Equazioni differenziali omogenee e non omogenee :

Presentazione sul tema: "Equazioni differenziali omogenee e non omogenee :"— Transcript della presentazione:

1 Equazioni differenziali omogenee e non omogenee :
Esempi di equazioni differenziali lineari “omogenee” (del secondo ordine): Equaz.differenziali lineari “non omogenee” ( “associate” alle precedenti): “termine noto” (ºfunzione nota del tempo) funzione incognita U.Gasparini, Fisica I

2 Soluzione generale delle equazioni differenziali non omogenee :
Importante proprietà: nota una “soluzione particolare” xp (t) dell’eq. non omogenea, la sua soluzione generale è data da: y(t) = x(t) + xp (t) soluzione generale dell’ eq.omogenea associata Infatti: { U.Gasparini, Fisica I

3 Oscillatore armonico “forzato” :
Su di esso agisce una forza (aggiuntiva) nota F(t); particolare interesse ha il caso: dove si è definito: Soluzione generale: soluzione generale dell’eq.omogenea associata: moto smorzato xom (t) ® 0 t ® ¥ soluzione particolare dell’eq.non omogenea: soluzione “di regime”: x (t) ® xp (t) U.Gasparini, Fisica I t ® ¥

4 Soluzione “di regime” :
Soluzione particolare dell’eq. per un moto armonico forzato da una forza : “pulsazione forzante” ampiezza e sfasamento dipendenti da w Imponendo che xp(t) sia soluzione dell’ equazione completa (non omogenea) : U.Gasparini, Fisica I

5 Fase ( ) : Þ Þ Þ U.Gasparini, Fisica I

6 Ampiezza A() : xP (t) : ampiezza e fase del moto “a regime”
non dipendono dalle condizioni iniziali, xP (t) che determinano le costanti A , B della “parte transitoria “ del moto : xom (t) = A0 eat + B0 eb t U.Gasparini, Fisica I

7 Moto di un oscillatore forzato
da una forza : U.Gasparini, Fisica I

8 L’ampiezza dell’oscillazione forzata dipende dalla frequenza forzante :
“curva di risonanza” 100. 200. 300. 400. w (rad/s) Massimo della ampiezza : U.Gasparini, Fisica I

9 Sfasamento: 0. Lo sfasamento del moto rispetto alla forza
dipende dalla frequenza forzante: 0. Alla risonanza il moto è “in quadratura” (rispetto alla forza F(t)): U.Gasparini, Fisica I

10 La risonanza si ha solo per g < w0 : AM
Ampiezza massima: La risonanza si ha solo per g < w0 : AM U.Gasparini, Fisica I

11 Potenza fornita all’oscillatore
Potenza istantanea fornita all’oscillatore dalla forza : valor medio nullo su un periodo Potenza media su un periodo:

12 Potenza trasferita all’oscillatore:
Þ Þ La potenza media massima trasferita si ha per e vale: ( l’ampiezza massima si ha invece per ) U.Gasparini, Fisica I