Giochi statici (o a mosse simultanee) ad informazione incompleta

Giochi statici (o a mosse simultanee) ad informazione incompleta
Introduzione ai Giochi Bayesiani statici Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Sintesi dei giochi statici ad informazione incompleta
Lecture 22 June 19, 2003 Sintesi dei giochi statici ad informazione incompleta Introduzione ai giochi statici ad informazione incompleta Rappresentazione in forma Normale (o forma strategica) dei giochi Bayesiani statici Equilibrio di Nash Bayesiano Aste Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Giochi statici ad informazione COMPLETA
Un insieme di giocatori (almeno due) Per ogni giocatore, un insieme di strategie Payoffs ricevuti da ogni giocatore a seconda della combinazione di strategie giocate. I tre elementi citati sono conoscenza comune fra tutti i giocatori. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Giochi statici ad informazione INCOMPLETA
I Payoffs non sono più conoscenza comune Informazione incompleta significa che Almeno un giocatore è incerto sulla funzione di payoff di qualche altro giocatore. I giochi statici ad informazione incompleta sono anche chiamati giochi statici Bayesiani Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Dilemma del prigioniero ad informazione completa
Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un brutto crimine. Non ci sono però prove schiaccianti. Ad entrambi i sospetti sono elencate le condizioni della loro prigionia: Se nessuno dei due confessa sarrano accusati di un crimine minore e faranno un mese di carcere. Se entrambi confessano saranno accusati del crimine e faranno sei mesi di carcere. Se uno confessa (accusando l’altro) e l’altro nega,chi confessa va fuori libero e l’accusato farà 9 mesi di carcere. Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta
Il Prigioniero 1 è sempre razionale (egoista). Il prigioniero 2 può essere razionale (egoista) o altruista, a seconda del fatto che sia felice oppure triste. Se è altruista allora preferisce negare e pensa che confessare (accusando l’altro) è equivalente (in termini morali, di coscienza) a fare “quattro mesi di carcere in più”. Il prigioniero 1 non sa sicuramente se il prigioniero 2 è razionale o altruista, ma lui crede che il prigioniero 2 è razionale con probabilità 0.8, e altruista con probabilità 0.2. Payoffs se il prigioniero 2 è altruista Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , -4 0 , -9 -6 , -10 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Data la convinzione (beliefs) del prigioniero 1 sul prigioniero 2, quale strategia dovrebbe scegliere il prigioniero 1? Quale strategia deve scegliere il prigioniero 2 nel caso in cui sia razionale o altruista? Payoffs se il prig. 2 è razionale Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Payoffs se il prig. 2 è altruista Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , -4 0 , -9 -6 , -10 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Soluzione: Il Prigioniero 1 sceglie di confessare, data la sua convinzione sul prigioniero 2 Il Prigioniero 2 sceglie di confessare se è razionale, e di negare se è altruista Questo può essere scritto come (Confessa, (Confessa se razionale, Nega se altruista)) Confessa è la risposta ottima del prig. 1 alla scelta del prigioniero 2 (Confessa se razionale, Nega se altruista). (Confessa se razionale, Nega se altruista) è la risposta ottima del prig. 2 alla scelta del prigioniero 1 Confessa Questo è un Equilibrio di Nash chiamato Equilibrio di Nash Bayesiano (BNE) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Duopolio di Cournot ad informazione completa
La rappresentazione in forma normale : Insieme dei giocatori: { Firm 1, Firm 2} Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) Funzione dei payoff: u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c), u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c) Tutte queste informazioni sono conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta
Un prodotto omogeneo è realizzato solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità da esse prodotte sono indicate con q1 e q2. Le quantità vengono scelte simultaneamente. Il prezzo di mkt. : P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2. La funzione dei costi dell’impresa 1: C1(q1)=cq1. Tutto questo è conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i.e. la tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo marginale potrebbe essere: ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2. Basso (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2. Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi marginali. Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello che sarà il livello dei payoff. L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà: C2(q2)=cHq2 con probabilità , e C2(q2)=cLq2 con probabilità 1–. Queste cose sono conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
