Capitolo I Richiami di teoria dei processi di diffusione. QuantoElettroDinamica. Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori di forma elastici del.

Capitolo I Richiami di teoria dei processi di diffusione. QuantoElettroDinamica. Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori di forma elastici del nucleone. Bibliografia: - F.Halzen, A.D.Martin , “Quarks & leptons”, Wiley & Sons, 1984 cap.5, 6, e 8 D.H. Perkins, “Introduction to High Energy Physics”, Addison-Wesley ,1987 cap.6

QED : brevi richiami E’ il “prototipo” di teoria quantistica di campo di gauge (basata sul gruppo abeliano U1): descrive l’ interazione elettromagnetica tra particelle cariche ‘point-like’ di Spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks… la cui equazione del moto ‘libera’ e’ data dall’ eq. di Dirac) mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico. L’ interazione e.m. elettrone-fotone e’ introdotta nell’ eq. di Dirac per una particelle libera: (1.1) gm matrici di Dirac: [ sk matrici di Pauli: ] inserendo nell’ eq. del moto la “derivata covariante”: (1.2)

Richiami di QED (II) L’ eq. del moto di un elettrone (carica elettrica -e ) in presenza di un campo e.m. e’ quindi : (1.3) dove Am = ( F, A) e’ il quadri-potenziale del campo e.m. : (1.4) (ricordiamo che i campi E, B sono invarianti rispetto ad una “trasformazione di gauge” del potenziale: (1.5) con a(x) funzione scalare qualsiasi delle quadri-coordinate ;

Richiami di QED La forma dell’ eq. (1.2) discende dalla richiesta di rendere invariante la descrizione dell’ interazione rispetto a una trasformazione “locale” (=dipendente dalle coordinate) di gauge a(x), data dalla (1.4) per il campo Am(x) e, contestualmente, da una arbitrario cambiamento di fase dello spinore dell’ elettrone: (1.5’) [  gli osservabili fisici, come la sezione d’urto di diffusione derivabile dalla ampiezza di transizione che si ottiene dalla (1.3), sono invarianti rispetto alla trasformazione (1.5), (1.5’) ] E’ interessante ricordare come gia’ in meccanica quantistica non relativistica, la prescrizione di invarianza di gauge porti ‘naturalmente’ alla descrizione dell’ interazione e.m. tra particelle cariche e campi (forza di Lorentz)

[ Nel formalismo operatoriale:
Richiami di QED [ Nel formalismo operatoriale: (1.6) che in meccanica quantistica (non relativistica), dall’ Hamiltoniana di una particella in un potenziale elettrostatico F(x): porta all’ eq. di Schroedinger: la prescrizione di derivata covariante (1.2) diviene: (1.2’) L’ hamiltoniana viene modificata: La lagrangiana associata all ‘ hamiltoniana e’: (v= velocita’ della particella) (1.7) ( ricordiamo che : , con: ) (1.8) L’ eq. del moto di Eulero-Lagrange: applicata alla lagrangiana (1.8) coincide con l’eq. del moto di una particella carica sotto l’ azione della forza di Lorentz (utilizzando le relazioni (1.4)): per una completa discussione, cfr.: Goldstein, ”Meccanica Classica” ]

Richiami di QED: scattering e-e, e-m, e-quark
Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichi puntiformi, ad esempio: e-e-  e-e-, e-m- e-m, e q  e q (q=quark) Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, la ampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinore i con 4-impulso (Ei,pi) ) ad uno stato finale (spinore f con 4-impulso (Ef,pf) ) e’ data da: (1.9) dove V(x) e’ il potenziale che perturba l’ hamiltoniana di particella libera Ho : H = H0 + V e si e’ introdotto lo spinore coniugato (la quantita’ e’ definita positiva e ha il significato di una densita’ di probabilita’)

In QED, per la quale l’eq. del moto e’: (1.3’) il potenziale e’: ossia: i(x) (1.10) f (x) e- e- dove si e’ introdotta la “corrente elettro-magnetica”: Am(x) (1.11)

[ che abbia il significato fisico di densita’ di 4-corrente jm=(r,j) deriva dal fatto che vale l’eq. di continuita’: , come si puo’ verificare dall’eq. di Dirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato; cfr., ad es., Halzen-Martin, pg.103 ] Nello scattering e-quark, il campo Am e’ il 4-potenziale del campo e.m. associato alla presenza del quark: la ‘sorgente’ del campo e’ la corrente e.m. del quark: i(x) f (x) e- k e- k’ 4-impulso iniziale dell’elettr. Am(x) q(x) p’ p (vedremo successivamente come gli esperimenti giustificano questa assegnazione) 4-impulso iniziale del quark 4-impulso finale

