interruttore di chiusura interruttore di apertura

Presentazione sul tema: "interruttore di chiusura interruttore di apertura"— Transcript della presentazione:

1 interruttore di chiusura interruttore di apertura
Interruttore ideale interruttore di chiusura per t > t0 i(t) = 0 v(t) = 0 per t < t0 v(t) + i(t) t = t0 interruttore di apertura v(t) + i(t) t = t0 per t > t0 v(t) = 0 i(t) = 0 per t < t0 Esempio: interruttore ideale di apertura i(t) t v(t) Caso reale d Per t < t0, i(t) è inderminata (dipende dal circuito) Nell’intervallo d (intervallo di apertura), v(t) , i(t) e la potenza dissipata p(t) sono diverse da zero. p(t) = v(t) i(t) = 0 Potenza dissipata Gli interruttori sono caratterizzati da: l’intervallo d (interruttori rapidi, extrarapidi, ecc.) la massima corrente e la massima tensione Per t > t0, v(t) è inderminata (dipende dal circuito)

2 Scarica del condensatore
vC (t) + i(t) vR (t) Il circuito è formato da tre componenti il condensatore C il resistore R l’interruttore, che si chiude per t = 0 Si definiscono gli istanti t = 0- (lim per t  0 da sinistra) t = 0+ (lim per t  0 da destra) Non essendo possibili discontinuità di tensione sul condensatore Si supponga che vC(t) = V0 , per t < 0 V0 condizione iniziale vC (0+) = vC (0-) = V0 Per t < 0 i(t) = 0 vC(t) = V0 vR(t) = 0 Per t > 0 , interruttore chiuso : vC (t) = vR(t) ; i(t) = A e - t / RC Calcolo dell’integrale particolare Determinazione equazione risolvente RC di(t) / dt + i(t) = 0 Risoluzione equazione risolvente i(0+) = A e - t / RC |t=0 = A Si scelga i(t) = A e a t i(t) = - C d vC (t) / dt = - C d vR(t) / dt RC A a e a t + A e a t = 0 = vC(0+) / R = V0 / R = - C d R i(t) / dt Equazione caratteristica RC a + 1 = 0 Attenzione ai segni coordinati sul condensatore i(t) = (V0 / R) e - t / RC l’integrale particolare è stato calcolato utilizzando la condizione iniziale RC di(t) / dt + i(t) = 0 a = - 1 / RC i(t) = A e - t / RC integrale particolare Equazione risolvente Integrale generale

3 Scarica del condensatore
vC (t) + i(t) vR (t) Conservazione dell’energia t < i(t) = 0 , vC (t) = V0 , vR(t) = 0 Determinazione dell’area Q della forma d’onda di corrente i(t) Per t < 0, l’energia EC immagazzinata dal condensatore è EC = ½ C V02 t > i(t) = (V0 / R) e - t / RC Si ha Q = C V0 indipendente da R e - t / t Q è la quantità totale di carica elettrica che transita nel circuito per t > 0 Per t > 0, l’energia ER assorbita dal resistore è: vC (t) = vR (t) = V0 e - t / RC ER = ½ C V02 t = RC costante di tempo L’area della forma d’onda i(t) è invariante rispetto a R EC = ER costante di tempo t in secondi ( s ) t i (t) i(t) = (V0 / R) e - t / RC |t > 0 V0 /R Dal valore di t dipende la velocità di decadimento della tensione e della corrente t i (t) i(t) = (V0 / R) e - t / RC |t > 0 al variare di R V0 /R Q = i(t) dt ER = R i2(t) dt - t vR (t) V0 t vC (t) V0 grandi valori di t t vC (t) piccoli valori di t = (V0 /R ) e – t / RC dt V0 R minore = R (V0 /R )2 e – 2 t / RC dt R = 10 MW, C = 1 mF, t = 104 s R maggiore t = [ - C V0 e – t / RC ] (più di 2 ore e 45 minuti) Q = [ - ½ C V0 2 e – 2 t / RC ] R = 10 W, C = 10 pF, t = s = 100 ps = C V0 = ½ C V0 2

4 Analisi nel dominio del tempo
Il metodo è detto analisi nel dominio del tempo perché tutte le grandezze elettriche considerate sono funzioni del tempo e le equazioni differenziali utilizzano il tempo come variabile indipendente Nel caso della scarica del condensatore è presente un solo interruttore che si chiude per t = 0 C R t = 0 V0 + Metodo di analisi di un circuito contenente interruttori: determinare l’equazione differenziale risolvente L’ordine dell’equazione differenziale risolvente è detto ordine del circuito (il circuito RC è un circuito del primo ordine). L’ordine di un circuito non è mai maggiore della somma del numero dei condensatori e degli induttori presenti L’analisi è effettuata considerando i seguenti intervalli sull’asse dei tempi: Intervallo t < 0 . In questo intervallo l’analisi è banale, essendo il circuito aperto b) determinare l’integrale generale L’integrale generale dipende da un numero di costanti arbitrarie pari all’ordine del circuito Intervallo 0 - < t < In questo intervallo l’analisi è banale, poiché la condizione iniziale V0 non subisce variazioni alla chiusura dell’interruttore In presenza di interruttori è spesso necessario suddividere l’asse dei tempi in più tratti contigui ed effettuare analisi indipendenti Intervallo t > 0 . In questo intervallo l’analisi è effettuata per mezzo di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine. determinare l’integrale particolare Le costanti arbitrarie presenti nell’espressione dell’integrale generale devono essere calcolate in funzione delle condizioni iniziali (scelte fra le tensioni iniziali dei condensatori e le correnti iniziali degli induttori) In circuiti più complessi le analisi per t < 0 e per 0 - < t < 0+ possono risultare non banali. L’analisi nell’intorno di t = 0 nasce dal fatto che, quando scattano gli interruttori, il circuito si modifica e le grandezze elettriche possono cambiare istantaneamente

5 Funzione gradino unitario
definizione u-1(t) = 0 per t < 0 1 per t > 0 u-1(t) t 1 Schemi equivalenti che utilizzano il gradino unitario il gradino unitario è una funzione discontinua utile per analizzare circuiti contenenti interruttori, evitando di suddividere l’asse dei tempi in più tratti separati Notazione generatore di corrente attivato per t = 0 In molte applicazioni lo schema di sinistra può essere sostituito con il seguente vg(t) + B A t = 0 vg(t) + B A t= 0 ig(t) B A t = 0 Per il gradino unitario è usato il simbolo u-1(t) perché questa funzione fa parte di un insieme numerabile di enti matematici, indicati con il simbolo uk(t) (che verranno definiti in seguito) vg(t) u-1(t) + B A generatore di tensione attivato per t = 0 ig(t) u-1(t) B A la funzione u-1( t ) non è definita per t = 0 In altre trattazioni sono spesso usate notazioni differenti

6 Funzione gradino unitario
Rappresentazione di funzioni discontinue mediante gradini unitari t f (t ) t0 A t f (t ) Funzione di tipo sinusoidale con inizio per t = 0 t f (t ) T A B Si determini l’equazione r(t) della retta r La funzione f(t) rappresenta un impulso di ampiezza A e durata T t f (t ) A T Attenzione: in tutte le applicazioni è essenziale distinguere la funzione f(t) [ andamento sinusoidale per ogni t ] dalla funzione f0 (t) [ = 0 per t < 0 ] f(t) = A [u-1( t ) - u-1( t - T )] t g( t ) Prodotto di un gradino traslato per una funzione g(t) t g(t ) Si può disattivare la funzione g(t) per t > t0 Gradino di ampiezza A, traslato all’istante t0 La funzione f(t) si può esprimere nel modo seguente f(t) = [(A – B) t / T+ B] [u-1( t ) - u-1( t - T )] La funzione f(t) ha la seguente espressione f(t) = A u-1(t - t0 ) f(t) = g(t) u-1(t - t0 ) Infatti per t < : u-1( t ) = 0; u-1( t - T ) = 0; f(t) = 0 per 0 < t < T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 0; f(t) = r(t) per t > T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 1; f(t) = 0 Infatti per t < : u-1( t ) = 0; u-1( t - T ) = 0; f(t) = 0 per 0 < t < T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 0; f(t) = A per t > T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 1; f(t) = 0 r(t) = (A – B) t / T+ B f0(t) = f(t) u-1( t ) f0(t) = F cos (w t + j ) u-1( t ) f(t) = F cos (w t + j ) Infatti per t < t u-1( t - t0 ) = 0 ; f(t ) = A per t > t u-1( t - t0 ) = 1 ; f(t) = 0 Essendo presenti due discontinuità ( per t = 0 e per t = T ) , sono necessari due gradini unitari La funzione g(t ) è attivata per t > t0 f(t) = A [1 - u-1( t - t0 )] f(t) = A [1 - u-1( t - t0 )] f(t) = g(t) [1 - u-1( t - t0 )] f(t) = r(t) [u-1( t ) - u-1( t - T )] t f(t ) t0 f0(t) = F cos (w t + j ) u-1(t) t f0 (t ) t f (t ) A t0 f(t) = A u-1(t - t0 ) t f (t) t0 f(t) = g(t) u-1(t - t0 ) r(t) = (A – B) t / T+ B r(t) = a t + b r(t) = a t + b | t = 0 = B r r(t) = a t + b | t = T = A t0 b = B ; a = (A - B) / T t0