Riassunto Definizione di gioco statico ad informazione incompleta Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta Prossimo argomento Altri esempi Equilibrio di Nash Bayesiano Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Un prodotto omogeneo è realizzato solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità relative sono rispettivamente q1 e q2. Le imprese scelgono le quantità simultaneamente. Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2. Queste caratteristiche del gioco sono di conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i.e. la tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo marginale potrebbe essere: ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2. Basso (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2. Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi marginali. Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello che sarà il livello dei payoff. L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà: C2(q2)=cHq2 con probabilità , e C2(q2)=cLq2 con probabilità 1–. Queste cose sono conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Anche i costi marginali dell’impresa 1 dipendono da alcuni fattori indipendenti da quelli dell’impresa 2 che solo l’impresa 1 conosce. Il suo costo marginale può quindi essere Alto (H): funzione dei costi: C1(q1)=cHq1. Basso (L): funzione dei costi: C1(q1)=cLq1. Prima di produrre, l’impresa 1 può osservare questi fattori e conoscere esattamente il livello del proprio costo marginale. Invece, l’impresa 2 non conosce esattamente i costi dell’impresa 1. Quindi, è anche incerta sui payoff dell’impresa1. L’impresa 2 crede che la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà C1(q1)=cHq1 con probabilità , e C1(q1)=cLq1 con probabilità 1–. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Battaglia dei sessi In posti separati, Chris e Pat devono scegliere cosa fare la sera (opera o combattimento). Entrambi conoscono quanto segue: Preferiscono passare la serata insieme. Chris preferisce l’opera. Pat preferisce il combattimento. Pat Opera Prize Fight Chris 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno)
Adesso le preferenze di Pat dipendono dal fatto che sia o meno felice. Se è felice allora le sue preferenze saranno le stesse. Se è infelice allora preferisce starsene da solo e le sue preferenze sono quelle del gioco sottorappresentato. Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris “believes” che Pat sia felice con probabilità 0.5 e infelice con probabilità 0.5 Payoffs se Pat è infelice Pat Opera Prize Fight Chris 2 , 0 0 , 2 0 , 1 1 , 0 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Come trovare una soluzione ? Due “tipi” di Pat: felice e infelice Payoffs se Pat è felice con probabilità 0.5 Pat Opera Prize Fight Chris 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Payoffs se Pat è infelice con probabilità 0.5 Pat Opera Prize Fight Chris 2 , 0 0 , 2 0 , 1 1 , 0 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Risposta ottima Se Chris sceglie opera allora la risposta di Pat sarà: opera se è felice, e prize fight se è infelice Supponiamo che Pat scelga opera se è felice, e prize fight se è infelice. Quale sarà la risposta ottima di Chris? Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 2 se Pat è felice, o 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà allora di 20.5+ 00.5=1 Se Chris sceglie prize fight allora lei otterà 0 se Pat è felice, o 1 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di 00.5+ 10.5=0.5 Dato che 1>0.5, la risposta ottima di Chris sarà opera Un BNE: (opera, (opera se felice e prize fight se infelice)) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Risposta ottima Se Chris sceglie prize fight allora la risposta ottima di Pat sarà: prize fight se felice, e opera se infelice Supponiamo che Pat scelga prize fight se è felice, e opera se è infelice. Quale sarà la strategia ottima di Chris? Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 0 se Pat è felice, o 2 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà quindi di 00.5+ 20.5=1 Se Chris sceglie prize fight allora otterrà un payoff di 1 se Pat è felice, o di 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di 10.5+ 00.5=0.5 Dato che 1>0.5, la risposta ottima di Chris sarà opera (prize fight, (prize fight se felice e opera se infelice)) NON è un BNE. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Riassunto Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) Prossimo argomento Equilibrio di Nash Bayesiano Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Un prodotto omogeneo è prodotto solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono denotate da q1 e q2. La scelta delle quantità è simultanea. Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2. Tutto ciò è conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) I costi dell’impresa 2 dipendono da un fattore (e.g. la tecnologia) che solo l’impresa 2 conosce. Il suo costo può essere ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2. BASSO (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2. I costi dell’impresa 1 dipendono da un altro fattore (indipendente o dipendente) che solo l’impresa 1 conosce. Il suo costo può essere ALTO (H): funzione dei costi : C1(q1)=cHq1. BASSO (L): funzione dei costi : C1(q1)=cLq1. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) u1(q1, q2(cH); cH) u1(q1, q2(cL); cH) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) u1(q1, q2(cH); cL) u1(q1, q2(cL); cL) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) u2(q1(cH), q2; cH) u2(q1(cL), q2; cH) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) u2(q1(cH), q2; cL) u2(q1(cL), q2; cL) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale

Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale : payoffs Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale : beliefs (probabilità) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Strategia Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Equilibrio di Nash Bayesiano: 2-giocatori

Equilibrio di Nash Bayesiano: 2-giocatori
Nel senso di aspettative basate sui propri belief La risposta ottima del giocatore 2 se il suo tipo è t2j La risposta ottima del giocatore 1 se il suo tipo è t1i Nel senso di aspettative basate sui propri belief Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Riassunto Duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Equilibrio di Nash Bayesiano Prossimo argomento Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Aste Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Battaglia dei sessi In posti separati, Chris e Pat devono scegliere se andare ad un opera oppure ad un incontro di boxe. Entrambi sanno quanto segue: Entrambi preferiscono passare la serata in compagnia reciproca. Chris preferisce l’opera. Pat preferisce la boxe. Pat Opera Prize Fight Chris 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due)
La preferenza di Pat dipende dal fatto che sia o meno felice. Se è felice le preferenze sono le solite. Se è infelice allora preferisce passare la serata da solo. Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris crede che Pat sia felice con probabilità 0.5 e infelice con probabilità 0.5 La preferenza di Chris dipende dal fatto che sia o meno felice. Se è felice le preferenze sono le solite. Se è infelice allora preferisce passare la serata da sola. Pat non può sapere se Chris è felice o meno. Ma Pat crede che Chris sia felice con probabilità 2/3 e infelice con probabilità 1/3. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Chris è felice Pat è felice Pat Opera Fight Chris 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Chris è felice Pat è infelice Pat Opera Fight Chris 2 , 0 0 , 2 0 , 1 1 , 0 Chris è infelice Pat è felice Pat Opera Fight Chris 0 , 1 2 , 0 1 , 0 0 , 2 Chris è infelice Pat è infelice Pat Opera Fight Chris 0 , 0 2 , 2 1 , 1 Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Chris crede che Pat sia felice con probabilità 0.5, infelice 0.5 Chris è felice Pat (0.5, 0.5) (O,O) (O,F) (F,O) (F,F) Chris O 2 1 F 1/2 Chris è infelice Pat (0.5, 0.5) (O,O) (O,F) (F,O) (F,F) Chris O 1 2 F 1/2 Il payoff atteso di Chris giocando Fight se Chris è felice e Pat gioca (Opera se felice, Fight se infelice) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Pat crede che Chris sia felice con probabilità 2/3, infelice 1/3 Pat è felice Pat O F Chris (2/3, 1/3) (O,O) 1 (O,F) 2/3 (F,O) 1/3 4/3 (F,F) 2 Pat è infelice Pat O F Chris (2/3, 1/3) (O,O) 2 (O,F) 1/3 4/3 (F,O) 2/3 (F,F) 1 Il payoff atteso da Pat giocando Opera se Pat è infelice e Chris gioca (Fight se felice, Fight se infelice) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Controllate se ((Fight se felice, Opera se infelice), (Fight se felice, Fight se infelice)) è un BNE. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Asta di primo prezzo in busta chiusa

Riassunto Battaglia dei sessi con informazione incompleta (versione due) Asta di primo prezzo in busta chiusa Se in futuro dovessimo incontrarci di nuovo e vorreste parlare ancora di Teoria dei giochi con me parleremmo di: Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

Altri argomenti interessanti
Giochi dinamici ad informazione incompleta Giochi di segnalazione (importanti per la selezione avversa, vedi i modelli di Spece sul mkt del lavoro) Giochi di comunicazione Giochi cooperativi (meno al centro dell’attenzione accademica negli ultimi 20 anni ma di nuovo tornati al centro del “focus” di ricerca) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte

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