La relazione tra il campo e la sua sorgente jmquark e’ data dall’ eq. di Maxwell (nella gauge di Lorentz: ): (1.12) (c = 1) Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per jmquark la soluzione del campo yq che viene dalla eq. libera di Dirac: ossia: = q (4-momento trasferito nel processo) Nota: la conserv. del 4-impulso: k+ p = k’+p’ implica: q = p’-p = k-k’

Da tale soluzione libera, si vede che: e confrontando con (1.12): L’ ampiezza di transizione , al primo ordine perturbativo, e’ allora:

Esprimendo anche la corrente dell’ elettrone in termini di soluzione dell’ eq. libera di Dirac: si ha: dove si e’ definito l’ elemento di matrice di transizione: (1.13)

Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
In un processo di diffusione, la quantita’ osservabile sperimentalmente e’ la sezione d’urto differenziale per avere, ad esempio, l’elettrone diffuso ad un certo angolo solido dW=2psinqdq; essa e’ legata all’ elemento di matrice Mif dalla “regola d’oro” di Fermi [cfr. Perkins, app. E] : No di stati finali disponibili che competono all’ energia E dello scattering: (frequenza normalizzata ad un flusso unitario di particelle incidenti) q p f

L’ espressione data per ds/dW non e’ Lorentz-invariante; la sua espressione Lorentz-invariante dipende dalla normalizzazione delle funzioni d’onda spinoriali ye, yquark che compaiono in Mif. Se nel rest-frame della particella la densita’ di probabilita’ e’: in un altro sistema di riferimento (ad es., quello del C.M. della collisione) in cui l’ energia della particella e’ E = mg, il volume viene contratto: la densita’ osservata diviene: (ossia cresce di un fattore E/m) La sezione d’urto va allora normalizzata per un fattore per ognuna delle funzioni d’onda che compaiono nell’interazione.

( in unita’ naturali: ) In genere, lo stato finale osservato e’ quello che si ottiene mediando sugli stati iniziali di spin dell’ elettrone e del quark; in definitiva: (1.14) [cfr. Perkins, app.F e G ] Nel CM dello scattering, il momento dell’ elettrone diffuso e’ p=E/2 dove si e’ introdotta la variabile di Mandelstam: (1.14’) [  esercizio 1.1 ] [ trascurando le masse: p2/EeEq=1, EeEq=E’eE’q=ECM2/4=s/4, ECM=2Ee]

Inseriamo ora nell’ espressione generale (1.14) per la sezione d’urto l’elemento di matrice (1.13) derivato dalla dinamica della QED; utilizzando l’algebra delle matrici di Dirac [ la cosa e’ laboriosa… per una discussione completa si vedano Perkins, app.G ; Halzen-Martin, cap. 6 ] : (1.15) e- k e- k’ 4-impulso iniziale dell’elettr. dove si e’ trascurata la massa me (ma non quella del quark) p’ quark p

L’ espressione (1.15) e’ Lorentz-invariante; e’ interessante esprimerla nel sistema del laboratorio, nel quale viene misurato l’ angolo di scattering dell’ elettrone diffuso: k=(E,k), k’ = (E’, k’), p = (M,0) (M=mq) Si ottiene, utilizzando la conservazione del 4-impulso, k+p = k’+p’ [  es.1.3]: (1.15’) dove il quadrato del momento trasferito e’ esprimibile in funzione dell’angolo di scattering nel laboratorio [  es.1.2]: : k’ e- q k M

Inserendo (1.15’) in (1.14), si ottiene infine il risultato finale per lo scattering di QED di un elettrone su una targhetta ‘point-like’di spin ½ e massa M: (1.16) ( “sezione d’urto di Mott” ) dove si e’ introdotta la costante di struttura fine: e la carica del quark e’ ora espressa in unita’ di carica dell’elettrone: Nell’ ultima espressione di (1.16), si e’ di nuovo usata la In definitiva: (1.16’) (sezione d’urto “classica” per lo scattering coulombiano di particelle non relativistiche prive di spin)

E’ importante sottolineare che per un fissato valore dell’ energia incidente E, la sezione d’ urto e’ solo funzione dell’ angolo di scattering q, essendo [vedi es.1.4]: Infine, e’ utile esprimere la sezione d’urto elementare di Mott in forma Lorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam: k k’ Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell’ ampiezza di transizione (trascurando la massa del quark): p p’ k’ k q e quark p

Inserendo nella (1.14): si ha : (1.16’’) (nell’ ultima espressione la carica del quark si intende espressa in unita’ di carica elementare: ) Utilizzeremo questa espressione nella discussione del processo di ‘Deep Inelastic Scattering” elettrone-nucleone.

