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Introduzione alla Regressione Logistica
Rachid Salmi, Jean-Claude Desenclos, Alain Moren, Thomas Grein
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Contenuto regressione lineare semplice e multipla
regressione logistica lineare semplice La funzione logistica Stima dei parametri Interpretazione dei coefficienti Regressione logistica Multipla Codifica delle variabili Esempi in Stata Modellare i propri dati
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Regressione lineare Semplice
Tabella 1 Età e pressione sistolica nel sangue (PAS) in 33 donne adulte
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SBP (mm Hg) Age (years) Adattato da Colton T. Statistics in Medicine. Boston: Little Brown, 1974
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Regressione lineare Semplice
Relazione tra 2 variabili continue (PAS ed Età) y Slope x coefficiente di Regressione b1 Misura l’associazione tra y ed x Valore del cambiameto di y in media quando x cambia di una unità Metodo dei minini quadrati
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Regression lineare Multipla
Relazione tra una variabile continua ed un a set di variabili continue coefficienti di regressione Parziale bi Valore del cambiamento di y in media quando xi cambia di una unità e tutte le altre xJ , per j≠i , rimangono costanti Misura l’associazione tra xi ed y corretta per tutte le altre xJ Esempio PAS verso età, peso, altezza, etc
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Regressione lineare Multipla
Dipendente Variabili indipendenti Predetta Variabili predittive Variabile Risposta Variabili esplicative Variabile Esito Covariate
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Analisi Multivariata Modello Risultato.
Regressione Lineare quantitativo continuo. Regressione di Poisson conteggi. Cox model sopravvivenza. Regressione Logistica binomiale. ...... Scelta del modello secondo lo studio, gli obiettivi, e le variabili. Controllo del confondimento. Costruzione di un modello, predizione.
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Regressione logistica
Modella la relazione tra un set di variabili xi dicotomiche (mangiare : si/no) categoriche (classe sociale, ... ) continue (eta’, ...) e Variabile dicotomica Y esito dicotomico (binario) situazione molto comune in biologia e epidemiologia
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Regressione logistica (1)
tabella 2 Età e sintomi di malattia coronarica (CHD)
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Come possiamo analizzare questi dati ?
Confronto di Età media delle donne Malate e Non- Malate Non- Malate : anni Malate: anni (p<0.0001) Regressione Lineare?
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Plot a punti: Dati di Tabella 2
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Regressione logistica (2)
tabella 3 Prevalenza (%) dei segni di CD in accordo con il gruppo di età
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Dot-plot: Dati di Tabella 3
Malati % Età (anni)
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La funzione logistica (1)
Probabilità di malattia x
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La funzione logistica (2)
logit di P(y|x) {
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La funzione logistica(3)
Vantaggi del logit transformazione semplice di P(y|x) relazione lineare con x Può essere continua (Logit tra - to + ) E’ nota la distribuzione binomiale (P tra 0 ed 1) Diretto legame con la nozione di odds di malattia
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Interpretazione di b (1)
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Interpretazione di b (2)
β = incremento del log-odds per incremento unitario di x Test d’ipotesi H0 β=0 (test di Wald) Intervallo di confidenza
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Esempio rischio di sviluppare malattia delle arterie coronarie in accordo con età (<55 e 55+ anni).