7 Approssimante dell’impulso unitario
Approssimanti La funzione u-1(t ) non può essere usata senza particolari accorgimenti nell’analisi dei circuiti elettrici, in quanto non è derivabile per t = 0. In tutti gli altri istanti, u-1(t ) è derivabile con derivata nulla. Esempio di u-1,e (t ) Esempio di u-1,e (t ) Approssimante dell’impulso unitario u0,e (t ) = d u-1,e (t ) / dt t u-1,e ( t ) u0,e ( t ) t u-1,e ( t ) 1 e Approssimante dell’impulso unitario u0,e (t ) = d u-1,e (t ) / dt Approssimante di u-1(t ) C R t = 0 V0 + i(t) derivabile per ogni t lim u-1,e (t ) = u-1 (t ) e 0 per t < 0 1 per t > e t /e per 0 < t < e u-1, e (t) = u-1,e (t ) t u-1,e ( t ) u0, e (t) = 0 per t < 0 (1 /e )e-t /e per t > 0 1 0 per t < 0 1 – e-t /e per t > 0 u-1, e (t) = u0, e (t) = 0 per t < 0 e t > e 1 /e per 0 < t < e Nella scarica del condensatore, l’andamento della corrente i(t) è una approssimante dell’impulso con e > 0 Esempio: induttore iL(t) = u-1(t) corrente vL(t) = L d iL(t)/dt tensione risulta: per t = 0, vL(t) = 0 per t = 0, vL(t) non calcolabile / i(t ) = 0 per t < 0 (V0 /R )e - t /RC per t > 0 t u-1,e ( t ) 1 e Definizione t u0,e ( t ) 1/ e e 1/ e 1 Approssimante dell’impulso unitario u0,e (t ) = d t d u-1,e (t ) Per ogni e , l’area A è uguale a 1 A e decrescente e decrescente Per ogni e , l’area A è uguale a 1 A (V0 /R ) e - t /RC = (C V0 /e ) e - t /e con e = RC Si tratta dell’approssimante dell’impulso unitario moltiplicata per C V0

8 impulso unitario o impulso di Dirac
Poiché l’integrale di u0(t) non varia per T < 0 e per T > 0, risulta: Per il gradino u-1 (t ) = lim u-1,e (t ) e - u0(t) dt = 1 Affinché risulti l’impulso di Dirac è definito nell’ambito di una teoria matematica, detta teoria delle distribuzioni. impulso unitario o impulso di Dirac u0 (t ) Al crescere di t , la variazione del valore dell’integrale avviene in un intorno infinitesimo dell’origine u0(t) = 0 per t < 0 u0(t) = 0 per t > 0 Tale teoria è un’estensione della teoria delle funzioni, in cui risultano modificate opportunamente le definizioni di derivata e di integrale Per l’impulso u0 (t ) = lim u0,e (t ) e (integrale nel senso delle distribuzioni) L’integrale di u0(t) è effettuato nel senso delle distribuzioni t u0(t) impulso di Dirac Proprietà fondamentale delle funzioni u0,e (t) Definizione Nell’ambito della teoria delle distribuzioni, l’impulso unitario u0(t) è definito dalla seguente relazione L’impulso di Dirac è rappresentato come una funzione nulla, con una discontinuità nell’origine. - u0, e (t) d t = 1 lim e - u0, e (t) d t = 1 per ogni e > 0 , e quindi 1 Questa proprietà non è soddisfatta dall’impulso unitario u0 (t). Infatti : La discontinuità è caratterizzata dal valore dell’integrale, che è uguale a 1 - T u0(t) dt = 0 per T < 0 1 per T > 0 - u0(t) dt = lim e - u0, e (t) d t = 0 Tale valore non è l’altezza dell’impulso Questo risultato non è soddisfacente per le applicazioni

9 Impulso unitario h(t) = A u0(t - t0 ) h(t) = f(t) u0(t - t0 )
Alcune proprietà dell’impulso unitario u0(t) t h(t ) Prodotto di un impulso traslato per una funzione f(t) t h(t ) Prodotto di un impulso u0 (t) per un gradino u-1(t) Impulso di ampiezza A, traslato all’istante t0 h(t) = A u0(t - t0 ) h(t) = f(t) u0(t - t0 ) h(t) = u-1(t ) u0(t ) t u-1(t ) Estensione della definizione di gradino h(t) è un impulso di ampiezza ½ h(t) è un impulso Per determinare l’ampiezza non si può usare l’espressione u-1(t ) u0(t ) = u-1(0) u0(t ) perché il gradino non è definito per t = 0 L’ampiezza A è il valore dell’integrale, nel senso delle distribuzioni, in un intorno di t0 u-1(t ) u0(t ) dt = d f(t) u0(t - t0 ) = f(t0) u0(t - t0 ) h(t) è un impulso di ampiezza ½ di ampiezza f (t0 ) f(t0 ) in particolare f(t) u0(t ) = f(0) u0(t ) t h(t ) A h(t) = A u0(t - t0 ) t0 h(t) = u-1(t ) u0(t ) h(t) = f(t) u0(t - t0 ) t0 A u0(t - t0 ) dt = A d f(t) u0(t - t0 ) dt = f(t0) d d è un qualunque intervallo [anche infinitesimo] comprendente t0 u-1(t ) d u-1(t ) = d u-1 ( t ) = 0 per t < 0 1 per t > 0 a b = ½ [ u-12(t ) ] = u-1(t ) f(t) ½ per t = 0 d d è un qualunque intervallo [anche infinitesimo] comprendente l’origine d è un qualunque intervallo [anche infinitesimo] comprendente t0 in questo modo si ha: h(t) = u-1(t ) u0(t ) = u-1(0 ) u0(t ) = 1/2 u0(t )

10 Esempio + Q + V0 C R i(t) t i (t) V0 /R
i(t) = (V0 / R) e - t / RC u-1 (t) Q ; Q = CV0 EC = ½ CV02 assorbita da R Questa soluzione vale per ogni valore di R , ma non per R = 0 C t = 0 i(t) V0 + v(t) t v (t) t i (t) i(t) = C V0 u0(t) I Sono presenti due componenti ideali: il condensatore e l’interruttore I v(t) = V0 [1 – u-1(t)] Q = C V0 Q V0 EC = ½ CV02 assorbita da I Energia assorbita dall’interruttore Questa soluzione, congrua con la precedente, vale solo nell’ambito della teoria delle distribuzioni. EI = p(t) dt = v(t) i(t) dt = i(t) = - C dv/dt = - C d V0 [1 – u-1(t)] /dt L’analisi del circuito è possibile solo nell’ambito della teoria delle distribuzioni, utilizzando il gradino u-1(t) e l’impulso u0(t) i(t) = C V0 u0(t) effettuando la derivata di u-1(t) nel senso delle distribuzioni = V0[1 – u-1(t)] CV0 u0(t) dt = CV02 [1 – ½ ] = ½ CV02 Se i(t) [ o v(t) ] è impulsiva, l’interruttore ideale può assorbire energia

