Momento di una forza θ O C A x y O C A x y

Presentazione sul tema: "Momento di una forza θ O C A x y O C A x y"— Transcript della presentazione:

1 Momento di una forza θ O C A x y O C A x y
il momento di un vettore c rispetto ad un punto O è definito dal prodotto OA×C dove A è un punto qualsiasi della retta di applicazione di c OA X C ha il verso della rotazione che porta OA su C(i.e. parallelo a C) e modulo OA *C* sin θ = C *OA* sin θ = C* (distanza tra C e il polo O) = C* (braccio) il punto O viene detto polo se consideriamo un altro punto A' sulla retta definita dal vettore c e spostiamo il vettore c in A' avremo: OAX C = OA’ X C in generale il momento di una forza F è definito come M = r X F il cui modulo è: M = r F sin(θ) θ O C A OA sinθ x y O C A x y

2 Momento angolare O θ K T P mg
Se il punto materiale P si muove con velocita’ V e O e’ un punto qualunque il vettore Lo = OP X mV = OP X q è il momento rispetto al polo O della quantità di moto q = mv e viene chiamato momento della quantità di moto o momento angolare è perpendicolare al piano individuato da OP e v in generale la sua direzione e il suo modulo cambiano mentre il punto materiale si muove Da F = dq/dt si ha OP X F = OP X dq/dt dLo /dt = dOP/dt X q + OP X dq/dt dOP/dt = V e’ parallelo a q , quindi il primo prodotto e’ nullo e si ha dLo/dt = OP x dq/dt = OP X F = Mo La derivata del momento della quantita’ di moto rispetto al polo O e’ il momento della forza rispetto al polo O (ovvia conseguenza del fatto che la derivata di q e’ la forza agente) P O K mg T θ Le forze sono T e mg . Il momento di T e’ nullo quello di mg vale Mo = K X mg = K mg sinθ = dLo/dt dLo/dt = d/dt K X q + K X dq/dt dK/dt = V V X q = V X mV = 0 dq/dt ha due componenti : una centripeta parallela a K e una, tangenziale, che vale d/dt (mv) = m d2s/dt2 = mK d2θ/dt2. K X K = quindi resta dLo/dt = K2 m d2θ/dt2 = K mg sin θ da cui d2 θ/dt2 = g/k θ Il momento delle forze rispetto ad O genera la rotaz. intorno ad O

3 La sbarra , priva di massa, e’ ferma.
Sono dati m1, m2 , L= L1 + L2 e θ Calcolare F e L1 ( e L2) F sostiene m2 e m1 , quindi F = (m1+m2) g La sbarra non ruota intorno ad O quindi dLo/dt = 0 e Mo = 0 Mo = L2 X m2g + L1 X m1g= = L2m2 sinθ g +(L- L2) m1 sin θ’ Da cui si ottiene L2 m1 m2 O F L1 L2 θ Per un sistema isolato vale il principio di conservazione del momento angolare: se il momento risultante delle forze rispetto ad un polo O e’ nullo il momemnto angolare rispetto ad O rimane costante nel tempo. Se la sbarra ruotasse intorno ad O con velocita’ angolare ω, il momento della QdM: L = Se L1=L2 =R e m1=m2 : Se Mo = L = costante

4 Archimede e’ famoso per la frase “datemi un punto d’appoggio e sollevero’
Il mondo” . Data una forza F ed un punto O nello spazio si puo’ definire il prodotto vettoriale M= R X F = momento della forza F rispetto al polo O. Un momento produce una rotazione: data la leva L (di massa nulla) con fulcro in O e le due masse m1 e m2 Archimede trova che si ha equilibrio (assenza di moto) se d2Xm2g + d1Xm1g = 0 d1 d2 m1 g m2g r1 r2 O L a) d1X m1g = ( r1 –L)X m1g b) d2X m2g = (r2 – L) X m2g La somma a+b deve dare zero r1Xm1g + r2Xm2g = (m1+m2) LXg (m1r1 + m2r2)Xg = (m1 + m2) LXg L(m1+m2) = m1r1 + m2r2 L = (m1r1 +m2r2) / (m1+ m2) L e’ il raggio vettore di O che viene chiamato Centro di Massa o “baricentro” = centro dei pesi. Nel caso di n masse O e’ il punto sul quale il vincolo esercita la forza (m1+m2)g in modo che la leva non ruoti (cioe’ sia in equilibrio). Da qui il nome “centro di massa”

