Un esempio di problema inverso

Presentazione sul tema: "Un esempio di problema inverso"— Transcript della presentazione:

1 Un esempio di problema inverso
Tomografia Sismica Un esempio di problema inverso Stephen Monna, INGV, Roma 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

2 Punti principali della presentazione
Cosa è un problema inverso ?: Esempi Un po' di teoria: problema mal-posto e il modello fisico del sistema in studio La tomografia sismica Tomografia 1: La sequenza sismica dell’ Umbria- Marche del 1997 Tomografia 2: V e Q Arco Calabro Tomografia 3: Il Tirreno Meridionale Conclusioni 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

3 Cosa è un problema inverso ?
Ci interessa determinare una proprietà fisica dell’interno della Terra, che consideriamo come una scatola nera Le misure fatte sulla superficie della terra dipendono da proprietà fisiche che ci interessa misurare Vogliamo risalire dalle misure alle proprietà fisiche tramite una procedura di inversione dei dati ? Proprietà fisiche: per esempio Temperatura Densità Velocità delle onde sismiche ……………. 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

4 Esempio: localizzazione di un evento sismico
Dati Forniti alla Protezione Civile Dati evento Event-ID Magnitudo(Ml) 5.8 Data-Ora06/04/2009 alle 03:32:39 (italiane) 06/04/2009 alle 01:32:39 (UTC) ********************** Coordinate °N, °E Profondità 8.8 km ********** Distretto sismico Aquilano 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

5 Esempio 1: localizzazione di un evento sismico
1) Si parte da un modello di velocità noto -- tempo di arrivo alla stazione 2) Con una procedura iterativa si calcola posizione e tempo origine dell’evento. Per esempio metodo trial and error Non basta una sola stazione ! Profondità (km) v1 v2 v3 v4 5.1 km/s 4.7 km/s 4.5 km/s 3.1 km/s 1 3.5 5 Nota 5.1 km/s = km/h 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

6 P S Esempio 1: localizzazione di un evento sismico (xo, yo, zo, to) t5
stazioni sorgente sismica t5 t3 t1 t2 t4 ? x y P S z Con un percorso all’indietro vogliamo localizzare l’evento sismico che è la causa delle onde registrate sulla superficie terrestre 4 Variabili  almeno 4 equazioni 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

7 Se divido la curva l in M segmentini
Esempio 2- fisico/matematico: Problema di Abel Misuro il tempo di discesa della palla e voglio risalire alla velocità con cui scende Il tempo affinchè la palla arrivi al punto P è Segmento k-esimo l(P) V(P) V=vk l=lk P Se divido la curva l in M segmentini In forma discreta 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

8 I problemi inversi sono malposti
Alcune incognite sono sottodeterminate Alcune incognite sono sovradeterminate y x Il modo in cui sono determinate le incognite dipende dal nostro esperimento 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

9 Modello fisico del sistema in studio
Per capire un problema si inizia da una rappresentazione semplice, un MODELLO, del problema o sistema che ci interessa. Per esempio abbiamo visto che la localizzazione di un evento sismico si puo’ fare partendo da un modello di velocità 1D, a pochi strati piani e paralleli v1 v2 v3 v4 5.1 km/s 4.7 km/s 4.5 km/s 3.1 km/s Si fà quindi un’ APPROSSIMAZIONE per rendere il problema piu' semplice da risolvere 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

10 - La sorgente sismica si possa considerare puntiforme
Modello fisico del sistema in studio: approssimazioni In sismologia si possono fare varie semplificazioni, ad esempio assumendo che: - Le proprietà fisiche dipendono solo dalla profondità, come per I modelli globali di riferimento - L’onda sismica che si propaga da una sorgente ad una stazione si puo’ descrivere con un raggio - La sorgente sismica si possa considerare puntiforme 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

11 Modello fisico del sistema in studio: approssimazioni
Più il modello è completo (meno approssimazioni si fanno) e più (speriamo) si avvicinerà ad una descrizione fedele della realtà . Per esempio possiamo considerare modelli più complessi della Terra 2-D o 3-D D’altra parte, più il modello fisico é complesso e più diventa difficile conoscere il sistema, e cioè risolvere il problema inverso Bisogna capire se è conveniente usare un modello piu’ complesso- o se ne basta uno semplice 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

12 Tomografia sismica Ci interessa ricavare un modello 3D della Terra
Anche qui ci sono approssimazioni/semplificazioni: Assumiamo che proprietà della Terra varino sia in profondità che orizzontalmente. Siamo interessati a risalire ad un modello 3-D delle velocità delle onde P (ed S se possibile) Le onde si possono descrivere come raggi e le sorgenti come punti (cioè trascuriamo che abbiano dimensioni finite) Inoltre vi sono altre ipotesi che dipendono dal metodo usato per risolvere il problema inverso 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

13 Dividiamo il volume di Terra che ci interessa in cubetti
Tomografia sismica Dividiamo il volume di Terra che ci interessa in cubetti Stazione j t5 t3 tj t2 t4 La lunghezza percorso del raggio nella celletta k è ….. Quindi Evento i Vk, velocità k-esima celletta Sommando su tutte le M cellette Il tempo di percorso dall’evento i alla stazione j 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

14 Riassumendo, la parte diretta del problema prevede:
Tomografia sismica Partendo dal nostro modello di Terra a cubetti e dell’onda sismica come raggio possiamo calcolare, partendo da un modello iniziale i tempi di arrivo teorici. Questo è la parte di calcolo diretto del problema. Riassumendo, la parte diretta del problema prevede: Un modello iniziale di velocità delle onde sismiche Una localizzazione iniziale degli eventi Una teoria che ci permette di calcolare i tempi di arrivo alle stazioni 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

