Elementi di Matematica

Presentazione sul tema: "Elementi di Matematica"— Transcript della presentazione:

1 Elementi di Matematica
Geometria prof. Paolo Peranzoni

2 Concetti elementari Il concetto più fondamentale ed elementare di tutta la geometria è quello di punto Si tratta di una astrazione rispetto alla nostra idea concreta di punto disegnato con la matita sul foglio il punto geometrico è privo di dimensioni Gli altri oggetti della geometria sono insiemi di punti

3 Luoghi geometrici Si dice luogo geometrico (o semplicemente luogo, con notevole risparmio di fiato...) un insieme di punti che possiedono tutti una stessa proprietà caratteristica Ad esempio: la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro

4 Rette Un luogo geometrico particolarmente semplice e fondamentale è la retta L’idea di retta nasce in noi per astrazione da oggetti o situazioni del mondo reale: un filo teso un raggio di luce il segno della piegatura di un foglio ecc.

5 Proprietà delle rette Per due punti distinti passa una ed una sola retta Ogni retta è un insieme di infiniti punti Due rette nel piano o sono parallele o si incontrano il un solo punto Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela alla retta data

6 Figure Altri oggetti della geometria (che sono pure luoghi geometrici) sono (oltre alle rette): gli angoli i poligoni (fra cui triangoli, quadrilateri, ecc.) le coniche (circonferenza, parabola, ellisse, iperbole) figure “vuote” e figure “piene”: circonferenza e cerchio perimetro di un poligono e superficie dello stesso ecc.

7 Perimetri ed aree Fra i pochi ricordi di geometria “pratica” che rimangono dallo studio scolastico ci sono (forse) le formule per calcolare aree e perimetri Il perimetro di una figura piana chiusa è la lunghezza del suo contorno per le figure a lati rettilinei basta sommare le lunghezze dei lati L’area della stessa figura è l’estensione della sua superficie

8 Aree di poligoni A = base  altezza
Meno semplice calcolare le aree; se è facile calcolare l’area del rettangolo: A = base  altezza altezza base non è così immediato capire che la stessa formula vale anche per il parallelogramma

9 Area del triangolo L’area del triangolo si calcola ricordando che un triangolo equivale ad un parallelogramma con la stessa base e l’altezza dimezzata A = base  altezza / 2

10 Trapezio Una formula simile vale per l’area del trapezio:
A = (base mag. + base min.)  altezza / 2 base minore altezza base maggiore infatti, un trapezio è equivalente ad un triangolo avente come base la somma delle basi e come altezza la stessa altezza

11 Le figure curve Più complesso è il problema di calcolare perimetro ed area delle figure curve Noi ci limiteremo qui alla circonferenza e al cerchio: C = 2R A = R2 senza per altro dimostrare queste formule

12 Proporzioni È importante capire quali relazioni vi siano fra le dimensioni lineari di una figura, la sua superficie e il suo volume (se è una figura solida) Guardando un cubo di Rubik, si capisce che, triplicando lo spigolo di un cubo, le superfici delle facce diventano 9 volte (32) più grandi Il volume diventa 27 volte (33) maggiore!

13 Triangoli I triangoli vengono classificati secondo vari criteri:
acutangoli: hanno tutti gli angoli acuti (< 90°) rettangoli: hanno un angolo retto e due acuti ottusangoli: hanno un angolo ottuso (> 90°) e due acuti Un triangolo si dice invece: scaleno, se tutti i lati hanno lunghezze diverse isoscele, se due lati hanno la stessa lunghezza equilatero, se tutti i lati hanno la stessa lunghezza

14 Segmenti notevoli In un triangolo si considerano spesso alcuni segmenti (o rette) notevoli: altezze: vanno da un vertice perpendicolarmente al lato opposto mediane: vanno da un vertice al punto medio del lato opposto bisettrici: dividono a metà ciascun angolo del triangolo assi dei lati: sono rette perpendicolari al lato passanti per il suo punto medio

15 Punti notevoli In un triangolo vi sono alcuni punti notevoli:
baricentro: punto di incontro delle mediane ortocentro: punto di incontro delle altezze incentro: punto di incontro delle bisettrici; è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo circocentro: punto di incontro degli assi; è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo

16 Triangoli particolari
In un triangolo isoscele coincidono l’altezza, la mediana, la bisettrice e l’asse relativi alla base (il lato non necessariamente uguale agli altri) In un triangolo equilatero coincidono l’altezza, la mediana, la bisettrice e l’asse relativi a tutti i lati Quindi nel triangolo equilatero coincidono pure il baricentro, l’ortocentro, l’incentro e il circocentro

17 Teoremi Moltissimi sono i teoremi della geometria piana, ma ve ne sono alcuni particolarmente importanti, fondamentali: Teorema di Talete Primo teorema di Euclide Secondo teorema di Euclide Teorema di Pitagora

18 Teorema di Talete Il teorema di Talete afferma che, prese le parallele a, b, c, d tagliate dalle due trasversali s e t rispettivamente nei punti A, B, C, D e A’, B’, C’, D’ (detti corrispondenti di A, B, C, D), tra i segmenti corrispondenti vale la proporzione:

19 Primo teorema di Euclide
Il primo teorema di Euclide afferma che, in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa.

20 Secondo teorema di Euclide
Il secondo teorema di Euclide afferma che, in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa

21 Teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora afferma che, in ogni triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti Questo teorema si dimostra facilmente a partire dal primo teorema di Euclide

22 Terne pitagoriche Se i cateti di un triangolo rettangolo misurano, in una certa unità di misura, 3 e 4, l’ipotenusa (per il teorema di Pitagora) misura 5 unità Si dice che i numeri (interi) 3, 4 e 5 costituiscono una terna pitagorica Esistono infinite terne pitagoriche; una serie si può ottenere moltiplicando i tre numeri precedenti per qualsiasi numero intero positivo Un’altra terna base è 5, 12 e 13 (verificare!) ecc.

23 Tangente ad una circonferenza
Una retta t che ha un unico punto in comune con una circonferenza C si dice tangente alla circonferenza Se una retta è tangente in P ad una circonferenza di centro O, la distanza del punto O dalla retta è uguale alla lunghezza del raggio della circonferenza La tangente è perpendicolare al raggio OP della circonferenza

24 Tangenti alla circonferenza
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono ad essa due rette tangenti, valgono alcune proprietà notevoli: I segmenti di tangenza PA e PB sono congruenti La semiretta di origine P che passa per O è bisettrice sia dell’angolo APB, sia dell’angolo AOB La retta PO è asse della corda AB