Popolazione, campione, parametri e stimatori

Popolazione, campione, parametri e stimatori
Popolazione oggetto di cui si vuol ottenere una descrizione nel complessiva. Campione immagine parziale su cui è fondata l’analisi. È ottenuto dal piano di campionamento scegliendo tra le possibili alternative. Parametro costante che permette di descrivere gli aspetti caratteristici della distribuzione di un carattere nella popolazione. Stimatore strumento atto alla misurazione dei parametri della popolazione. Es. Se voglio studiare la distribuzione dei redditi in F.V.G. 1- identifico la popolazione (soggetti percettori di reddito); 2- identifico il parametro sufficiente a descrivere il fenomeno (ad esempio la media); 3- seleziono il campione (scegliendo tra i possibili disegni campionari); 4- ottengo una stima della media (sfruttando lo stimatore media campionaria). per stimare

Notazioni P Popolazione (o Universo): è l’insieme di unita statistiche 1,2, …, N Unita statistiche vengono etichettate con i numeri Naturali Y Caratteristiche di interesse (oggetto di studio) Qualitative Quantitative Ordinali Sconnesse Discrete Continue Le cui manifestazioni nella popolazione si denotano quindi con: Y1, Y2, …, YN Partendo dai dati grezzi Unità i N Valori di Y Y1 Y2 Yi YN il fenomeno può quindi essere studiato a diversi livelli di sintesi … … … …

Notazioni 1° livello – Distribuzioni di frequenza Valori distinti che la caratteristica assume – MODALITA’ Assoluta Ni Valori di Y Y1 Y2 Yh Yk Frequenze N1 N2 Nh Nk … … … … dove Relativa fh Valori di Y Y1 Y2 Yh Yk Frequenze f1 f2 fh fk … … … … … … … … Le frequenze relative percentuali non sono altro che fh*100 Nel caso vengano rilevate più caratteristiche della popolazione per studiare il fenomeno di interesse si parla di distribuzioni doppie…

I dati grezzi vengono ancora una volta rilevati come segue: Unità 1 2 i N Valori di Y Y1 Y2 Yi YN Valori di X X1 X2 Xi XN … … … … … … … … … … … … La cui distribuzione doppia è sintetizzata dalla tabella a doppia entrata: Valori di Y Valori di X Y Y2 Yj Yt X1 N11 N12 N1j N1t X2 N21 N22 N2j N2t Xh Nh1 Nh2 Nhj Nht Xk Nk1 Nk2 Nkj Nkt … L’analisi statistica dei caratteri quantitativi permette tuttavia un livello di sintesi maggiore cioè quello legato allo studio dei parametri di sintesi dei fenomeni studiati. Una descrizione della popolazione può infatti essere basata anche sulla quantificazione dell’intensità media e dalla variabilità del fenomeno di interesse.

2° livello – Parametri della popolazione La conoscenza congiunta dei valori che tali costanti assumono nella popolazione permette di descrivere in maniera molto sintetica il fenomeno osservato nella popolazione. Si può distinguere in: Indici di posizione – medie; Indici di variabilità: Indici di forma (basati sui momenti terzi e quarti) Indici di posizione La media aritmetica Caso particolare di popolazione dicotomica (che presenta un carattere dicotomico) Il totale (che come vedremo nel prosieguo presenta proprietà simili alla media)

Indici di variabilità La varianza ed una sua forma modificata Il coefficiente di variazione

La definizione degli indici di forma sono necessarie le definizioni di momenti non centrali di ordine r centrali di ordine r Indici di forma Asimmetria positiva >0, negativa <0 e simmetria =0 Disnormalità (curtosi) ipernormalità >3, ipornormalità <3 e normalità =3 (leptocurtosi) (platicurtica) (normocurtica)

Indici sintetici per distribuzioni doppie Rapporto tra due fenomeni (ad esempio, il rapporto tra il totale della superficie delle case e il numero totale di abitanti, che indica la superficie media che compete ad ogni persona) Covarianza Coefficiente di correlazione Coefficienti di regressione ottenuti, ad esempio, con il metodo dei minimi quadrati.

Per parametro di una popolazione si intende una costante che riassume le caratteristiche di interesse della popolazione. I parametri sono oggetto della cosiddetta inferenza statistica. In particolare si parla di inferenza quando si tenta con dei metodi di stima di assegnare ad un parametro - un valore stima puntuale - oppure un intervallo di valori stima per intervallo. In alternativa si può procedere formulando una congettura la cui verifica (attraverso la teoria dei test d’ipotesi) porta all’inferenza sul valore del parametro. In entrambi i casi si fa riferimento all’inferenza descrittiva che si distingue dall’inferenza analitica (non mero riconoscimento di caratteristiche ma studio di relazioni statistiche).

