Ordini Parziali - Reticoli

Ordini Parziali - Reticoli

Insiemi parzialmente ordinati
Nell’analisi di programmi ordini parziali e reticoli giocano un ruolo importantissimo Dato un insieme L, un ordine parziale su L è una relazione £: L ´ L ® {vero, falso} che gode delle proprietà: riflessiva: " l Î L : l £ l transitiva: " l1, l2, l3 Î L : l1£ l2 Ù l2£ l3 Þ l1£ l3 antisimmetrica: " l1, l2 Î L : l1£ l2 Ù l2£ l1 Þ l1= l2 Un insieme parzialmente ordinato (L, £) è un insieme L sul quale è definito un ordine parziale £. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Tecniche di Analisi di Programmi
Esempio a b c d e f g L= {a,b,c,d,e,f,g} £ ={(a,c), (a,e), (b,d), (b,f), (c,g), (d,g), (e,g), (f,g)}T (L, £) è un insieme parzialmente ordinato (finito) Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio N ´ N a £N ´ N c b c b £N ´ N c a (x1,y1) £N ´ N (x2,y2) Û x1£N x2 Ù y1£N y2 (N ´ N, £N ´ N) è un insieme parzialmente ordinato (infinito) Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio Tutti i possibili insiemi ordinati con tre elementi: Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

lub e glb Dato un insieme parzialmente ordinato (L, £), un insieme Y di L ha un elemento l come upper bound se " l’ Î Y : l’ £ l un insieme Y di L ha un elemento l come lower bound se " l’ Î Y : l £ l’ Un least upper bound (lub) di Y è un upper bound l0 di Y che soddisfa la seguente proprietà: l’ è un upper bound di Y Þ l0 £ l’ Un greatest lower bound (glb) di Y è un lower bound l0 di Y che soddisfa la seguente proprietà: l’ è un lower bound di Y Þ l’ £ l0 Se un sottoinsieme Y di L ha un least upper bound, questo è unico (per la proprietà antisimmetrica dell’ordine parziale £) Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio N ´ N upper bounds di Y Y lub(Y) glb(Y) lower bounds di Y (x1,y1) £N ´ N (x2,y2) Û x1£N x2 Ù y1£N y2 Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio ^ c d b a g j i h f e T lub({b,c})= ?
Gli upper bounds dell’insieme {b,c} sono {h,i,T} T i h e questo insieme non ha un minimo elemento: Il lub non c’è ! Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio ^ lub({a,b})= ? c d b a g j i h f e T
Gli upper bounds dell’insieme {a,b} sono {T,h,i,f} i h f T e questo insieme ha un f come minimo elemento: lub({a,b})= f Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Reticoli Un reticolo è un insieme parzialmente ordinato (L, £) tale che per ogni coppia di elementi di L esiste il least upper bound ed il greatest lower bound. Se L è un insieme parzialmente ordinato non vuoto, e x£y, allora lub({x,y}) = y glb({x,y}) = x. Per dimostrare che L è un reticolo basterà quindi verificare che per ogni coppia di elementi incomparabili esistano sia lub che glb. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio Rivediamo tutti i possibili insiemi ordinati con tre elementi: sono reticoli? SI NO NO NO NO Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio a b c d e f g Y L= {a,b,c,d,e,f,g} £ ={(a,c), (a,e), (b,d), (b,f), (c,g), (d,g), (e,g), (f,g)}T (L,£) non è un reticolo: sia a che b sono lower bounds di Y, ma a e b sono incomparabili Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Catene Dato un insieme parzialmente ordinato (L,£), un sottoinsieme Y di L è una catena se " l1, l2 Î Y : (l1£ l2) Ú (l2£ l1) ovvero una catena è un sottoinsieme di L totalmente ordinato. Un insieme parzialmente ordinato (L,£) ha altezza finita se e solo se tutte le catene di L sono finite Una sequenza (ln)nÎN di elementi di L è una catena ascendente se n £ m Þ ln£ lm Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio: catene c d b a g j i h f e T ^ c d b a g j i h f e T ^ Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Insiemi Diretti Sia (P,£P) un insieme parzialmente ordinato. Un sottoinsieme S di P si dice diretto se per ogni sottoinsieme finito F di S esiste un elemento di S che appartiene all’insieme degli upper bounds di F. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio 2 3 4 1 -1 -2 -3 -4 ^ T F S L= Z È {T,^} " n Î Z : ^ £ n £ T S non è un insieme diretto: non esiste un elemento di S che appartiene all’insieme degli upper bounds di F Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio S 2 3 4 1 -1 -2 -3 -4 ^ T F L= Z È {T,^} " n Î Z : ^ £ n £ T S è un insieme diretto: per ogni F finito esiste un elemento di S che appartiene all’insieme degli upper bounds di F Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Insiemi diretti e catene
b a g j i h f e T ^ Sia (P,£P) un insieme parzialmente ordinato. Ogni catena non vuota di P è un insieme diretto. 6 5 4 3 2 1 Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Insiemi diretti In (Ã(N),Í) l’insieme S={X Í N | X è finito} è diretto? In (Ã(N),Í) l’insieme S={X Í N | N-X è finito} è diretto? Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

