ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

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1 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA (ultima modifica 01/10/2012) Prima di definire le grandezze di base e le costanti universali del modello elettromagnetico per poter sviluppare i vari temi dell’elettromagnetismo, si intende richiamare le regole fondamentali delle operazioni dell’algebra e calcolo vettoriale. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

2 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Alcune grandezze elettromagnetiche sono: scalari: cariche, corrente e energia, altre sono vettoriali: come l’intensità del campo elettrico e magnetico. Entrambe possono essere funzioni del tempo e della posizione spaziale (o punto). Per un tempo e un punto dati: una grandezza scalare è completamente definita dalla sua ampiezza, espressa da un numero positivo o negativo nella unità di misura relativa. una grandezza vettoriale richiede la definizione della sua ampiezza , direzione , verso e punto di applicazione o di definizione. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

3 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Per specificare la direzione di un vettore nello spazio tridimensionale sono necessari tre valori numerici che dipendono dalla scelta del sistema di coordinate : sistema di coordinate cartesiane sistema di coordinate cilindriche sistema di coordinate sferiche. La scelta del sistema di coordinate è legato alle caratteristiche geometriche del problema che si sta esaminando. Le espressioni generali delle leggi e teoremi riguardanti l’elettromagnetismo sono indipendenti dal sistema di coordinate adottato. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

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Algebra vettoriale Una grandezza vettoriale può essere scritta come: dove è il vettore di dimensioni unitarie avente la stessa direzione e verso di e è l’ampiezza o modulo di Graficamente: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

5 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Somma di due vettori e : Può essere ottenuta: con la regola del parallelogramma (parallelogram rule) con la regola del testa-coda (head-to-tail rule) Per la somma valgono: la proprietà commutativa: e la proprietà assocciativa: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

6 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
La differenza di due vettori può essere definita come la somma del primo vettore più il vettore opposto del secondo: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

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Prodotto di Vettori Prodotto di un vettore per uno scalare positivo: L’ampiezza di cambia di k volte, mentre la direzione e il verso rimangono invariate. Il prodotto tra due vettori può essere di due tipi: prodotto scalare o prodotto vettoriale. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

8 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Il prodotto scalare ( scalar or dot product) tra due vettori: è uno scalare pari al prodotto delle ampiezze di e di per il coseno dell’angolo più piccolo tra e che risulta minore di 180°. Esso è positivo per < 90° negativo per > 90° nullo per = 90° (vettori perpendicolari) ed è uguale al prodotto della ampiezza del primo vettore per la proiezione del secondo vettore nella direzione del primo. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

9 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Evidentemente si ha che: Per il prodotto valgono: la proprietà commutativa: e la proprietà distributiva: Inoltre risulta non definibile il prodotto scalare: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

10 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Il prodotto vettoriale ( vector or cross product) tra due vettori: è un vettore perpendicolare al piano contente i vettori e la cui ampiezza è pari a numericamente uguale all’area del parallelogramma formato dai vettori e Il verso e la direzione sono deducibili con la regola della mano destra M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

11 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Per il prodotto vettoriale non è valida la proprietà commutativa: vale la proprietà distributiva: non è valida la proprietà associativa: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

12 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Si possono definire due tipi di prodotti di tre vettori: Prodotto triplo scalare: Prodotto triplo vettoriale: ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA M. Usai

13 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Sistemi di coordinate Nello spazio bidimensionale un punto è localizzato dalla intersezione di due linee. Nello spazio tridimensionale un punto è localizzato dalla intersezione di tre piani. Quando le tre superfici sono perpendicolari tra di loro il sistema è chiamato sistema a coordinate ortogonali e i vettori unitari nelle tre direzioni delle coordinate sono chiamati vettori base. Tra i diversi sistemi di coordinate ortogonali, i più comuni sono: sistema di coordinate cartesiane o rettangolari sistema di coordinate cilindriche sistema di coordinate sferiche M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

14 Sistema di coordinate cartesiane o rettangolari
Un punto P(x1, y1, z1) in coordinate cartesiane è l’intersezione di tre piani specificati da: x = x1 , y = y1 e z = z1, I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni: z x y x1 y1 z1 P(x, y, z) az ay ax M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

15 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Un vettore in coordinate cartesiane può essere scritto come: Il prodotto scalare di due vettori e è: Il prodotto vettoriale di due vettori e è: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

16 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
In coordinate cartesiane una lunghezza differenziale è espressa da: una area differenziale è espressa da: e un volume differenziale è espresso da: ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA M. Usai

17 Sistema di coordinate cilindriche
In coordinate cilindriche un punto P(r1, 1, z1) è l’intersezione di una superficie cilindrica r = r1 con un semipiano contenente l’asse z, che forma un angolo  = 1 con il piano xz e un piano parallelo al piano xy per z = z1. P(r1, 1, z1) 1 r1 z1 z y x az a ar M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

18 I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni:
Un vettore in coordinate cilindriche può essere scritto come In coordinate cilindriche una lunghezza differenziale è espressa da: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

19 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
In coordinate cilindriche una area differenziale è espressa da: e un volume differenziale è espresso da: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

20 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Le relazioni tra le componenti di un vettore in coordinate cilindriche a coordinate cartesiane: Le formule di conversione dalle coordinate cilindriche alle coordinate cartesiane e inverse sono: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

21 Sistema di coordinate sferiche
In cord. c. un punto P(R1, 1, 1) è definito dalla intersezione di: una superficie sferica centrata nell’origine di raggio R = R1 con un cono circolare con il vertice nell’origine degli assi e l’asse coincidente con l’asse z e un semiangolo pari a =1, e un semipiano contenente l’asse z con un semipiano contenente l’asse z, che forma con il piano xz un angolo  = 1. 1 R1 1 P(R1, 1, 1) aR a a x z y M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

22 I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni:
Un vettore in coordinate sferiche può essere scritto come In coordinate sferiche una lunghezza differenziale è espressa da: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

23 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
In coordinate sferiche una area differenziale è espressa da: e un volume differenziale è espresso da: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

24 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
Le formule di conversione dalle coordinate sferiche alle coordinate cartesiane e inverse sono: M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

25 Integrali contenenti funzioni vettoriali
Nell’elettromagnetismo sono utilizzati integrali che contengono funzioni vettoriali del tipo: integrale volumetrico di un vettore che si risolve scomponendo da prima la grandezza vettoriale nelle sue tre componenti relative al sistema di coordinate adottato e facendo la somma dei tre integrali scalari. integrale lineare di una grandezza scalare dove V è una funzione scalare e è un incremento differenziale di lunghezza e C è il percorso di integrazione. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA

26 ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
In coordinate cartesiane: è un integrale lineare di un vettore nel quale l’integrando rappresenta la componente del vettore nella direzione del percorso di integrazione. M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA