Algebra binaria Luglio 2002 Luglio 2002 Algebra binaria.

Presentazione sul tema: "Algebra binaria Luglio 2002 Luglio 2002 Algebra binaria."— Transcript della presentazione:

1 Algebra binaria Luglio 2002 Luglio 2002 Algebra binaria

2 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEI SISTEMI DI ELABORAZIONE
Nel calcolo manuale le grandezze numeriche vengono rappresentate con simboli grafici per la rappresentazione delle varie cifre. Nel calcolo automatico esse saranno costituite da “enti” riconoscibili e riproducibili dalle apparecchiature impegnate (esempio le diverse tensioni in un circuito, presenza di diverse configurazioni di fori in aree preassegnate in una certa zona di una superficie di carta) Luglio 2002 Algebra binaria

3 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEI SISTEMI DI ELABORAZIONE (Cont.1)
Nei sistemi fisici utilizzati per la rappresentazione convenzionale di numeri, si impiegano dispositivi che possono trovarsi solo in 2 diverse configurazioni (per motivi di semplicità e sicurezza). Dobbiamo quindi definire un sistema di numerazione binario e un’algebra binaria. Luglio 2002 Algebra binaria

4 I NUMERI NATURALI Sequenze delle 10 cifre (0,1…9)
Indo - Arabici (furono introdotti in Europa dagli Arabi nel Medio Evo) In base 10 Posizionali (non addittivi) Luglio 2002 Algebra binaria

5 NUMERI NATURALI (Cont.1)
1728 = 8 * * * * 103 In generale un numero naturale XD di m+1 cifre può essere rappresentato dalla sequenza Xm Xm-1 ……… X1 X0 Ed è dato dalla seguente formula m Xd=x0 * x1 * ……+ xm-1 * 10 m-1 + xm * 10m =  x i * 10i i =o Luglio 2002 Algebra binaria

6 ESEMPI DI CONVERSIONE A BASE DECIMALE
Nel sistema binario le cifre sono 0 e 1 (La numerazione binaria, già nota agli antichi cinesi, è stata oggetto di studi di Nepero [“Aritmetica Locale”] di F. Bacone e specialmente di Leibniz, che introdusse le notazioni tuttora in uso) = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23 + 0*24 + 1*25 = = = 4510 Nel sistema ottale le cifre sono 2578 = 7*80 + 5*81 + 2*82 = = 17510 Nel sistema esadecimale (base 16) le cifre sono ABCDEF A4F16 = 15* * *162 = = Luglio 2002 Algebra binaria

7 Conversione da decimale a base diversa
169 : 2= 84 con resto di 1 84 : 2= 42 con resto di 0 42 : 2= 21 con resto di 0 21 : 2= 10 con resto di 1 10 : 2= 5 con resto di 0 5 : 2= 2 con resto di 1 2 : 2= 1 con resto di 0 1 : 2= 0 con resto di 1 16910 = Verifica: 1*20 + 1*23 + 1*25 + 1*27 = = 169 Conversione da binario a ottale ed esadecimale = Corrisponde a A Luglio 2002 Algebra binaria

8 SISTEMA DI NUMERAZIONE
I PRIMI 16 NUMERI IN BASE 10,2,8,16 SISTEMA DI NUMERAZIONE decimale binario ottale esadecimale A B C D E F Luglio 2002 Algebra binaria

9 I NUMERI NEGATIVI Sign Magnitude One’s Complement Two’s Complement
000 = = = +0 001 = = = +1 010 = = = +2 011 = = = +3 100 = = = -4 101 = = = -3 110 = = = -2 111 = = = -1 da – (2m – 1 – 1) a (2m - 1 – 1) da – (2m - 1) a (2m-1 –1) in base 2 con numeri di m cifre Luglio 2002 Algebra binaria

10 Con 32 bits: = 010 = + 110 = +210 … = = = = = = -310 = -210 = -110 Luglio 2002 Algebra binaria

11 CAMBIAMENTO DEL SEGNO Fare il complemento a uno (cioè cambiare gli 1 in 0 e viceversa) Sommare 1 nella posizione meno significativa Esempio: opposto di 410 cioè …… 1111…… 1 1111……  -410 ora verifichiamo calcolando nuovamente l’opposto 0000…… 0000……  410 Luglio 2002 Algebra binaria

