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Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it
STATISTICA A – K (60 ore) Marco Riani
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Esempi Lancio di una moneta 3 volte Spazio degli eventi?
Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} Probabilità degli eventi: A=“Croce nel primo lancio” B=“Almeno due volte testa” C=“Croce nel primo lancio o almeno due volte testa”
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Probabilità dell’evento A=“Croce nel primo lancio”
Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} P(A) = 4/8=0,5
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Probabilità dell’evento B=“Almeno due volte testa”
Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} P(B) = 4/8=0,5
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Probabilità dell’evento C=“A Croce nel primo lancio o B almeno due volte testa”
Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} P(C) =P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A)=0.5 P(B)=0.5 P(A ∩ B)=1/8 P(C)=7/8
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Esempio Titolari di patente classificati per sesso e per l’obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 Tot 0,7 1 Prob. degli eventi P(M ∩ N)? P(M U N)
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Esempio Titolari di patente classificati per sesso e per l’obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 Tot 0,7 1 P(M ∩ N)=0,4
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Esempio Titolari di patente classificati per sesso e per l’obbligo di portare le lenti Sesso\lenti S N Tot. M 0,2 0,4 0,6 F 0,1 0,3 Tot 0,7 1 P(M U N)= P(M)+P(N)-P(M ∩ N)= 0,6+0,7-0,4=0,9
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Esempio Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? A=“Il primo boero contiene il buono” B=“Il secondo boero contiene il buono” P(A ∩ B)=“entrambi i boeri contengono il buono”
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Esempio Nella cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un buono per un nuovo boero. Probabilità di mangiare 3 boeri comprandone uno solo? A=“Il primo boero contiene il buono” B|A=“Il secondo boero contiene il buono dato che il primo buono è già stato estratto” P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)= (2/30) (1/29)=0,0023
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Esempio totocalcio Gioco la schedina mettendo a caso i segni
1 X 2 Qual è la prob. di fare 14?
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Esempio Gioco la schedina mettendo a caso i segni (1 X 2). Qual è la prob. di fare 14? Ei= indovino il segno della partita i=1, 2, …, 14 P(Ei)= 1/3 Prob. di fare 14=P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ … ∩ E14)= P(E1) ∩ P(E2) ∩ P(E3) ∩ … ∩ P(E14)=(1/3)14= 2,09075E-07 =1/
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Esempio: superenalotto
Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6?
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Esempio: superenalotto
Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6? Ei= indovino il numero i-esimo della combinazione P(E1)=6/90 P(E2)=5/89 P(E3)=4/88 … ( ) (1/90 1/89 1/88 1/87 1/86 1/85) = 1 /
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Richiami di matematica: coefficiente binomiale
Combinazioni Il numero di combinazioni di n oggetti di classe s, cioè il numero di modi in cui si possono selezionare s oggetti da un campione di n, è dato da: dove è detto n fattoriale e 0! = 1.
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Esempio: superenalotto
Gioco i miei numeri preferiti {1, 13, 17, 25, 40, 90} Prob di fare 6? Casi favorevoli =1 Casi possibili = Combinazioni di 90 elementi di classe 6 = C90,6 C90,6=90*89*88*87*86*85/(6*5*4*3*2*1)= C90,6=90!/(6! 84!)=
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Esercizi Dati i tre insiemi A={x: 0≤x ≤4} B={x: 3≤x ≤10}
C={x: -1≤x ≤3} Si determinino gli eventi A U B U C A ∩ B ∩ C A ∩ B ∩ Cc
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Soluzione
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Esercizio Dati due eventi incompatibili A e B tali che P(A) =0,35 e P(B)=0,40 si trovino le seguenti probabilità P(Ac) P(A ∩ B ) P(A U B) P(Ac U Bc) P(Ac ∩ Bc)
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Soluzione
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Esercizio Per i due eventi A e B sono note le probabilità P(A)=0,48 P(B)=0,39 P(A ∩ B )=0,18 si determinino le probabilità nella tabella che segue A Ac B Bc E si calcolino P(A ∩ Bc ) e P(Ac ∩ Bc )
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Esercizio Un’urna contiene 15 palline bianche e 8 nere. Calcolare
Probabilità di estrarre una pallina bianca alla prima estrazione (evento A)? Probabilità in due estrazioni senza ripetizione di estrarre una pallina bianca nella seconda estrazione (evento B) dato che nella prima estrazione è stata estratta una pallina bianca (evento A)? Probabilità di estrarre in entrambe le estrazioni una pallina bianca
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Soluzione
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Esercizio Si calcoli la probabilità di ottenere un 2 almeno una volta in tre lanci consecutivi di un dado.
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Soluzione
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Esercizio Un docente di statistica ha distribuito un elenco di 20 domande da cui sceglierà a caso quattro domande per l’esame finale. Avendo poco tempo lo studente x prepara solo 4 domande. Qual è la probabilità che proprio queste costituiscano la prova di esame
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Soluzione
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Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Estraendo 5 carte a caso, qual è la probabilità di avere due carte di quadri, due di cuori e una di fiori?
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Soluzione
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Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure una carta rossa?
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Soluzione
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Esercizio Supponiamo di disporre di un mazzo di 52 carte. Si estrae una sola carta. Qual è la probabilità di estrarre una carta di quadri oppure un re?
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Soluzione
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Esercizio Delle 80 confezioni di yogurt esposte nel bancone di un supermercato, 10 scadono fra una settimana, 50 fra due settimane e le restanti 20 fra tre settimane. Si calcoli la probabilità che su 5 confezioni scelte a caso due scadano tra una settimana, due scadano fra due settimane e una fra tre settimane
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Soluzione
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Esercizio Da un mazzo di 52 carte da poker se ne estraggono a sorte 5. Si determini la probabilità che delle 5 carte 3 siano assi
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Soluzione
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Esercizio Si calcoli la probabilità che estraendo a sorte due carte da un mazzo di 40 appaiano 2 assi. Nel caso che la prima sia reinserita nel mazzo prima dell’estrazione della seconda Nel caso che la prima non sia reinserita nel mazzo prima dell’estrazione della seconda
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Soluzione
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Esercizio Un dado viene lanciato 2 volte. Si calcoli
La probabilità che l’esito del primo lancio sia 5, se la somma dei punteggi è 7 La probabilità che l’esito del secondo lancio sia un numero doppio dell’esito del primo lancio
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Soluzione
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Esercizio Si dimostri che se due eventi A e B sono indipendenti, allora A e l’evento complementare di B (Bc) sono indipendenti
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Soluzione
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