5 Dinamica dei sistemi consideriamo un sistema di N punti materiali, indichiamo con: Pi il punto i-esimo mi la massa del punto i-esimo Fi(t) la forza agente sul punti i-esimo all'istante t la forza Fi che agisce su un certo punto ad un certo istante è dovuta alla interazione del punto con gli altri punti materiali e del punto con corpi esterni: forza interna: ogni forza esercitata sopra un punto del sistema da un altro punto del sistema stesso per distinguere il contributo delle forze indichiamo con Fi,j forza di Pj su Pi FiI la risultante delle forze interne agenti sul punto i-esimo FiE la risultante delle forze esterne agenti sul punto i-esimo la forza totale agente sul punto i-esimo sarà allora:

6 Forze interne ed esterne
se consideriamo la forza che il punto Pi esercita sul punto Pj, dal principio di azione-reazione ricaviamo che otteniamo: ad ogni istante la risultante di tutte le forze interne agenti in un sistema materiale è nulla l'equazione del moto del punto Pi è: Che dipende dalle forze interne ed esterne agenti su i. Sommando su tutti gli indici i si ha

7 Dinamica dei sistemi è la quantità di moto del punto Pi, la somma viene chiamata quantità di moto totale del sistema, essa e’ uguale alla Quantita’ di moto del Centro di massa del sistema. Si puo’ allora scrivere ad ogni istante la risultante di tutte le forze esterne agenti su un sistema materiale è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema la quantità di moto totale di un sistema materiale isolato è costante nel tempo Teorema del moto del centro di massa: il centro di massa di un sistema materiale si muove come un punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema e soggetto ad una forza uguale alla risultante delle forze esterne agenti sopra il sistema

8 Si immagini un insieme di n masse mi nello spazio : su di ognuna di esse
agisce la forza di gravita’ dovuta alla terra, FORZA ESTERNA, ma anche la forza di gravita’ reciproca fra le masse.FORZE INTERNE Le masse acquisteranno tutte una stessa accelerazione verso la terra . ed una accelerazione le une verso le altre dovuta alla mutua attrazione. A causa della forza esterna dQi/dt = G mi Mt/r2 (assumendo che le dimensioni del sistema di n masse sia piccolo rispetto a r ) dQ/dt = Σ dQi/dt = G Mt/r2 x Σ mi = FE notare che Σ mi e’ la massa totale. Poiche’ le attrazioni interne a due a due sono eguali e opposte , eguali e opposte sono le variazioni delle loro QdM , la cui somma totale e’ quindi nulla . In conclusione il sistema ha un moto collettivo verso la terra la cui QdM varia secondo la dQ/dt = Σ DQi/dt = G Mt/r2 x Σ mi diversa da zero , e un moto indipendente di contrazione dovuto alla mutua interazione per cui la somma vettoriale delle DQij /dt e’ nulla.

9 Il moto delle masse mi consiste di un moto collettivo durante il quale il CM si muove
come se su di esso fosse applicata la risultante delle forze esterne. Piu’ un moto relativo al CM. In un corpo rigido questo puo’ essere solo una rotazione . Poiche’ il momento delle forze interne rispetto al CM e’ zero ( per definizione la retta d’azione di una forza di scambio passa per il CM dei due punti che si scambiano) la condizione di non rotazione da’ che Mcm delle forze ext.=0 Non c’e’ attrito : scende con acc. a =gsinθ Ma cade indietro a causa del momento rispetto al CM della reazione Vincolare normale. La posizione di Equilibrio e’ quella per cui CM e’ sulla normale al pendio a b) c’e’ attrito, l’accelerazione e’ minore o nulla , il Momento dell’attrito Fa tende a provocare una rotazione in avanti. La persona dovra’ spostarsi leggermente indietro in modo che il momento della reazione normale equilibri quello dell’attrito.Cioe’ che Rn +Fa passi per CM. Poiche’ l’attrito e’ (μ Rn) il rapporto tra Fa e Rn e’ μ. L’angolo di arretramento rispetto alla normale al terreno e’ tang θ’ = μ Se μ = 0,1 si ha θ’ ~ 6 gradi. Su ghiaccio disperatamente in avanti, su neve fresca o molle un po’ indietro.( ma sempre avanti rispetto alla verticale g) b Caso tipico dello sciatore