11 Distribuzioni successive
Derivate successive dell’impulso unitario Notazione L’impulso unitario può essere derivato infinite volte, nel senso delle distribuzioni uk(t) = d t d uk-1(t) , k = 1, 2, … Esempio: u1(t) doppietto unitario Integrali successivi del gradino ….. u-2(t) u-1(t) u0(t) u1(t) u2(t) ….. ….. rampa gradino impulso doppietto tripletto ….. Esempio: u-2(t) rampa unitaria integrazione t u0,e (t) t u1,e (t) Il gradino unitario può essere integrato infinite volte, rimanendo nell’ambito delle funzioni derivazione e 1/e e 1/e -1/e u1(t) = d u0(t) / dt distribuzioni ….. u-2(t) u-1(t) u0(t) u1(t) u2(t) ….. ….. rampa gradino impulso doppietto tripletto ….. funzioni ….. u-2(t) u-1(t) u0(t) u1(t) u2(t) ….. ….. rampa gradino impulso doppietto tripletto ….. t u-2 (t) Approssimanti u1,e (t) = d u0,e (t) / dt 1 Notazione , k = 1, 2, … u-k-1(t) = u-k(t) dt - t Al diminuire di e il doppietto è assimilabile a due impulsi di area opposta nell’intorno dell’origine nulle per t < 0 nulle per t = 0 /

12 Analisi nel dominio di Laplace
Circuiti senza memoria Circuiti privi di condensatori, induttori, induttori accoppiati Metodo della trasformata di Laplace Circuiti contenenti condensatori, induttori, induttori accoppiati Circuiti con memoria 1. Definizione 2. Trasformate elementari Analisi nel dominio di Laplace equazioni algebriche L’analisi di circuiti con memoria è simile all’analisi di circuiti senza memoria ed è molto semplificata Analisi nel dominio del tempo 3. Proprietà equazioni algebriche equazioni differenziali 4. Applicazione ai componenti elettrici L’analisi di circuiti con memoria è differente dall’analisi di circuiti senza memoria ed è molto complessa 5. Antitrasformazione

13 Trasformata di Laplace: definizione
f(t) Trasformata di Laplace 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione Notazione ò T dt F(s) = L [ f(t) ] F(s) = lim T e-s t 0 - l’estremo inferiore di integrazione è indicato con 0 - F(s) L-trasformata di f(t) Nell’analisi dei circuiti, tutte le grandezze elettriche, tensioni e correnti, sono sostituite con le rispettive L-trasformate Antitrasformata: operatore inverso, per passare da F(s) a f(t) Proprietà del limite per T f(t) : funzione di variabile reale F(s) : funzione di variabile complessa L’andamento di f(t) per t < 0 non dà contributo all’integrale, perché i tempi negativi sono esclusi dall’integrazione (trasformata unilatera). Conviene considerare f(t) = 0 per t < 0 w = Im[s] s = Re[s] piano s Notazione f(t) = L -1[ F(s) ] semipiano di convergenza a Se il limite esiste ed è finito per s = s0 allora esiste ed è finito per ogni s tale che Re[ s ] > Re[ s0 ] V(s) = L [ v(t) ] I(s) = L [ i(t) ] Notazione Con la lettera minuscola, p.es. v(t), è indicata la grandezza nel tempo, con la lettera maiuscola, p. es. V(s), la rispettiva trasformata Dimensioni V(s) = lim v(t) e-s t dt ò T Esiste una formula integrale, poco utilizzata nell’analisi dei circuiti Calcolo dell’integrale nel senso delle distribuzioni adimensionale tempo Estremo inferiore di Re[ s0 ] : ascissa di convergenza a variabile s : sec -1 (s -1) contribuiscono all’integrale eventuali impulsi, in particolare per t = 0 V(s) : volt . sec ( V s ) La variabile di Laplace s non ha un immediato significato fisico e viene considerata come una variabile complessa Se il limite non esiste o non è finito per alcun valore di s , f(t) non è L-trasformabile I(s) : ampère . sec ( A s ) analogamente Metodi operativi di antitrasformazione di Laplace saranno descritti in seguito

14 Trasformate elementari
F(s) = lim f(t) e-s t dt 0 - ò T Gradino f(t) = u-1(t) Trasformate elementari Esponenziale f(t) = e a t u-1(t) Impulso f(t) = u0(t) Antitrasformate L-1 [ ] = eat u-1(t) s-a ----- 1 L-1[ ] = u-1(t) s L-1 [1] = u0(t) 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione Trasformata di Laplace L [ u-1(t) ] = s 1 Trasformate F(s) = lim u0(t) e-s t dt 0 - ò T F(s) = lim u-1(t) e-s t dt 0 - ò T a : reale o complesso F(s) = lim u-1(t) e-s t ea t dt 0 - ò T = lim [ e-s t ]t=0 T = lim e-s t dt ò T = 1 L [eat u-1(t)] = s-a ----- 1 = lim u-1(t) e- (s-a) t dt ò T = lim [ e-s t ] T s 1 = s - a 1 per ogni valore di s L [u0(t)] = 1 = lim [ e -s T ] + T s 1 = s 1 ascissa di convergenza a = - per Re[ s - a ] > 0 ; Re[ s ] > Re[ a ] L-1[ ]= tn-1 eat u-1(t) (s-a)n ------ 1 ----- (n-1)! ascissa di convergenza a = Re [ a ] l’integrale è calcolato nel senso delle distribuzioni per Re[ s ] > 0 Queste sono le uniche trasformate di cui sarà effettuato il calcolo dell’integrale Una ulteriore antitrasformata d’interesse è la seguente : è essenziale che l’estremo inferiore di integrazione sia 0 - l’integrale è identico a quello relativo al gradino, eccetto la sostituzione di s con s-a ascissa di convergenza a = 0

15 Trasformata di Laplace: proprietà
Traslazione Linearità Derivazione 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione Trasformata di Laplace L [ f(t) ] = F(s) Se L [ f(t) ] = F(s) Se L [ f1(t) ] = F1(s) ; L [ f2(t) ] = F2(s) Se L [ d f(t) / dt ] = s F(s) – f (0 -) allora L [ c1 f1(t) + c2 f2(t) ] = c1 F1(s) + c2 F2(s) allora L [ f(t – T) ] = F(s) e-sT allora ove f (0 -) è il valore di f(t) per t = 0 - ove c1 e c2 sono due costanti reali o complesse ove f (t - T) è la f(t) traslata dell’intervallo T La proprietà di derivazione permette di sostituire operazioni differenziali nel dominio del tempo con operazioni algebriche nel dominio di s La proprietà di linearità permette di applicare il metodo delle trasformata di Laplace a tutti i circuiti (e sistemi) lineari La proprietà di traslazione è molto utile per tenere conto di ritardi nella trasmissione di segnali elettrici (è poco usata nei circuiti elementari) Sono circuiti lineari quelli contenenti componenti nei quali vi è una relazione lineare fra le grandezze elettriche. Tutti i componenti considerati in questo corso sono lineari Se f(t) presenta discontinuità, la derivata e la trasformata di Laplace devono essere applicate nel senso delle distribuzioni Molte altre proprietà della trasformata di Laplace sono omesse perché non assolutamente essenziali alla trattazione L’istante 0 - è considerato per tenere conto di eventuali discontinuità nell’origine. Nell’ambito delle funzioni si considera semplicemente f(0) Altri componenti (come il diodo) sono non lineari e allora il metodo della trasformata di Laplace non può essere applicato

16 Proprietà di derivazione: esempi
Verifica proprietà di derivazione verifica f(0-) = 0 dalla proprietà di derivazione f(t) = e t u-1(t) df(t)/dt = e t u-1(t) + e t u0(t) = e t u-1(t) + u0(t) F(s) = L[f(t)] = 1/ (s-1) L[df(t)/dt] = 1/(s-1) + 1 = s/(s-1) dalla proprietà di linearità L[df(t)/dt] = sF(s) – f(0-) = s/(s-1) Trasformate delle distribuzioni successive L[u0(t)] = 1 uk(0-) = 0 , k = 0, 1, 2, … L[uk(t)] = s L[uk-1(t)] uk(t) = d uk-1(t) / dt , k = 1, 2, … L[uk(t)] = sk