Ma cosa ha a che fare il campione con tutti questi concetti? Il campione è un sottoinsieme (proprio o improprio, ad esempio le unità si possono anche presentare più di una volta nel campione – con ripetizione) di unità statistiche che viene assunto a “rappresentare” la popolazione. La prima distinzione che possiamo operare è quella tra estrazione con ripetizione e senza ripetizione. Dalla popolazione P={1, 2, …, N} s={i1, i2, …, in} campione ordinato s ingloba, perciò, informazioni su: l’identità delle unità inserite nel campione l’ordinamento durante l’estrazione delle unità stesse il carattere d’interesse per l’indagine Possiamo inoltre distinguere tra i campioni in cui la seconda informazione è importante e campioni in cui l’ordinamento è trascurabile (ordinati e non ordinati). Etichette delle unità estratte

Se consideriamo: N = numerosità delle unità statistiche della popolazione; n = numerosità campionaria; il numero di campioni ordinati possibili sarà (disposizioni): se il campionamento è con ripetizione (N(N-1)(N-2)…(N-n)) se il campionamento è senza ripetizione Se invece si considera un campionamento non ordinato (in cui non si è interessati all’ordine d’estrazione delle unità) i campioni possibili saranno (si debbono considerare le combinazioni): se il campionamento è senza ripetizione (coefficiente binomiale)

Una volta determinato il tipo di campionamento da considerare (con o senza ripetizione e ordinato o non ordinato) si deve definire il cosiddetto spazio campionario. Lo spazio campionario è l’insieme di tutti i campioni che si possono formare data la tecnica prescelta. Esempio. Date le quattro unità statistiche contrassegnate con gli indici 1, 2, 3 e 4. Si definiscono quattro spazi campionari distinti: campioni ordinati di 2 elementi con ripetizione 4^2=16: campioni ordinati di 2 elementi senza ripetizione 4!/2!=12: campioni non ordinati di 2 elementi con ripetizione 5!/(2!*3!)=10: campioni non ordinati di 2 elementi senza ripetizione 4!/(2!*2!)=6:

L’operazione successiva all’estrazione del campione ed al rilevamento dei dati campionari è quella di analisi dei dati stessi. Il calcolo sui dati campionari degli indici di sintesi delle caratteristiche d’interesse visti in precedenza porta alla determinazione delle cosiddette stime. In particolare si parla di: Media campionaria Varianza campionaria Covarianza campionaria Ecc. Dove si sfruttano i dati campionari che vengono indicati per analogia con i dati della popolazione con y1, y2, …, yn utilizzando però le lettere minuscole.

Se ad ogni campione s dello spazio campionario si associa una misura di probabilità, p(s) tale che si ottiene un piano di campionamento. Formalmente si definisce piano di campionamento ogni funzione p(s) definita su S che soddisfa queste condizioni. p(s) è il risultato della scelta della tecnica di estrazione delle unità campionarie. Ad esempio, nel caso in cui si consideri un campionamento casuale semplice senza ripetizione per l’estrazione di campioni di numerosità n da una popolazione di N unità statistiche, i campioni generati hanno tutti la stessa probabilità. Quindi: In generale è però possibile definire una funzione di probabilità ad hoc che ha conseguenze sulle proprietà statistiche dei risultati di stima legati al campionamento.

Dopo aver definito il piano di campionamento è possibile esplicitare le nozioni di probabilità di inclusione. Si consideri la generica unità i della popolazione P. Sia Ai l’insieme dei campioni dello spazio campionario S che comprendono l’unità i. Allora la probabilità di inclusione del primo ordine dell’unità i sarà data dalla somma delle probabilità dei campioni appartenenti ad Ai. In breve: La nozione di probabilità di inclusione può essere estesa agli ordini di inclusione superiori al primo. Per esempio, la probabilità di inclusione di secondo ordine è la somma delle probabilità dei campioni che contengono contemporaneamente le due unità contraddistinte dagli indici i e j.

Ad esempio, si consideri la popolazione di quattro unità, P = {1, 2, 3, 4} s {1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} p(s) Un piano di campionamento è detto autoponderante se tutte le unità hanno la stessa probabilità di inclusione di primo ordine. Il campionamento casuale semplice è autoponderante.