La costante di struttura fine
La costante fondamentale dell’ interazione e.m.: detta “costante di struttura fine” (si misura con grande precisione osservando la struttura fine dei livelli energetici atomici) e’ espressa in unita naturali nel sistema di unita’ di misura “razionalizzato” di Heaviside-Lorentz, nel quale la 1a eq.di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss) e’ espressa nella forma: (ossia e0=1 ; nel S.I. invece: ) , o equivalentemente la legge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica e’: La costante a e’ adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unita’ naturali ] , come rapporto tra una sezione d’ urto ( dimensione: [s] = m2) e l’ inverso del quadrato di un’ energia ( [1/s] = J-2 ) ; queste quantita’ sono tra loro omogenee, essendo: [h] = Js e [c] = m s-1. Nel S.I., l’ espressione di a e’:

La costante di struttura fine
Infatti: (dalla legge di Coulomb) e quindi la combinazione e’ adimensionale. Numericamente:

Scattering elastico elettrone-nucleone
Il processo di scattering elettromagnetico epep non e’ un processo point-like (come eq eq o em em) La sezione d’urto di Mott, che nel sistema del laboratorio e’ data dalla (1.16): va modificata. La corrente adronica viene modificata: e- k e- k’ protone p’ (1.17) p con: ed M e’ ora la massa del nucleone.

Scattering elastico e-N
Si dimostra che il termine entro parentesi nella corrente (1.17) e’ il piu’ generale 4-vettore che puo’ essere costruito dalle matrici di Dirac e dai 4-momenti in gioco p, p’ e q=p’-p, tenendo conto che la 4-corrente jmhadr deve essere conservata: , ossia qmjm = 0. [ per una completa discussione, vedi Halzen-Martin, es. 8.5 ] Le funzioni F1(q2), F2(q2) parametrizzano la nostra ignoranza della struttura dell’ adrone, e devono essere determinate sperimentalmente, come verra’ discusso in seguito. Notiamo che il fattore ek/2M che moltiplica F2(q2) e’ il momento magnetico del nucleone ( k e’ il “momento magnetico anomalo”: misura il rapporto tra il momento magnetico del nucleone e quello e/2M di una particella point-like di spin ½ come l’ elettrone).

In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, l’interazione (1.10) tra una corrente e il 4-potenziale: (1.10) si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Cio’ discende dalla eguaglianza (“decomposizione di Gordon” della corrente): (1.18) e dal fatto che il 2o termine in (1.18) inserito in (1.10) da’, nel limite non relativistico: dove y(2) e’ uno spinore bidimensionale, sono le matrici di Pauli; il termine a destra da’ l’interazione mB di una particella di momento magnetico m=e/2M col campo magnetico B [per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]

Se si inserisce jmhadr nell’ elemento di matrice (1.13): (ricordiamo che: ) la sezione d’urto che si ottiene e’ data dalla “formula di Rosenbluth”: (1.19) dove ora M e’ la massa del nucleone.

E’ utile introdurre le combinazioni lineari: (1.20) che sono, come vedremo, interpretabili come ‘fattori di forma’ magnetico ed elettrico del nucleone: esse sono la trasformata di Fourier delle distribuzioni di carica elettrica e di momento magnetico nel nucleone. La formula di Rosenbluth viene riscritta: (1.19’)

Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, il momento trasferito e’ determinato dalla misura dell’ energia E’ dell’ elettrone diffuso e dall’ angolo di diffusione: E’ e- q E M Nel “diagramma di Rosenbluth” costruito selezionando dati a q2 fissato: [ da: Perkins fig.6.4] la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico GM(q2) al valore scelto di q2; dall’ intercetta A(q2) si determina GE(q2).

Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione, da questi ultimi e’ possibile ottenere la sezione d’urto su neutroni: e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone. GE,Mp,n(q2) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti [vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965] 2.79 [da: Burkam-Jobes Fig.12.8] 2.0 GMp 1.0 GMn/(1.91) GEp GEn

Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo: (1.21) dove il fit ai dati sperimentali da’: m2= 0.71 GeV2 e le quantita’: misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone: [ (1.22) e’ il ‘magnetone nucleare’, momento magnetico di una particelle di Dirac point-like di massa mN ; si ricordi che il “magnetone di Bhor” vale:

Come detto, GE e GM sono i ‘fattori di forma’ elettrico e magnetico del nucleone, sono cioe’ in relazione con la sua distribuzione di densita’ di carica elettrica e di momento magnetico . Osserviamo infatti che dalla (1.20): e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19’), per q2  0 : (1.23) A bassi q2( basse velocita’), l’ elettrone ‘vede’ solo il potenziale elettrostatico (la parte magnetica e’ trascurabile), ossia nell’ ampiezza di scattering possiamo porre: con