17 Proprietà di linearità: esempi
Trasformata della funzione sinusoidale f(t) = F cos (wt + j ) u-1(t) Notazione La lettera “F” ha vari significati: f (minuscolo) è la funzione del tempo f(t) F (maiuscolo) è l’ampiezza (modulo) F (maiuscolo e sottolineato) è il fasore F(s) (maiuscolo) è la trasformata di Laplace nel campo complesso f(t) = ½ (F e jwt + F* e -jwt ) u-1(t) ove F = Fe jj è il fasore di f(t) f(t) = Re[ F e jwt ] u-1(t) , con F = Fe jj F(s) = Re[ F /(s - jw) ] F(s) = ½ [F /(s - jw) + F*/(s + jw) ] = F (s cos j - w sin j ) /(s2 + w2) L[e + jwt u-1(t)] = 1/(s jw) + dalle trasformate elementari F(s) = ½ [F /(s - jw) + F*/(s + jw) ]; ove l’operatore Re[.] è applicato considerando s reale F = Fe jj = F (cos j + j sin j ) F(s) = F Re[(cos j + j sin j ) /(s - jw) ] = dalla proprietà di linearità F(s) = L[f(t)] = ½ [F /(s - jw) + F*/(s + jw) ] F(s) è una funzione razionale (rapporto fra polinomi) a coefficienti reali F(s) = ½ F[(cos j + j sin j ) /(s - jw) + (cos j - j sin j ) /(s + jw) ] = = F Re[(cos j + j sin j ) (s + jw) ] /(s2 + w2) F(s) è detta razionale reale, perché assume valori reali per s reale = ½F[(cos j + j sin j )(s + jw) + (cos j - j sin j )(s - jw) ]/(s2 + w2) = (è sufficiente calcolare i termini reali del prodotto) F(s) è anche espressa come somma di due funzioni complesse coniugate, per s reale L’espressione trovata può essere considerata soddisfacente in vari casi Tuttavia è possibile sviluppare ulteriormente i calcoli = F (s cos j - w sin j ) /(s2 + w2) F(s) = F (s cos j - w sin j ) /(s2 + w2) Sulla base di queste osservazioni, i calcoli precedenti possono essere semplificati

18 Proprietà di traslazione: esempi
f(t) = A [ u-1(t) - u-1(t-T)] Trasformata della funzione f(t) = A S [(-1)k u-1(t – k T)] k=0 La forma d’onda è costituita dalla somma di infiniti gradini alternativamente positivi e negativi, di ampiezza A e traslati dell’intervallo di tempo T l’uno rispetto all’altro t f(t) T A F(s) = A (1 - e-sT)/s dalle proprietà di traslazione e di linearità : Dalle proprietà di traslazione e linearità : F(s) = (A/s) S [(-1)k e –k sT ] k=0 = 1 – x + x2 – x3 + x4 - … 1 + x 1 = Si ricordi che L’impulso di ampiezza A e durata T può essere replicato indefinitamente, ottenendo un’onda quadra. Tale funzione è nulla per t < 0 s ( 1 + e – sT ) A = t f(t) T 2T 3T 4T 5T A

19 Bipoli nel dominio di Laplace
Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo + v(t) i(t) bipolo nel dominio del tempo Trasformate di Laplace di tensione e corrente Indicando le trasformate invece delle grandezze nel tempo si ottiene il bipolo nel dominio di Laplace + V(s) I(s) bipolo nel dominio di Laplace 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione Trasformata di Laplace L [ v(t) ] = V(s) ; L [ i(t) ] = I(s) Si definisce un istante iniziale, tipicamente t = 0 All’istante t = 0- sono assegnate le condizioni iniziali tensione: v(t) in Volt (V) ; V(s) in Volt.sec (V.s) corrente: i(t) in Ampère (A) ; I(s) in Ampère.sec (A.s) Il bipolo nel dominio di Laplace è utilizzato solo a scopi di calcolo Nel bipolo reale le grandezze elettriche sono sempre funzioni del tempo

20 + Resistore + V(s) = R I(s) L [ v(t) ] = L [ R i(t) ]
v(t) = R i(t) Nel dominio del tempo Resistore Nel dominio di Laplace V(s) = R I(s) + R v(t) = R i(t) L [ v(t) ] = L [ R i(t) ] per la linearità L [ v(t) ] = R L [i(t) ] V(s) = R I(s)

21 Caso particolare condizione iniziale nulla: i(0 -) = 0
+ v(t) = L d i(t) / d t L Nel dominio del tempo Induttore A B b a Nel dominio di Laplace Caso particolare condizione iniziale nulla: i(0 -) = 0 V(s) = s L I(s) – L i(0 -) i(0 -) condizione iniziale caso generale : i(0 -) = 0 / v(t) = L d i(t) / d t V(s) = s L I(s) sL + L i(0 -) L [ v(t) ] = L [L d i(t) / d t ] I(s) + V(s) = sL I(s) sL V(s) + per le proprietà di linearità e di derivazione L [ v(t) ] = L [s L [ i(t) ] - i(0 -)] Equivalenza: dominio del tempo : bipolo ab dominio di Laplace: bipolo AB completo Li(0 -) tensione impressa del generatore, con segno positivo a destra s L impedenza V(s) = s L I(s) – L i(0 -) V(s), I(s) grandezze elettriche esterne

22 Induttore: schemi equivalenti
sL + L i(0 -) V(s) I(s) A B Dominio di Laplace i(0 -) L b a i(t) v(t) Dominio del tempo Dominio del tempo L + L i(0 -) u0(t) i(t) A B i(0 -) u-1(t) v(t) + i(t) A B L i(0 -)/s Si ricordi che L-1[L i(0-)] = L i(0-)u0(t) L-1[i(0-)/s] = i(0-) u-1(t) vg + R ig Equivalenza fra generatori vg / R = ig V(s) + I(s) A B Queste espressioni permettono di interpretare nel dominio del tempo gli schemi equivalenti dell’induttore La corrente impressa dal generatore di corrente è pari a L i(0 -) / sL = i(0 -) / s In questi schemi equivalenti, gli induttori sono considerati con condizioni iniziali nulle l’impedenza sL svolge lo stesso ruolo della resistenza R

23 Caso particolare condizione iniziale nulla: v(0 -) = 0
i(t) = C d v(t) / d t Nel dominio del tempo C + Condensatore bipolo ab bipolo AB completo A B a b Nel dominio di Laplace Caso particolare condizione iniziale nulla: v(0 -) = 0 I(s) = s C V(s) – C v(0 -) v(0 -) condizione iniziale caso generale : v(0 -) = 0 / i(t) = C d v(t) / d t I(s) = s C V(s) I(s) = sC V(s) 1/sC + C v(0 -) V(s) + I(s) 1/sC L [ i(t) ] = L [C d v(t) / d t ] per le proprietà di linearità e di derivazione L [ i(t) ] = C [s L [ v(t) ] - v(0 -)] s C ammettenza 1/sC impedenza I(s) = s C V(s) – C v(0 -) V(s), I(s) grandezze elettriche esterne

24 Condensatore: schemi equivalenti
Dominio del tempo C v(0 -) u0(t) v(t) + i(t) C A B Dominio di Laplace Dominio del tempo v(t) C + i(t) v(0 -) b a C v(0 -) V(s) I(s) 1/sC A B Si ricordi che L-1[C v(0-)] = C v(0-)u0(t) L-1[v(0-)/s] = v(0-) u-1(t) vg + R ig Equivalenza fra generatori vg= R ig C v(t) + i(t) A B v(0 -) u-1(t) 1/sC V(s) + I(s) A B + v(0 -)/s Queste espressioni permettono di interpretare nel dominio del tempo gli schemi equivalenti del condensatore La tensione impressa dal generatore di tensione è pari a C v(0 -) / sC = v(0 -) / s In questi schemi equivalenti, i condensatori sono considerati con condizioni iniziali nulle l’impedenza 1/sC svolge lo stesso ruolo della resistenza R