CPO Un insieme parzialmente ordinato (P,£P) si dice CPO (insieme completo parzialmente ordinato) se: Esiste un elemento minimo (bottom) Per ogni sottoinsieme diretto S di P esiste lub(S). Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Reticoli completi Un reticolo completo è un insieme parzialmente ordinato (L, £) tale che tutti i sottoinsiemi di L hanno least upper bound e greatest lower bound. Se (L, £) è un reticolo completo, si denotano: ^ = lub(Æ) bottom element T = glb(L) top element Ogni reticolo finito è un reticolo completo Ogni reticolo completo è un CPO Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio {1,2,3} {1,2} {1,3} {2,3} {1} {2} {3} L= Ã({1,2,3}) £ = Í lub(Y) = ÈY glb(Y) = ÇY Æ Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio {1,2,3} lub(Y) {1,2} {1,3} {2,3} Y {1} {2} {3} L= Ã({1,2,3}) £ = Í lub(Y) = ÈY glb(Y) = ÇY Æ glb(Y) Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio T -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 ^ L= Z È {T,^} " n Î Z : ^ £ n £ T Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio L= Z+ £ ordine totale su Z+ lub = max glb = min E’ un reticolo, ma non completo: Ad es. l’insieme dei pari non ha lub 6 5 4 3 2 1 Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio T L= Z+ È {T} £ ordine totale su Z+ È {T} lub = max glb = min E’ un reticolo completo 6 5 4 3 2 1 Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempi L=R (numeri reali) con £ ordine totale (R, £ ) non è un reticolo completo: ad esempio {x Î R | x > 2} non ha lub Per ogni x<y in R, ([x,y], £ ) è un reticolo completo L=Q (numeri razionali) con £ ordine totale (Q, £ ) non è un reticolo completo E non basta aggiungere un top ed un bottom per ottenere la completezza: l’insieme {x Î Q | x2 < 2} ha upper bounds ma non ha un least upper bound. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Teorema: Se (L, £) è un insieme parzialmente ordinato, sono equivalenti: L è un reticolo completo ogni sottoinsieme di L ha un least upper bound ogni sottoinsieme di L ha un greatest lower bound Dimostrazione: 1 Þ 2 e 1 Þ 3 seguono immediatamente dalla definizione Per mostrare che 2 Þ 1, basta definire per ogni Y Í L glb(Y) = lub({lÎ L | " l’ Î Y : l £ l’}) Tutti gli elementi dell’insieme a destra sono lower bounds dell’insieme Y. Quindi lub({...}) definisce un lower bound di Y. Poiché tutti i lower bound di Y appartengono all’insieme a destra, lub({...}) definisce il greatest lower bound di Y. Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

Esempio upper bounds di Z {1,2,3} glb(Y)= lub({lÎ L | " l’ Î Y : l £ l’}) Y {1,2} {1,3} {2,3} lub(Z) {1} {2} {3} Z= {lÎ L | " l’ Î Y : l £ l’} Æ Tino Cortesi Tecniche di Analisi di Programmi

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