F(x) non dipende dal tempo dove: Utilizzando l’ integrazione per parti: e l’ eq. di Poisson per il potenziale: ( r e’ la densita’ di carica elettrica)

Inserendo in Tif tale espressione si ottiene: con: Se inserisce questa espressione di Mif nel calcolo della sezione d’urto: si ottiene: (1.24)

e confrontando con (1.23) si vede che: (1.25) ossia il fattore di forma elettrico GE(q2) e’ la trasformata di Fourier della densita’ di carica elettrica er(r) del nucleone. Sperimentalmente, abbiamo visto che : Con m2=0.71 GeV2; questo risultato puo’ essere direttamente messo in relazione con le dimensioni del nucleone. Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica: (la costante di normalizzazione e’ A=m3/8p, imponendo: ) Dalla (1.25) si ha: -dcosq

con: In definitiva, inserendo si ottiene: dove per brevita’ negli integrali si e’ sempre inteso q=|q| e quindi q2= |q|2 >0; nell’ espressione con q2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito q=(k’-k): q2 -2kk’=-|q|2 <0, e quindi le due espressioni coincidono.

Il valore m2=0.71 GeV2 e’ quindi legato al “raggio” R della distribuzione di carica: (vedi Es. 1.5) Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico del protone e’ dell’ ordine di qualche frazione di Fermi. Piu’ precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzione di carica e’: SLAC, Hofstadter e collab. =(4!) / m5

Es.1.1: variabile s di Mandelstam
essendo ECM=2p per me, mq << E e- In un esperimento su taghetta fissa: pq=(m,0) e- pe’ pe Ad esempio, negli esperimenti a SLAC: Ee=20 GeV, m= mN=0.94 GeV ECM  6 GeV Ad un collisore con fasci “simmetrici” invece: ECM = 2 Ebeam (esempio: LEP1 ,2 : Ebeam:44-47 GeV, GeV; Tevatrone: 0.9 TeV ); con fasci asimmetrici di energie E1, E2 : (esempio: collisore e-p HERA (Desy,Amburgo): Ee=27.5 GeV, Ep=920 GeV  ECM  320 GeV ) pq’ pq

Es.1.2: momento trasferito e angolo di scattering
Dimostrare che: E’ e- q E M Si ha: angolo di scattering nel laboratorio

Es.1.3: formula di Mott Dimostrare che:
Utilizzando la conserv. del 4-impulso: p’= p+q = p + k - k’ , si ha: q2=(k-k’)2  -2kk’  0  0 Nel laboratorio: p=( M, 0) k=( E , k) k’=(E’, k’)

Es.1.3: formula di Mott (cont.)
Allora: [es. 1.2] [si osservi: ] In definitiva:  0

Es.1.4: energia dell’ elettrone uscente nello scattering elastico e-p
Dimostrare: Abbiamo visto che [es. 1.3]: Allora: Esperimento a SLAC: E= 401 MeV, q=75o M=939 MeV (targhetta di idrogeno)  E’ = 305 MeV [Hofstadter e collab., 1956]

Es.1.5: raggio del nucleone
Ricordiamo che in “unita’ naturali”: inoltre: Pertanto: [nota: un altro utile fattore di conversione e’ il seguente: infatti: 1 barn = cm2= m2  1 mb = m2 = 0.1 fm2 ] Allora: Come gia’ discusso:

Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford
LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione a Stanford (California) a meta’ degli anni ’50: contatore di elettroni Spettrometro su piattaforma rotante [R.Taylor,J.Friedman, W.Kendall Lectures for Nobel Prize, 1990; Rev.Mod.Phys63 (1991),573]

Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC)
Alla fine degli anni ’60, e’ entrato in funzione l’ acceleratore Lineare lungo 2 Miglia: Ebeam=20 GeV - l’intervallo di q2 e’ stato notevolmente esteso - si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con produzione di adroni nello stato finale) Furono realizzati 3 spettrometri dedicati per elettroni da 1.6, 8 e 20 GeV

Gli esperimenti a SLAC Spettrometri a piccola accettanza angolare
(dW 1 msterad) posizionabili a diversi angoli di diffusione (1, per E=20 GeV)

Gli esperimenti a SLAC separatore e/p Esperimenti precedenti: 1 GeV2

Gli esperimenti a SLAC (II)
Spettrometro da 20 GeV Primo uso massiccio di computer nel controllo on-line…

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