25 Esempio: circuito RC A a + I(s) C + v0 /s R v0 R i(t) 1/sC b
circuito nel dominio di s 1/sC R v0 /s + A B a b I(s) i(t) v0 + v0 condizione iniziale Il bipolo completo fra i morsetti AB è l’equivalente del condensatore nel dominio del tempo, inclusa la condizione iniziale analisi nel dominio di s I(s) (R + 1/sC) = v0 /s antitrasformazione i(t) = L-1[I(s)] = I(s) (sRC + 1)/C = v0 I(s) = v0 C/(sRC + 1) = L-1[(v0 /R)/(s + 1/RC)] = I(s) = (v0 /R)/(s + 1/RC) = (v0 /R) e –t /RC u-1 (t)

26 Esempio: circuito RCC A + V(s) + a + v0 B b R C C1 t = 0 dominio di t
condizioni iniziali R 1/sC 1/sC1 C v0 dominio di s v (t) v0 C/(C+C1 ) v0 vc(t) = v e-t/R(C + C1 ) |t > 0 C + C1 C vc(t) = v0 |t < 0 t vc(t) A B a b il condensatore C equivale all’intero bipolo a sinistra dei morsetti AB V(s) + v(t) + condensatore C : v0 condensatore C1 : 0 analisi nel dominio di s v (t) v0 C/(C+C1 ) v(t) = v e-t/R(C + C1) u-1 (t) C + C1 C t C C1 /(C+C1 ) condensatore serie (condensatore visto dall’interruttore) La costante di tempo è : t = R (C + C1 ). C + C1 condensatore parallelo (condensatore visto dalla resistenza R dopo la chiusura dell’interruttore) Bilancio energetico antitrasformazione C1 C C C1 /(C+C1 ) t < 0 : E0 = ½ C vo2 v(t) = L-1[V(s)] V(s) (sC + s C1 + 1/R) = C v0 t = 0+ : E1 = ½ C [vo C/(C+C1 )] 2 + + ½ C1 [vo C/(C+C1 )] 2 = V(s) = C v0 / (sC + s C1 + 1/R) da L-1[1/(s+a)] = e-at u-1(t) e dalla proprietà di linearità = ½ C vo2[C/(C+C1 )] < E0 EP è pari all’energia immagazzinata dal condensatore serie, carico alla tensione iniziale v0 V(s) = v0 C + C1 C R(C + C1 ) 1 s + C+C1 C1 C Energia perduta EP = E0 - E1 = ½ C vo2 [1 - C/(C+C1 )] = = ½ vo2 [C C1 /(C+C1 )] EP è assorbita dall’interruttore, per t=0 v(t) = v e-t/R (C + C1) u-1 (t) C + C1 C E1 è assorbita dal resistore, per t>0

27 Esempio: circuito RL + + I(s) (sL + R) = v0 /s i(t) = L-1[I(s)] = R
dominio di t L dominio di s R + v0 /s sL i(t) i(t) = 0 | t < 0 I(s) analisi nel dominio di s i (t) t v0 /R i(t) = (v0 /R) (1 - e – t L/R ) u-1 (t) antitrasformazione I(s) (sL + R) = v0 /s Costante di tempo t = R / L i(t) = L-1[I(s)] = I(s) = [v0 / L]/[s (s + R/L)] = L-1[(v0 / R) / s - (v0 / R) / (s + R/L)] Per antitrasformare I(s) si pone I(s) = A/s + B /(s + R/L) Per la proprietà di linearità i(t) = (v0 /R) (1 - e – t L/R ) u-1 (t) Risulta A (s + R/L)] + B s = v0 / L A = v0 / R ; B = - v0 / R

28 Metodo delle Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace
Antitrasformazione Metodo delle Trasformata di Laplace 1. Definizione 2. Trasformate elementari 3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti elettrici 5. Antitrasformazione Trasformata di Laplace Per i componenti R, L, C, utilizzare i circuiti equivalenti Per i generatori, calcolare la trasformata delle grandezze impresse 1. Dal circuito nel dominio del tempo determinare il circuito nel dominio di Laplace 2. Risolvere il circuito nel dominio di Laplace Tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) sono funzioni di s 3. Antitrasformare le grandezze di interesse per ottenere le relative funzioni del tempo Le funzioni di s da antitrasformare sono funzioni razionali (rapporto di polinomi) nella variabile s F(s) = N(s) D(s)

29 Funzioni razionali: notazioni
F(s) = N(s) D(s) funzione razionale nella variabile complessa s N(s) = S bk sk = P (s - zk ) k=0 m k=1 polinomio a numeratore di grado : gr [N] = m zk radici di N(s) ; zeri di F(s) k=0 D(s) = S ak sk = P (s - pk ) n k=1 polinomio a denominatore di grado : gr [D] = n pk radici di D(s) ; poli di F(s) F(s) funzione razionale reale nella variabile complessa s F(s) reale per s reale : coefficienti ak e bk reali F(s) funzione razionale propria : m = gr [N] < n = gr [D] F(s) funzione razionale impropria : m = gr [N] > n = gr [D] s0 polo di F(s) se pk radici di D(s) se gr [N] > gr [D] lim F(s) = s s0 poli di F(s)

30 Caso di funzioni razionali proprie
F(s) = N(s) D(s) Ipotesi: funzione razionale reale propria, con poli pk semplici: radici di D(s) distinte F(s) = N(s) D(s) Sviluppo in frazioni parziali = S k=1 n s - pk ck ck residuo di F(s) sul polo pk Calcolo dei residui = N (s) Dk(s) s = pk (s – pk ) lim s pk F(s) ck = (s – pk ) lim s pk F(s) ck = S k=1 n s - pk ck F(s) = (s – ph ) polo ph lim s ph S k=1 n s - pk ck (s – ph ) S k=1 n lim s ph Antitrasformazione Nota: il termine (s - pk ) è un fattore del polinomio D(s) D(s) = (s - pk ) Dk(s), ove Dk(s) è pari a D(s) privato del fattore (s - pk ) = per k  h = ch per k  h { f(t) = L-1 [ F(s) ] = S k=1 n k ck e p t u-1(t) ck = N (s) Dk(s) s = pk = ch da L-1[1/(s-a)] = eat u-1(t) e dalla proprietà di linearità

31 Caso di funzioni razionali proprie
F(s) = N(s) D(s) Ipotesi: funzione razionale reale propria, con poli multipli: radici di D(s) coincidenti F(s) = N(s) D(s) Sviluppo in frazioni parziali Lo sviluppo in frazioni parziali nel caso di poli multipli (noto anche come sviluppo di Hermite) è piuttosto complesso. Per l’algoritmo si rimanda al libro di testo Antitrasformata Si ricorda che: L-1[ ]= tn-1 eat u-1(t) (s-a)n ------ ----- (n-1)! 1 caso di un polo di ordine n caso di un polo di ordine 2 L-1[ ]= t eat u-1(t) (s-a)2 ------ 1

32 Esempio di antitrasformazione
F(s) = s + 1 s3 + 5s2 + 6s s + 1 s (s+2)(s+3) = 1 2(s+2) 6s 2 3(s+3) = Antitrasformata Sviluppo in frazioni parziali F(s) = s + 1 s (s+2)(s+3) f(t) = 1 6 2 3 [ e-2t e-3t ] u-1(t) s3 + 5s2 + 6s = Fattorizzazione del denominatore B s+2 A s C s+3 = s0 = 0; s1 = -2; s2 = -3 Poli di F(s) andamento f(0+) = 1/6 + ½ - 2/3 = 0 f( ) = 1/6 A = s F(s)|s=0 = s + 1 (s+2)(s+3) s=0 w = Im[s] s = Re[s] piano s x -2 -3 poli = s(s2 + 5s + 6) = f(t)max per -2(1/2) e –2t + 3(2/3) e –3t = 0 = 1/6 - e –2t + 2 e –3t = 0; e t = 2; t = ln 2 = 0.69 = s(s + 2)(s + 3) f(t)max = f(0.69) = 0.21 > 1/6 B = (s+2) F(s)|s= -2 = s + 1 s(s+3) s= -2 = 1/2 s2 + 5s + 6 = 0 Radici di s1,2 = ½ ( – ) = ½ (-5 + 1) . f(t) t 0.69 1/6 C = (s+3) F(s)|s= -3 = s + 1 s(s+2) s= -3 = -2/3