10 Un caso importante e’ il moto geenrato da una forza centrale come la gravita’:
Un oianeta descrive un’orbita circoalre o ellittica intorno al sole. La forza e’ sempred diretta verso il sole : il suo momento rispetto al sole e’ nullo. Ne segue che il momento della quantita’ di moto rispetto al sole e’ costante. θ s P1 P2 r O L’area di OP1P2 e’ A ~ ½ r s sinθ = ½ r X s dA/dt = ½ dr/dt X s + ½ r X ds/dt = ½ r X v perche’ dr/dt = v che e’ parallelo a s Lo = r x q = r x mv = costante perche’ Mo = 0 (la forza passa per o) Lo = 2m dA/dt quindi se Lo e’ costante lo e’ anche la velocita’ areale

11 Impulso Per una forza costante F si definisce come IMPULSO I (t1,t2) della forza tra t1 e t2 come il prodotto della forza per il tempo in cui ha agito I (t1,t2) = F Δ t dI = F dt = m dv/dt dt = m dv L’impulso e’ un vettore che ha la stessa direzione della Forza e si misura in N sec. Se la forza non e’ costante l’impulso e’ dato dall’integrale La somma degli impulsi di tutte le forze agenti su un punto materiale e’ uguale all’impulso della forza risultante. Teorema dell'impulso: l'impulso di una forza in un certo intervallo di tempo è uguale alla variazione, in quell'intervallo di tempo, della quantità di moto del corpo sul quale agisce la forza

12 Urto = scambio di impulsi
L’urto puo’ essere ELASTICO = forza elastica (molla) conservativa si conserva l’energia meccanica E = U+ Ek L’urto puo’ essere parzialmente o totalmente ANELASTICO : E non si conserva Forze interne = Σij Fij = lo stesso vale per gli impulsi Q = q1 +q2 = costante la quantita’ di moto si conserva SEMPRE !!! Σij Fij = 0 d Q = Q iniz = = Qfin Se l’urto e’ elastico : Lavoro = Uf + Ekf – (Ui + Eki) = 0 Le biglie si sono compresse e ridistese Uf = Ui variaz. E cin=

13 U1 e U2 V iniziali v1 e v2 le V finali
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 ½ m1 v12 +1/2m2v22 = ½ m1u12 +1/2 m2 u22 m1 ( u1-v1) = - m2 (u2-v2) m1 (u12-v12) = - m2(u22-v22) U1+v1=u2+v v1-v2 = -(u1-u2) V1 = (m1u1+m2u2- e m2(u1-u2))/(m1+m2) V2= (m1u1 +m2u2 + e m2(u1-u2))/(m1+m2) e= urto elastico e= 0 totalmente inelastico

14 m1v1 = m1v1’ + m2v2’ ½ m1 v12 = ½ m1 v1’2 + 1/2m2v2’2
Dalla 1 si ha v’2 = m1/m2 ( v1-v1’) All’aumentare di m2 v’2 diminuisce e ½ m2 v’22 tende a zero V’1 a V1 Assumendo le masse uguali e sostituendo v2’ = v1- v1’ si ha v1’= 0 Se m2 tende a infinito v’2 tende a zero non si ha conservazione di q ma solo dL = dEk Cioe’ ½ mv1’2 – 1/2mv12 = e quindi v1’ = -v1 Nel caso non perpendicolare si vara’ che la componente di q parallela alla parete si conserva e quella perp. No L’impulso sulla parete = 2q l’impulso DALLA parete = - 2q

15 M= sacco pesante, m proiettile di fucile con velocita’ v, che vi
si conficca e arresta. Sia M=5 Kg, m= 15 gr , H= 40 mm Calcolare la v del proiettile. Pendolo balistico Vi sono due forze esterne ,la gravita’ e la tensione, entrambe agiscono lungo L L’atto di moto iniziale e’ pero’ tangente al cerchio di raggio L , quindi il loro lavoro, anche impulsivo, e’ nullo. Le sole forze agenti,impulsivamente, sono Interne e frenano il proiettile nel tempo dT. La quantita’ di moto si conserva , l’energia no a causa dell’attrito sacco proiettile. (M+m)V = mv V = mv/(m+M) L H M v m Dopo l’istante dell’urto agiscono la sola gravita’ e la Tensione. Si conserva l’energia meccanica. Quando (M+m) raggiunge la max elongazione, la sua Velocita’ e’ nulla e si e’ sollevato di H . (M+m)V2/2 = (M+m) gH = (m+M) m2v2/(m+M)2/2 = [(m/(m+M)] mv2/2 H e’ quindi proporzionale all’energia cinetica del proiettile. v2=2[(m+M)/m]2 g H Notare che l’energia cinetica finale e’ m/(m+M) Ek iniziale. (dispositivi analoghi sono usati dai giostrai per misurare l’intensita’ dell’impulso di un pugno o di un calcio. In elettronica m e’ un impulso brevissimo di corrente I e M e’ un circuito RC con costante di tempo molto lunga, la tensione finale raggiunta Ai capi del condensatore e; proporzionale a alla carca I dt portata dall’impulso.