15 I tempi teorici vengono confrontati con i tempi misurati (dati)
Tomografia sismica I tempi teorici vengono confrontati con i tempi misurati (dati) nel caso del i-esimo evento e della j- esima stazione Ci sono tante differenze quante coppie evento-stazione (cioè raggi). Queste differenze misurano la “bontà” della nostra approssimazione. Spesso si considerà l’RMS, dall’inglese Root Mean Square, o deviazione standard: 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

16 Tomografia sismica Da questo punto inizia la parte inversa del problema, dove variando il nostro modello iniziale (velocità e localizzazioni degli eventi) cerchiamo di diminuire l’RMS. Attraverso un processo iterativo, che include tanti calcoli diretti sulla base di una teroria, cerchiamo quel modello che minimizza l’RMS. Modello finale No (continua ad iterare) Va bene ? Calcolo RMS si Cioè vario il modello iniziale Modello iniziale Calcolo diretto Teoria usata Perturbo il modello 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

17 Supponiamo per semplicità che gli eventi siano stati già localizzati
Tomografia sismica Più formalmente Per ogni coppia evento-stazione ho un termine così dove i tempi sono i dati e le velocità le incognite Supponiamo per semplicità che gli eventi siano stati già localizzati lentezza Di solito vi sono molte coppie evento-stazione. Scriviamo una relazione tra tempi e velocità più compatta, con le matrici dove Quindi, in linguaggio matematico, cerchiamo l’inversa della matrice L Idealmente esiste una matrice che ci permette di trovare le velocità incognite 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

18 Tomografia sismica: Umbria-Marche 1997
5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti Monna et al., GRL 2003

19 Tomografia sismica: Umbria-Marche
Modello di partenza 1-D Si calcola dai dati uno o piu’ modelli 1D di partenza, che si usano per ricavare, con la procedura di inversione, un modello 3D 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti Monna et al., GRL 2003

20 sezioni orizzontali del modello 3D ricavato
Tomografia sismica: Umbria-Marche sezioni orizzontali del modello 3D ricavato 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti Monna et al., GRL 2003

21 Tomografia sismica: Umbria-Marche
Sezioni orizzontali 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti Monna et al., GRL 2003

22 Tomografia sismica: Umbria-Marche
Sezioni verticali 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

23 Seismic Parameter Water (saturated) Steam+Water Partial Melt Vp larger
E’ possibile provare ad associare volumi in cui vi sono delle anomalie (per es alta o bassa velocità) con proprietà fisiche delle rocce o con tipi di rocce che potrebbero essere presenti nel volume di terra in studio. Questa associazione è tanto piu’ valida quanto piu’ sono le informazioni (indipendenti) che andiamo ad incrociare- per esempio dati geologici, altre misure di proprietà delle onde sismiche o di atri parametri geofisici Seismic Parameter Water (saturated) Steam+Water Partial Melt Vp larger smaller Vs normal/smaller much smaller Vp/Vs normal Qp Qs Sanders, 1993 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

24 Tomografia sismica V, Q: Arco Calabro
Situazione sperimentale: Distribuzione stazioni-eventi e dei raggi sismici Già da questa figura si possono riconoscere alcuni limiti del dataset, che provengono dalle condizioi sperimentali Monna et al., JGR 2009 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

25 Tomografia sismica V, Q: Arco Calabro
Si possono invertire dati che provengono dalla forma d’onda, oltre che dal tempo di arrivo dell’onda alla stazione segnale Rumore 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

26 Tomografia sismica V, Q: Arco Calabro
5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti Mappe Monna et al., JGR 2009

27 Tomografia sismica V, Q: Arco Calabro
5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti Monna et al., JGR 2009

28 Tomografia sismica con OBS: S Tyrrhenian
Ocean Bottom Seismometers 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti Monna and Sgroi, G-cube submitted

29 Tomografia sismica con OBS: S Tyrrhenian
OBS - OBH Observatory 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

30 Tomografia sismica con OBS: S Tyrrhenian
5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti Monna and Sgroi, G-cube submitted

31 Aspetti da tenere a mente nello sviluppo ed intepretazione dei modelli tomografici
Le inversioni di dati reali sono problemi matematicamente “mal posti” : partendo da un insieme di dati si potrebbero avere più soluzioni valide, anche molto diverse tra di loro. Inoltre le anomalie trovate potrebbero essere affette da artefatti cioè effetti del processo di inversione e non anomalie “reali”. E’ opportuno, se possibile, confrontare i modelli tomografici con altre osservazioni indipendenti, soprattuto in fase di interpretazione dei modelli trovati. Nella risoluzione dei problemi inversi è necessario fare varie ipotesi semplificative- bisogna quindi fare attenzione che queste siano valide nel caso in esame 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

32 Alcuni aspetti positivi dei modelli tomografici
I modelli tomografici 3D ci offrono un quadro piu’ realistico della distribuzione delle velocità (rispetto all'1D), mostrandone anche la variazione laterale. In un modello 3D si possono localizzare piu’ precisamente gli ipocentri. Gli ipocentri possono essere messi in relazione con la distibuzione della velocità sismica e questi ultimi con le conoscenze della geologia di superficie. Si possono correlare le distribuzioni di velocità Vp e Vs ed il loro rapporto con il tipo di roccia, lo stato di fratturazione, la possibile presenza di fluidi, la temperatura ….. In questo caso è preferibile avere input da piu’ misure Indipendenti per esempio l’attenuazione delle onde sismiche, le misure in laboratorio delle velocità delle onde sismiche……….. 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

33 Sezioni verticali 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

34 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

35 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

36 5 Novembre, 2012 Seminario Università di Chieti

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