33 Esempio di antitrasformazione
F(s) = s s2 + 2s + 5 s (s+1-2j)(s+1+2j) = ½ + ¼ j s+1-2j = ½ - ¼ j s+1+2j Sviluppo in frazioni parziali F(s) s (s+1-2j)(s+1+2j) = Antitrasformata f(t) = [ (½+ ¼ j)e(-1+2j)t  (½ - ¼ j)e(-1-2j)t ] u-1(t) Antitrasformata f(t) = 1.12 e-t cos(2t ) u-1(t) A s+1-2j = B s+1+2j complessi coniugati per ogni t s2 + 2s + 5 = Fattorizzazione del denominatore s1 = -1+2j; s2 = -1-2j Poli di F(s) Andamento f(t) t -1.12 1.12 polo : -1 +2j ; residuo A = ½ + ¼ j A = (s+1-2j)F(s)|s= -1+2j = s s+1+2j s= -1+2j = w = Im[s] s = Re[s] piano s x -1 2 poli -2 B = A* = (s + 1-2j)(s + 1+2j) f(t) = 2 Re[(½+ ¼ j)e(-1+2j)t ] u-1(t) = polo : j ; residuo B = ½ - ¼ j = ½ + ¼ j -1+2j 4j = 1 = e-t Re[(1+ ½ j)e2jt ] u-1(t) = 1+ ½ j = = 1.12 e0.46 j In generale: per ogni funzione razionale reale (cioè a coefficienti reali), a poli complessi coniugati corrispondono residui complessi coniugati = 1.12 e-t Re[e j(2t+0.46) ] u-1(t) = s2 + 2s + 5 = 0 s1,2 = – 5 = j Radici di B = (s+1+2j)F(s)|s= -1-2j = s s+1-2j s= -1-2j = = 1.12 e-t cos(2t ) u-1(t) = ½ - ¼ j -1-2j -4j =

34 Caso di funzioni razionali improprie
F(s) = N(s) D(s) Ipotesi: funzione razionale reale impropria gr [N] > gr [D] Divisione fra polinomi F(s) = = Q(s) + N(s) D(s) R(s) Q(s) = S qk sk k=0 gr[Q] : polinomio quoziente grado : gr [Q] = gr [N] - gr [D] R(s) : polinomio resto grado : gr [R] < gr [D] funzione razionale propria Antitrasformazione f(t) = L-1 [ F(s) ] = da L-1[sk] = uk(t) e dalla proprietà di linearità L-1 [ S qk sk ] + L-1 [ ] = k=0 gr[Q] R(s) D(s) Le funzioni razionali improprie possono essere antitrasformate solo nell’ambito della teoria delle distribuzioni S qk uk(t) + L-1 [ ] k=0 gr[Q] R(s) D(s)

35 Esempio di antitrasformazione
F(s) = s + 1 s2 + 3s + 5 = s + 2 + s + 1 3 s1 = -1 ; s2 = Poli di F(s) Divisione fra polinomi N(s) = s2 + 3s + 5 D(s) = s + 1 s2 + 3s + 5 s + 1 s2 + s s + 2 2s + 5 Q(s) = s + 2 R(s) = 3 2s + 2 3 F(s) = = Q(s) + N(s) D(s) R(s) = s + 2 + s + 1 3 Antitrasformata f(t) = u1(t) + 2 u0(t) + 3 e-t u-1(t)

36 Poli complessi coniugati: -1+j ; -1-j
Esempio: circuito RLC Vu(s) vu(t) + dominio di t L + R C V u-1(t) sL + R 1/sC V/s dominio di s condizioni iniziali nulle Poli di Vu(s) Analisi nel dominio di s Vu = RC V s2 + s/(RC) + 1/(LC) 1 R= 1/4 ; L = 1/4 ; C =1 R= 1/2 ; L = 1/2 ; C =1 Esempio : R= 1/3 ; L = ½ ; C =1 Vu (sC + 1/sL) + (Vu - V/s)/R = 0 s2 + s/(RC) + 1/(LC) = 0 Radici di Vu = 2V s2 + 2 s + 2 1 Vu = 3V s2 + 3 s + 2 1 (s + 1-j) (s + 1+j) 2V = (s + 1) (s + 2) 3V = s + 1 A = s + 2 B s + 1-j A = s + 1+j A* s + 1-j -jV = s + 1+j jV s + 1 3V = s + 2 (s + 2)2 4 V = Polo reale doppio: -2 Vu = 4 V s2 + 4 s + 4 1 Vu (sC + 1/sL + 1/R) = V/(sR) D = 1/(R2 C2 ) – 4 /(LC) Discriminante Vu [s2 + s/(RC) + 1/(LC)] = V/(RC) Poli complessi coniugati: -1+j ; -1-j Poli reali distinti: -1; -2 vu(t) = 3V (e-t – e-2t) u-1(t) vu(t) t vu(t) = 2 Re [-j V e (-1+j) t ] u-1(t) vu(t) = 2 Ve- t sin t u-1(t) vu(t) t A = = -j V s + 1+j 2V s = -1+j A = = 3V s + 2 3V s = -1 vu(t) = 4 V t e-2t u-1(t) vu(t) t D > poli reali distinti D = poli reali coincidenti D < poli complessi coniugati Vu = RC V s2 + s/(RC) + 1/(LC) 1 = 2 Ve- t Re [-j e j t ] u-1(t) = s + 1 3V s = -2 B = = - 3V = 2 Ve- t Re [-j (cos t +j sin t) ] u-1(t) = 2 Ve- t sin t u-1(t)

37 Esempio: partitore R + R1 C V C1 G + G1 V s sC1 sC Vu(s)
dominio di t R + R1 C V condizioni iniziali nulle C1 t=0 dominio di s G + G1 V s Gi = 1/Ri ammettenze conduttanze sC1 sC Vu(s) Vu(s)(sC+G) + [Vu(s) – V/s](sC1+G1) = 0 Applicazioni: Vu(s) [s(C+C1)+G +G1] = (sC1+G1 ) V/s Dati i due condensatori, i resistori possono rappresentare le correnti di dispersione fra le armature. Appena applicata la tensione di alimentazione, la partizione dipende dai condensatori. Dopo il transitorio, dipende invece dai resistori di dispersione. Assegnati i due resistori e il condensatore C, parassita, la tensione vu(t) è distorta rispetto alla tensione del generatore (partitore non compensato). Ponendo C1 , tale che R1 C1 = R C , si ottiene vu(t) priva di distorsioni Vu(s) = s(C+C1 )+G +G1 sC1+G1 V s Poli : s0 = 0 ; s1 = -(G+G1 ) / (C+C1 ) Andamento vu(t) = V e u-1(t) G +G1 G1 G+G1 C+C1 C1 - -t (G +G1 ) / (C+C1 ) vu(0+) = V partizione capacitiva vu( ) = V partizione resistiva vu(t) vu( ) t Antitrasformata Vu(s) = B s+(G +G1 ) / (C+C1 ) A s G+G1 G1 C+C1 C1 B = V con e G +G1 A = V Sviluppo in frazioni parziali Vu(s) = s [s+(G +G1 ) / (C+C1 )] sC1+G1 C+C1 V = B s+(G +G1 ) / (C+C1 ) A s vu(0+) < vu( ) t vu(t) vu(0+) = vu( ) t vu(t) partitore compensato vu(t) = V e u-1(t) G +G1 G1 G+G1 C+C1 C1 - -t (G +G1 ) / (C+C1 ) A = s+(G +G1 ) / (C+C1 ) sC1+G1 C+C1 V s = 0 G +G1 G1 = V vu(0+) > vu( ) C+C1 C1 vu(0+) = V G+G1 G1 C+C1 C1 = se C+C1 V B = sC1+G1 s s = - G+G1 G+G1 V = C1+G1 C+C1 G+G1 G1 C+C1 C1 = V partizione capacitiva G C1 = G1 C G +G1 G1 vu( ) = V partizione resistiva R1 C1 = R C partitore compensato

