 e f '‘ (x) < 0 per x > x0 allora x0 è un punto di flesso (discendente); ● f ''(x) < 0 per x < x0 e f ''(x) > 0 per x > x0 allora x0 è un punto di flesso (ascendente).