12 OPERAZIONI ARITMETICHE SU
NUMERI BINARI Le operazioni aritmetiche su numeri binari si eseguono con le usuali regole, tenendo presenti le seguenti tavole di addizione e di moltiplicazione: addizione moltiplicazione 1001, , ,1 x :101=111 1100,01= 10,01= ,01= 101 10110, , 10000, 101 - Luglio 2002 Algebra binaria

13 CIRCUITI DI COMMUTAZIONE
Le informazioni sulle quali il calcolatore è chiamato ad operare sono contenute in organi elementari che possono assumere soltanto due stati. x1 Circuito di x y=f (x1,x2,…,xn) commutazione xn Il progetto di un calcolatore e la descrizione del suo funzionamento sarebbero compiti ardui, se si facesse costante riferimento alla costituzione fisica dei circuiti. Significativi vantaggi si possono ottenere dai diagrammi a blocchi. Luglio 2002 Algebra binaria

14 L’ALGEBRA E I CIRCUITI DI COMMUTAZIONE
L’applicazione dell’algebra della logica alla schematizzazione di circuiti elettrici di commutazione operanti su segnali binari fu proposta per la prima volta da Shannon in un suo articolo del 1938. I circuiti sono allora schematizzabili per mezzo di formule o per mezzo di diagrammi “logici”. Se un dato circuito fisico adempiente date funzioni è realizzato in modo che i segnali in entrata ed in uscita soddisfano alle condizioni di variazioni discrete fra due soli valori, si potranno fare considerazioni sul comportamento del circuito stesso riferendosi solo al suo modello logico (algebrico e grafico) e prescindendo dalla realizzazione fisica effettiva. Luglio 2002 Algebra binaria

15 L’ALGEBRA DI BOOLE PER LO STUDIO DEI CIRCUITI DI COMMUTAZIONE
Per la schematizzazione dei circuiti di commutazione e per l’algebrizzazione delle dipendenze fra i segnali relativi si adopera la formulazione dell’algebra della logica, proposta da G. Boole nella sua opera del 1854: “An investigation of the laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities” Caratteristiche: Semplicità Identità con l’algebra usuale Tutte e sole le operazioni definite da Boole sono applicabili alla schematizzazione dei circuiti di commutazione Luglio 2002 Algebra binaria

16 DEFINIZIONI FONDAMENTALI
DELL’ALGEBRA DI BOOLE Costante booleana: grandezza capace di possedere e conservare il suo valore (0 o 1); es. tubazione in flusso continuo o interrotto Variabile booleana: grandezza capace di assumere solo due valori (0 o 1); es. interruttore Prodotto logico di n variabili booleani A1… An è la funzione X = A1 * Ax * …. An AND assume il valore 1 se e solo se tutte le variabili valgono 1 Somma logica di A1… An è la funzione X = A1+ Ax+ …. An OR assume il valore 0 se e solo se tutte le variabili valgono 0 Inversione della variabile booleana Y, la funzione X = Y NOT assume il valore 0 se Y vale 1, assume valore 1 se Y vale 0 Di conseguenza X*X = 0 X+X=1 Non equivalenza la funzione f(x,y): assume valore 1 se le variabili sono diverse OR ESCLUSIVO NOR = OR NAND = AND Luglio 2002 Algebra binaria

17 SOMMA A 32 BITS Nell’Unità Aritmetica la somma viene eseguita bit per bit prelevandoli dai registri. Ad ogni bit corrisponde una circuiteria “ad hoc” Si procede da destra a sinistra prestando grande attenzione ai riporti: = 710 = = = 1310 … (0) (0) (1) (1) (0) (riporti) … … … (0)0 (0)0 (0)1 (1)1 (1)0 (0)1 Luglio 2002 Algebra binaria

18 In pratica si somma al minuendo l’opposto del sottraendo
Teoricamente la sottrazione si potrebbe ottenere con appositi circuiti che operano pure bit per bit. con il “prestito” = 710 = = = In pratica si somma al minuendo l’opposto del sottraendo = - 610 Il risultato può essere troppo grande rispetto ai 32 bit = = = = Ci vorrebbero 33 bits! Complemento a 2 Overflow! (traboccamento) Luglio 2002 Algebra binaria

19 A B C A AND NOT (B OR C) A OR (B AND (NOT C)) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
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20 OPERATORI LOGICI (o porte logiche)
Reti logiche: circuiti che realizzano una funzione logica Luglio 2002 Algebra binaria

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22 R = OR (AND (NOT (B1), B2), AND (B1, NOT (B2)))
c = AND (B1,B2) R = OR (AND (NOT (B1), B2), AND (B1, NOT (B2))) Luglio 2002 Algebra binaria