38 Generatori indipendenti (di tensione e di corrente)
Funzioni di rete sL impedenza di trasferimento sL Ie = Vu Dominio del tempo Dominio di Laplace Esempio sL R Ie Vu + Vu + Vu + Ie Ve circuito nel dominio del tempo Generatori indipendenti (di tensione e di corrente) circuito nel dominio di Laplace (R+sL) Ie = Vu R+sL impedenza di ingresso Ie(s)Z(s) = Vu(s) impedenza di trasferimento Ie(s) Z(s) = Vu(s) Ie(s) Vu(s) Ve(s)F(s) = Vu(s) funzione di trasferimento in tensione Ve(s) F(s) = Vu(s) Ve(s) Vu(s) Classificazione delle funzioni di rete E(s) F(s) = U(s) u(t) e(t) Ie(s)F(s) = Iu(s) funzione di trasferimento in corrente Ie(s) F(s) = Iu(s) Ie(s) Iu(s) Ve(s)Y(s) = Iu(s) ammettenza di trasferimento Ve(s) Y(s) = Iu(s) Ve(s) Iu(s) U(s) E(s) Generatori indipendenti (di tensione e di corrente) sL/(R+sL) Ve = Vu sL/(R+sL) funzione di trasferimento in tensione Condizioni iniziali (su induttori e condensatori) e(t) = L -1[ E(s) ] e(t) = L -1[ E(s)] u(t) = L -1[ U(s)] Funzione di eccitazione (tensione o corrente) E(s) F(s) = U(s) Se la tensione e la corrente si riferiscono alla stessa coppia di morsetti, le impedenze e le ammettenze sono dette di ingresso ingresso F(s) funzione di rete u(t) = L -1[ U(s) ] Risposta (tensione o corrente) qualunque grandezza elettrica d’interesse del circuito Si suppone che E(s) sia l’unica eccitazione presente In un circuito deve essere presente almeno una funzione di eccitazione diversa da zero Un circuito privo di generatori indipendenti e con condizioni iniziali tutte nulle rimane a riposo F(s) dipende dal circuito e dalla coppia eccitazione / risposta E(s) e U(s) sono trasformate di Laplace di e(t) e u(t), rispettivamente F(s) non è una trasformata di Laplace I generatori controllati non danno luogo a funzioni di eccitazione

39 ò ò L -1[ 1 ]= u0(t) L -1[ F(s) ] Risposta impulsiva e(t) =
prodotto di convoluzione Dominio del tempo Dominio di Laplace circuito nel dominio del tempo u(t) e(t) U(s) E(s) E(s) F(s) = U(s) Dominio del tempo Dominio di Laplace circuito nel dominio del tempo u(t) e(t) U(s) E(s) E(s) F(s) = U(s) u(t) = h(t) : risposta impulsiva h(t) u0(t) e(t) * h(t) = u(t) F(s) = U(s) 1 F(s) e(t) = L -1[ 1 ]= u0(t) se E(s) = 1 E(s) F(s) = U(s) e(t) = L -1[E(s)] h(t) = L -1[F(s)] u(t) = L -1[U(s)] relazione diretta fra e(t), h(t), u(t) e(t ) h(t-t ) d t = u(t) ò 0 - il prodotto di convoluzione è commutativo h(t) = L -1[ F(s) ] la risposta impulsiva è l’antitrasformata della funzione di rete e(t-t ) h(t ) d t = u(t) ò 0 -

40 ò ò ò ò Risposta impulsiva ò L[h(t)] F(s) = e(t) u(t)
La risposta impulsiva h(t) caratterizza il circuito nel dominio del tempo e può essere rilevata sperimentalmente F(s) = L[h(t)] Da h(t) si può determinare la funzione di rete F(s) : Circuito in regime impulsivo u(t) e(t) e(t) * h(t) = u(t) u(t) = h(t) per e(t) = u0 (t) t e(t) d e(t) forma d’onda generica = 0 per 0 < t < d / approssimante di u0 (t) u(t) = e(t ) h(t-t ) d t = ò 0 - e(t ) h(t-t ) d t = ò d La risposta u(t) è pari alla risposta impulsiva h(t), moltiplicata per l’area A della forma d’onda d’ingresso [A in Volt sec] A A = e(t ) d t ò d Ipotesi: d tale che h(t) per ogni t e per 0 <t <d = e(t ) h(t) d t = ò d h(t) e(t ) d t ò d = A h(t)

41 Stabilità L[h(t)] L[h(t)] L[h(t)] L[h(t)] L[h(t)] L[h(t)] L[h(t)]
u0(t) e(t) * h(t) = u(t) circuito stabile lim h(t) = 0 t rispetto alla risposta impulsiva h(t) w = Im[s] s = Re[s] piano s poli instabilità stabilità w = Im[s] s = Re[s] piano s poli F(s) = L[h(t)] w = Im[s] s = Re[s] piano s poli t F(s) = L[h(t)] t coppia di poli multipli complessi coniugati con parte reale negativa: s = -c + jd fattori di D(s): (s+c jd)n + F(s) = L[h(t)] t coppia di poli multipli, complessi coniugati, sull’asse immaginario: s = + j b fattore di D(s): (s2+b2)n F(s) = L[h(t)] t coppia di poli complessi coniugati, semplici o multipli, con parte reale positiva: s = a + j b fattori di D(s): (s- g jb )n + F(s) = L[h(t)] t coppia di poli complessi coniugati semplici, sull’asse immaginario: s = + j b fattore di D(s): (s2+b2) F(s) = L[h(t)] t polo reale semplice o multiplo con parte reale positiva: s = a fattore di D(s): (s-a )n F(s) = L[h(t)] t coppia di poli semplici complessi coniugati con parte reale negativa: s = -c + jd fattori di D(s): (s+c jd) + F(s) = L[h(t)] t polo reale negativo multiplo: s = -a fattore di D(s): (s+a)n Un circuito può dare luogo a più risposte impulsive in funzione della coppia eccitazione - risposta. Un circuito è stabile, se lo è rispetto a tutte le possibili risposte impulsive polo reale negativo semplice: s = -a fattore di D(s): (s+a) andamento stabile x -c d -d andamento stabile x andamento al limite di stabilità x b -b andamento instabile x g b -b forma d’onda illimitata forma d’onda illimitata andamento instabile x a forma d’onda illimitata x -a andamento stabile andamento stabile x forma d’onda limitata andamento instabile regione di stabilità semipiano sinistro del piano s Re[s] < 0 regione di instabilità semipiano destro del piano s Re[s] > 0 limite di stabilità asse immaginario del piano s Re[s] = 0 poli semplici

42 Stabilità dei circuiti
Circuiti reattivi L’eccitazione, u0(t) , fornisce l’energia E al circuito. E non può né aumentare né diminuire. Le risposte impulsive h(t) rimangono tutte limitate, senza tendere a zero Componenti reattivi: induttori, condensatori, induttori accoppiati, trasformatori ideali Circuiti passivi E può diminuire. Le h(t) possono tendere a zero, o rimanere limitate Componenti reattivi + resistori Circuiti attivi E può aumentare. Le h(t) possono tendere a zero, rimanere limitate o divergere Componenti reattivi + resistori, generatori controllati, nullori al limite di stabilità poli per Re[s] = 0 semplici F(s) = L[h(t)] stabile poli per Re[s] < 0 poli per Re[s]>0 instabile poli per Re[s]=0 multipli