16 Dimensionalmente : massa auto,densita’aria,
V = costante Resistenza dell’aria? v S Dimensionalmente : massa auto,densita’aria, Sezione frontale,velocita’, forma…….. F ~ ρ S V2 Nel tempo T avanza di X = VT spazzando il volume SVT e spostando Una massa di aria M = ρ SVT = ρ SX. L’aria deve essere spinta di lato di un tratto <Y> ~ k S1/2 nel Tempo T=x/V La velocita’ <y>/T = k S1/2 V/x e l’energia cinetica Ek = ½ ρ SX k2 S V2 /X2 = ½ ρ S k2 S V2 /X Moltiplicando e dividendo per X Ek = ½ ρ S V2 Cx X Dove Cx = k2 S/X2 e’ un a quantita’ adimensionale che dipende dalla forma Ek e’ energia cinetica dissipata = lavoro della Fattrito per percorrere X = Lavoro fatto dal motore per mantenere la V costante Ek = Fa X e quindi Fa = ½ ρ S V2 Cx [ m l2 l2 /l3 t2] = [mlt-2] La potenza e’ lavoro nell’unita’ di tempo = Ek/T = F v = ½ ρ S V3 Cx

17 Le copie (x,t) che soddisfano la condizione wt-kx=0 cioe’ x = w/k t
y x a F θ1 θ2 dX a e’ una perturbazione che si propaga Lungo la corda. Sia Y= Y(x) la sua Forma. F e’ la tensione ai capi di dx. Il moto di dx e’ lungo Y sotto l’azione Della forza Fy = F ( sinθ2- sin θ1)~ F( tg θ2- tg θ1) tg θ2 = dY/dx (x=x+dx) e tg θ1= dY/dx (x=x) ( tg θ2- tg θ1) = d2Y/dx2 dx Fy = F d2Y/dx2 dx = “may” = ρ dx d2Y/dt2 d2Y/dx2 = ρ/F d2Y/dt2 Questa equazione ha soluzioni del tipo f = f (X)= f (wt – kx) e rappresenta Un’onda che si propaga . Infatti il valore f (0) per X = 0 si ottiene per tutte Le copie (x,t) che soddisfano la condizione wt-kx=0 cioe’ x = w/k t Dove V= w/k e’ la velocita’ di “propagazione” della “forma” f. Si noti che [w] = [t-1] e [k]=[x-1] quindi w rappresenta una frequenza e t una Lunghezza (d’onda o altro). Poiche’ d2f/dx2 = k2 d2f/dX2 e d2f/dt2 = W2 d2f/dX2 l’equazione e’ anche d2f/dx2 = (k/w)2 d2f/dt e V2 = ρ/F

18 Su una corda tesa e inestensile: gli unici parametri fisici sembrano essere la densita’ lineare λ della corda e la sua tensione T (la lunghezza e’ ininfluente e supposta infinita, la gravita trascurabile (cioe’ la tensione e’ >> λg) [λ] = m/l [T] = ml/t [v2] = T/λ Tensioni elevate o λ piccole = v alta = frequenza elevata o lungh. d’onda corta. Masse elevata o T bassa = frequenze basse o lungh. d’onda lunga In un fluido incomprimibile (es. acqua) : l’ampiezza A , ρ, la lunghezza d’onda L, g ………… l’ampiezza A potrebbe essere importante, ma probabilmente e’ A/h (profondita’) che e’ importante e se h >>A l’ampiezza dovrebbe essere irrilevante. A parita’ di ρ la velocita’ sara’ v2 ~ Lg cioe’ w/k = L1/2/g1/2 l’onda lunga e’ piu’ veloce. L’onda si disperde perche’ le alte frequenze corrono meno ,rimangono indietro……. Se pero’ A diventasse importante (cioe’ A/h non infinitesimo) si potrebbe ottenere V2 = Ag E questo e’ interessante perche’ non ci sarebbe dipendenza da L (nessuna dispersione) e l’onda potrebbe propagarsi con velocita’ elevata dipendente dalla sua ampiezza. (solitoni,onde solitarie e Tsunami)