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Risultati del fitting del modello di regressione logistica
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Adattamento dell'equazione ai dati
regressione lineare: minimi quadrati regressione logistica: massima verosimiglianza funzione di verosimiglianza I parametri stimati a e b hanno reso massima la verosimi-glianza (probabilità) dei dati osservati rispetto ad ogni altro valore In pratica è più semplice lavorare con log-verosimiglianza
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Massima verosimiglianza
Calcolo terativo scelta di un valore arbitrario per i coefficienti (usualmente 0) Calcolo della log-verosimiglianza Variazione dei valori dei coefficienti Reiterazione fino alla massimizzazione (plateau) Resultati stime di massima verosimiglianza (MLE) per e stime di P(y) per a assegnato valore di x
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Regressione logistica multipla
Piu’ di una variabile indipendente dicotomica , ordinale, nominale, continua … Interpretazione di bi Incremento del log-odds per un Incremento unitario di xi con tutte le altre xi constanti misure di associazione tra xi e log-odds corretta per tutte le altre xi
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Regressione logistica Multipla
Modifica dell’effetto Puo’ essere modellato includendo termini di interazione
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Test dell’ipotesi Statistica
Domanda Il modello che include una variabile indipendente assegnata fornisce più informazione circa la variabile dipendente del modello in cui tale variabile è assente ? Tre test statistica rapporto di verosimiglianza [statistica (LR)] Wald test Score test
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statistica: rapporto di verosimiglianza
Confronto di due modelli annidati (nested) Log(odds) = + 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 (modello 1) Log(odds) = + 1x1 + 2x2 (modello 2) statistica LR -2 log_lik (modello 2 / modello 1) = -2 log_lik (modello 2) meno -2log (modello 1) La statistica LR è 2 con DF = numero di extra parametri nel modello
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Esempio P probabilità di arresto cardiaco
Exc 1= sedentarietà , 0 = exercizio Smk 1= fumo , 0= non-fumo adapted from Kerr, Handbook di Public Health Methods, McGraw-Hill, 1998
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Effetto di interazione tra fumo e sedentarietà ?
Termine del Prodotto b3 = (SE ) Wald test = 0.75 (1df) -2log(L) = con termine interaczione = senza termine interaczione LR statistica = 0.74 (1df), p = 0.39 Non evidenza di interazione
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Codifica di variabili (1)
variabile dicotomica: yes = 1, no = 0 variabili continue Incremento di OR per una variazione unitaria della variabile esposizione Il modello Logistico è moltiplicativo OR Incrementa esponenzialmente con x Se OR = 2 , per la variazione unitaria di esposizione di x passa da 2 to 5: OR = 2 x 2 x 2 = 23 = 8 verifica che OR Incrementi esponenzialmente con x. Quando in dubbio, trattare come variabile qualitative
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variabile continua ? Relazione tra SBP>160 mmHg e BW (body weight)
Introduci BW come variabile continua ? Codifica del peso come variabile singlola , eg. 3 classi uguali: kg = 0, kg = 1, kg = 2 Compatibile con assunto di modello moltiplicativo Se non compatibile, usa variabili indicatori
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Codifica delle variabili (2)
variabili nominali o ordinali in classi disuguali : Fumatori di tabacco : no=0, grey=1, brown=2, blond=3 modello assume che l’OR per (tabacco blond) = OR per (tabacco grey)3 Use indicator variabili (dummy variabili )
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variabili indicatori: tipo di tabacco
Neutralizza la gerarchia artificiale tra classi nella variabile "tipo di tabacco" Nessun assunto messo in atto 3 variabili (3 df) nel modello usando la medesima referenza OR per ogni tipo di tabacco, corretto per gli altri, riferito al non-fumo
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Referenze Esempi usando stata Esempio 1: Low Birth Weight Study
Hosmer DW, Lemeshow S. Applied logistic regression. Wiley & Sons, New York, 1989 Esempi usando stata Esempio 1: Low Birth Weight Study Esempio 2: Risk di death from bacterial meningitis according to treatment
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Esempio 1: Studio «Low Birth Weight »
198 observations Low Birth Weigth [LBW] 1= Birth weight < 2500g 0= Birth weight >= 2500g Age di mother in years Weight di mother in pounds [LWT] Race (1,2,3) numero di doctor’s visit in last trimester [FTV]
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Esempio 2: Rischio di morte per meningite batterica in accordo con il trattmento
161 observations Death (0,1) Treatment (1=Chloramphenicol, 2=Ampicillin) Delay before treatment (onset, in days) Convulsions (1,0) Level di consciousness (1-3) Severity di dehydration (1-3) Age in years Pathogen 1 Others, 2 HiB, 3 Streptococcus pneumoniae
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