43 Stabilità: esempi = (LC)-1/2 sin w0 t u-1(t)
+ Ve(s) sL Vu(s) 1/sC Circuito passivo RL RC Circuito reattivo Ipotesi: RL / L = 1/(CRC ) = D Funzione di rete: funzione di trasferimento in tensione sL + RL = L(s+ RL /L) =L(s+D) = Lp sC + 1/Rc = C(s+ 1/CRc )=C(s+D) =Cp F(s) = = Ve(s) Vu(s) 1/sC sL + 1/sC 1 s2LC + 1 = p = s + D D reale e positivo w = Im[s] s = Re[s] piano s poli Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)] F(p) = = 1 p2LC + 1 p2 + w02 LC F(p) = 2 Re[ ] ; A p + jw0 + Ve Vu pL 1/pC Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)] w = Im[p] s = Re[p] piano s poli poli in s : -D + jw0 x w0 -w0 -D Il piano p è traslato a destra di D rispetto al piano s w = Im[p] x = Re[p] piano p poli x = s + D Nella variabile p, il circuito è reattivo F(s) = = 1 s2LC + 1 1 s2 + w02 LC 1 p2 + w02 LC F(p) = = p2LC + 1 x w0 -w0 w0 = (LC)-1/2 x w0 -w0 w0 = (LC)-1/2 F(p) = 1/pC pL + 1/pC 1 p2LC + 1 = L’analisi è identica a quella del circuito LC F(s) = 2 Re[ ] ; A s + jw0 A = = ½ (LC)-1/2 j 1/LC s - jw0 s=- jw0 A = = ½ (LC)-1/2 j 1/LC p - jw0 p=- jw0 F(p) = 2 Re[ ] ; A p + jw0 h(t) = 2 Re[A e-jw t ] u-1(t) F(s+D) = 2 Re[ ] ; A s+D + jw0 = (LC)-1/2 sin w0 t u-1(t) h(t) = (LC)-1/2 e-D t sin w0 t u-1(t) h(t) t h(t) t h(t) = 2 Re[A e(-D-jw )t ] u-1(t) = 2 e-D t Re[A e-jw t ] u-1(t) = (LC)-1/2 e-D t sin w0 t u-1(t) Si ricordi che F(s) = = 2 Re[ ] A s + jw0 A* s - jw0 L’espressione è identica a quella del circuito LC, eccetto il fattore e-Dt . Pertanto lo spostamento a sinistra dei poli della quantità D corrisponde allo smorzamento della risposta impulsiva 2 Re[A e-jw t ] = 2 Re[½(LC)-1/2 j (cos w0 t - j sin w0 t)] andamento stabile andamento al limite di stabilità = (LC)-1/2 sin w0 t

44 8 Stabilità: esempi + x Vu Ve sL 1/sC Circuito attivo
Funzione di rete: funzione di trasferimento in tensione I1 I1 = Ve / sL Vu = - (1/sC) I1 F(s) = Ve(s) Vu(s) = -1/(s2LC) Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)] w = Im[p] s = Re[p] piano s poli ; polo : s = 0, doppio x h(t) = L-1[F(s)] = L-1[-1/(s2LC)] = (-1/LC) u-2(t) h(t) t rampa andamento instabile Dopo l’applicazione dell’impulso, una corrente costante percorre l’induttore e, proseguendo nel condensatore, lo carica indefinitamente. L’energia corrispondente è fornita dal noratore. Il polo doppio all’origine (s = 0) dà luogo ad andamento instabile. Dal punto di vista della stabilità, l’origine del piano s ha le stesse proprietà degli altri punti dell’asse immaginario

45 Regime permanente Ipotesi circuito stabile U(s) E(s) Poli di U(s) : +
e(t) = L-1[E(s)] = E cos(w t + j ) u-1(t ) circuito stabile U(s) E(s) E(s) F(s) = U(s) E(s) = ½ [ ] E s - jw E* s + jw U(s) = ½ [ ]F(s) E s - jw E* s + jw Poli di U(s) : Poli di E(s) : per s = + jw Poli di F(s) : per Re [s ] < 0 U(s) = Up(s) Ut (s) Sviluppo in frazioni parziali sviluppo sui poli di E(s) sviluppo sui poli di F(s) u(t) = up(t) ut (t) andamento sinusoidale permanente tende a zero per la stabilità: transitorio Calcolo di Up(s) ½ U = U(s)(s – jw )|s=jw = Si ricordi che: E(s) = L[e(t)] = L[E cos(w t + j ) u-1(t )] = Up(s) = ½ [ ] U s - jw U* s + jw = ½ F(s) [ ](s – jw )|s=jw E s - jw E* s + jw E = E e jj fasore di e(t) = ½ [ ] E s - jw E* s + jw = L[½[E e jw t + E* e- jw t] u-1(t )] U = F( jw ) E = ½ F( jw ) E

46 Regime permanente U(s) E(s) U E Circuito al limite di stabilità
Laplace U(s) E(s) E(s) F(s) = U(s) U E E F(s)|s=jw = U Regime permanente Circuito al limite di stabilità p.es. circuiti reattivi Circuito instabile Circuito stabile: al crescere di t , tutte le risposte impulsive tendono a zero Se jw è un polo di F(s), la suddivisione della risposta in permanente e transitorio non può essere effettuata F( jw) = / Al crescere di t , alcune risposte impulsive non tendono a zero e possono divergere Al crescere di t , alcune risposte impulsive non tendono a zero, ma rimangono limitate L’analisi in regime permanente può essere effettata formalmente, ma può perdere di validità, perché alcune risposte transitorie possono mascherare il regime permanente tutte le risposte transitorie tendono a zero L’analisi in regime permanente può essere effettata, ma alcune risposte transitorie di tipo sinusoidale si sovrappongono alle sinusoidi del regime permanente tutte le grandezze elettriche del circuito sono in regime sinusoidale permanente L’analisi con il metodo dei fasori non permette di determinare i transitori, né di verificare la stabilità, o meno, del circuito Analisi in regime permanente Analisi nel dominio di Laplace Grandezze elettriche: L-trasformate di tensioni e correnti fasori di tensioni e correnti Funzioni di rete F(s) Funzioni di rete F(s), con s = jw La sostituzione s = jw può essere effettuata in qualunque punto del procedimento

47 Regime permanente: esempio
+ V cos(w t+j ) dominio di t L i(t) i(t) = 0 | t < 0 R Il circuito è rilevante in molte applicazioni, in quanto rappresenta l’inserzione di un carico induttivo (p. es. un trasformatore, un motore, ecc.) su un generatore sinusoidale (p. es. la tensione di alimentazione di rete) t = 0 + V cos(w t+j ) dominio di t L i(t) i(t) = 0 | t < 0 R + V(s) dominio di s sL I(s) R t i(t) Re[I ] V(s) = ½ [ ] ; V s - jw V* s + jw V = V e jj I = ; jw L+R V risposta completa A = - Re[ ] jw L+R V = - Re[I ] transitorio Re[ ] = jw L+R V w2 L2+R2 (cos j + j sin j )(- jw L+R) V Re[ ] = (sL+R)I(s) = V(s) A I(s) = ½ [ ] V s - jw V* s + jw sL+R 1 w2 L2+R2 R cos j + w L sin j = V A = - Re[I ] = 0 per F(s) = sL+R 1 funzione di rete: ammettenza d’ingresso R cos j + w L sin j = 0 permanente tan j = - R / w L i(t) = ip(t) + it(t) Andamenti nel tempo poli di I(s) w = Im[p] s = Re[p] piano s poli Sviluppo in frazioni parziali di I(s) I(s) = ½ [ ] + I s - jw I* s + jw s+R/L A s = + jw poli della eccitazione x w -w ip(t) = Re[I e jw t] u-1(t) it(t) = A e - (R/L) t u-1(t) permanente transitorio Nelle applicazioni tutti i parametri sono noti, eccetto l’angolo j , che dipende dall’istante di inserzione, in genere casuale. Risulta così non prevedibile l’andamento della risposta completa I = V / ( jw L+R) A = - V w2 L2+R2 R cos j + w L sin j = - Re[I ] A = - Re[I ] = 0 per tan j = - R / w L ½ I = I(s)(s - jw )|s = jw = jw L+R ½ V s = -R/L polo della funzione di rete x -R/L ip(0+) = Re[I ] it(0+) = A ; All’istante 0+ Il caso più favorevole si ha quando il transitorio è assente (A = 0 ; tan j = - R / w L) e la corrente massima è pari a | I | . A = I(s)(s + R/L )|s = -R/L = = [ ] V* -R/L + jw V -R/L - jw 1 2L i(0+) = A + Re[I ] = 0 Nel caso peggiore, il valore assoluto della corrente può raggiungere il valore di 2 | I | circuito stabile