Lo scopo dell’indagine campionaria è far luce su una o più costanti caratteristiche della popolazione ignote. Per far ciò si definiscono i cosiddetti stimatori. Uno stimatore è una sintesi quantitativa dei dati campionari due esempi già visti sono la media campionaria e la varianza campionaria. In generale, dato θ parametro della popolazione si definisce lo stimatore che è una V.C. perché il campione, di cui è una funzione è una V.C. (definita su S – spazio campionario) che dato il campione s – osservato determina la stima puntuale relativa al campione estratto.

Lo stimatore in quanto V.C. segue una distribuzione campionaria che dipende dal piano di campionamento scelto. Formalmente si definisce la probabilità che è pari alla somma delle probabilità associate ai campioni che restituiscono una stima del parametro pari a x. Data la distribuzione campionaria è possibile definire le proprietà degli stimatori. In particolare ci si concentrerà sulla Correttezza Efficienza che può essere relativa o assoluta ed è definita sulla base del confronto tra MSE Consistenza

Esempio del libro.

Correttezza Uno stimatore si definisce non distorto quando la funzione che ne definisce il bias è nulla. Efficienza Uno stimatore è efficiente se ha mean square error minimo Il concetto di efficienza relativa può essere esteso considerando uno stimatore efficiente rispetto agli stimatori appartenenti ad una particolare classe di stimatori (ad esempio, BLUE). Nel caso non sia possibile disporre di uno stimatore efficiente e non distorto, è meglio uno stimatore corretto o efficiente?

Consistenza cioè all’aumentare della numerosità campionaria la distribuzione di probabilità dello stimatore tende sempre più a concentrarsi attorno al vero valore del parametro. Per n molto grande è praticamente certo che lo stimatore coincida con il valore del parametro di interesse. Alcuni sostituiscono la condizione con perché nel caso di popolazione finita un campione di dimensione N corrisponde alla popolazione quindi la rilevazione campionaria corrisponderebbe ad una rilevazione censuaria. Uno stimatore si dice, infine, asintoticamente corretto se Se uno stimatore corretto o asintoticamente corretto presenta inoltre varianza che tende a zero lo stimatore è anche consistente.

Si definisce strategia campionaria la combinazione piano campionario + stimatore Nell’ambito della scelta della strategia campionaria da adottare è importante valutare il cosiddetto effetto del disegno. Dati uno stimatore corretto del parametro di interesse ed un piano di campionamento, si chiama effetto del disegno il rapporto tra la varianza dello stimatore per il piano di campionamento in questione e la varianza dello stesso stimatore nel caso di C.C.S. a parità di dimensione campionaria. varianza dello stimatore nel piano di campionamento selezionato effetto del disegno varianza dello stimatore nel piano di campionamento C.C.S.

Fino ad ora si è parlato di proprietà degli stimatori puntuali dei parametri della popolazione. Un classico modo di fare inferenza statistica è quello di considerare delle stime per intervallo dei parametri andando ad identificare una regione di valori che contenga con una certa “confidenza” (fiducia) il vero valore del parametro (che non può essere con certezza quello stimato). Se consideriamo nota la varianza di un certo parametro che sappiamo essere distribuito in modo approssimativamente normale possiamo definire la cui distribuzione è nota (tavole della V.C. normale standard). È quindi possibile definire una regione di valori di Z tali per cui Da cui con alcuni passaggi algebrici si ottiene

Si perviene quindi alla definizione dell’intervallo di confidenza al 1-α% che si indica con Anche per il caso in cui la varianza dello stimatore non è nota è possibile usare tale formulazione andando a sostituire alla distribuzione normale standard la t di Student. Nella maggior parte dei casi è comunque possibile considerare i quantili della normale standard se n è sufficientemente alto. Grafico esemplificativo del significato di intervallo di confidenza.

Per correttezza è necessario infine citare anche i cosiddetti campionamenti non probabilistici: A scelta ragionata – selezione non casuale in base a conoscenze note a priori Bilanciato – selezione delle unità in modo tale che la media di una o più caratteristiche note sia uguale nel campione e nella popolazione Per quote – una volta suddivisa la popolazione in sottogruppi sulla base di caratteristiche note si vuole preservare nel campione la struttura osservata nella popolazione. Variabili che tipicamente si considerano sono: sesso, età, residenza, ecc. Le quote sono l’ammontare di interviste da effettuare per ogni classe. Queste metodologie di campionamento non esauriscono tutte le tipologie di campionamento non probabilistico (es. campionamento a valanga, ecc.). Infine è molto comune che vengano impiegati dei disegni campionari misti (es. campionamento probabilistico con quote dove ad una prima fase di selezione probabilistica di macro-aggregati segue una fase di selezione per quote delle unità statistiche).

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