Dipartimento di Matematica P. A.

Presentazione sul tema: "Dipartimento di Matematica P. A."— Transcript della presentazione:

1 Dipartimento di Matematica P. A.
I TEST DI LOGICA Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica P. A. Università di Padova Licei Lioy e Pigafetta, Vicenza, 20 Gennaio 2011

2 Un test problematico Attenzione alla risposta b!
Sapendo che in questo test una sola risposta è giusta, dire di quale si tratta. a) La risposta d) è giusta. b) La risposta b) è sbagliata. c) La risposta c) è giusta. d) La risposta a) è giusta. Attenzione alla risposta b!

3 Affermazioni problematiche
Mario dice: “sto mentendo”. Dice il vero o il falso? Se dice il vero ...., se dice il falso .... Paradosso (o antinomia) Attenzione alla versione divulgativa: Epidemide, cretese, dice: “tutti i cretesi sono bugiardi” E’ semplicemente falsa

4 Antinomia del mentitore
Mario dice: “sto mentendo”. Altre versioni Coccodrillo Ponte Barbiere

5 Antinomia di Russell R è l’insieme di tutti gli insiemi che non
appartengono a sé stessi R appartiene a R? Se R appartiene a R allora R appartiene a sé stesso, e quindi .... Se R non appartiene a R allora R non appartiene a sé stesso, e quindi .... X  R se e solo se X  X

6 Versione aritmetica Con delle frasi possiamo definire dei numeri naturali. Con meno di 100 lettere possiamo definire una quantità finita di numeri naturali. Ci sono numeri naturali che non possono essere definiti con meno di 100 lettere. Possiamo considerare “il più piccolo numero naturale che non è definibile con meno di 100 lettere”

7 COMPITI PER CASA Trovare altri esempi dell’antinomia del mentitore
Trovare degli esempi di conflitti tra ragionamento comune e ragionamento logico.

8 UN PO’ DI LOGICA A e B A oppure B
E’ vera quando A e B sono entrambe vere A oppure B E’ vera quando almeno una tra A e B è vera Come neghiamo A e B ? Negando A oppure negando B Come neghiamo A oppure B ? Negando A e negando B non (A e B) = non(A) oppure non(B) non (A oppure B) = non(A) e non(B)

9 VERSIONE INSIEMISTICA
X  Y Intersezione di X e Y X  Y Unione di X e Y X’ Complementare di X (X  Y)’ = X’  Y’ (X  Y)’ = X’  Y’ Leggi di de Morgan

10 UN PO’ DI LOGICA Se A allora B Quando è falsa?
Quando A è vera e B è falsa In tutti gli altri tre casi l’implicazione è vera Confrontiamo “se A allora B” con “non(A) oppure B” se A allora B equivale a non(A) oppure B

11 UN PO’ DI LOGICA Cosa possiamo dedurre da “se A allora B”
Abbiamo visto che non possiamo dedurre “se B allora A” Ma se sappiamo che non(B) è vera? Allora possiamo dedurre non(A) “se A allora B” è equivalente a “se non(B) allora non(A)

12 ESEMPIO A Mario piace lavorare. Mario non ha vinto la lotteria.
Si supponga che: “chi vince la lotteria smette di lavorare” e “chi smette di lavorare ingrassa”. Quale delle seguenti ulteriori affermazioni ci permette di concludere che “Mario non ha smesso di lavorare”? A Mario piace lavorare. Mario non ha vinto la lotteria. Mario non è ingrassato. Mario non ha vinto la lotteria ed è ingrassato.

13 UN PO’ DI LOGICA “se V allora S” “se S allora I”
vogliamo concludere non(S) A Mario piace lavorare. Mario non ha vinto la lotteria. Mario non è ingrassato. Mario non ha vinto la lotteria ed è ingrassato.

14 ESEMPIO Sapendo che “tutti gli uomini sono bipedi e mortali”
e “Socrate è mortale”, possiamo concludere che a) Socrate è un uomo. b) Socrate è bipede. c) Se Socrate è bipede, allora è un uomo. d) Se Socrate è un uomo, allora è bipede.

15 ESEMPIO Quale delle seguenti affermazioni implica che
“Socrate non è un bipede mortale”? a) Se Socrate è un uomo, allora non è mortale. b) Se Socrate è un uomo, allora non è bipede. c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale. d) Se Socrate è bipede, allora è mortale. Osservazione: le risposte a e b sono folcloristiche. Perché?

16 ESEMPIO c) Se Socrate è bipede, allora non è mortale.
d) Se Socrate è bipede, allora è mortale. Quale implica che “Socrate non è un bipede mortale” Osservazione. “Socrate non è un bipede mortale” è la negazione di un ‘e’: non ( S è bipede e S è mortale) che equivale a S non è bipede oppure S non è mortale se quindi S è bipede allora ....

17 UN PO’ DI LOGICA Affinché sia possibile confutare l’affermazione
“quando passa un tornado per Roma, tutti gli abitanti si chiudono in casa” è necessario: a) che qualche abitante di Roma ami il rischio b) che per Roma non passino tornado c) che qualche casa di Roma sia poco robusta d) che per Roma passi un tornado

18 DEDUZIONI VUOTE Il sabato sera Mario va al cinema oppure in discoteca;
sabato scorso Mario aveva una gamba rotta; sabato scorso davano film che Mario aveva già visto. Possiamo concludere che sabato scorso Mario è rimasto a casa Mario è andato in discoteca, ma non ha ballato Mario è andato al cinema, ma si è annoiato Mario è andato al cinema o in discoteca

19 DEDUZIONI VUOTE FORMALIZZAZIONE A  A è una formula sempre vera
Se A è vera .... Se A è falsa ....

20 UN PO’ DI LOGICA ‘esiste’ (), ‘per ogni’ ()
esiste x con una certa proprietà non esclude che tutti gli x tale abbiano quella proprietà non x tale che equivale a x non ... non x equivale a x tale che non ... x .... equivale a non x non .... x .... equivale a non x non ....

21 APPLICAZIONE INSIEMISTICA
Perché l’insieme vuoto è contenuto in ogni insieme? X  Y (X è contenuto in Y) a (a  X  a  Y) X  Y non (a (a  X  a  Y)) a non(a  X  a  Y) a (a  X e a  Y) X  Y se esiste un elemento di X che non è elemento di Y Se  non fosse contenuto nell’insieme Y (arbitrario) allora ..... a (a   e a  Y) FALSO!

22 ALTRI ESEMPI Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza
bagno. Questo significa che Esiste un albergo in cui c'è una stanza che ha il bagno B) In ogni albergo tutte le stanze hanno il bagno C) Ogni albergo ha il bagno in tutte le stanze D) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno Esiste un albergo in cui c'è una stanza che ha il bagno B) In ogni albergo tutte le stanze hanno il bagno C) Ogni albergo ha il bagno in tutte le stanze D) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno

23 ALTRI ESEMPI Non è vero che in ogni albergo ci sono stanze senza
bagno. Non è vero:  A  s (s non ha il bagno)  A  s non è vero (s non ha il bagno)  A  s (s ha il bagno) Esiste un albergo in cui tutte le stanze hanno il bagno

24 ALTRI ESEMPI Qual’è la negazione dell’affermazione
“ogni uomo è calvo oppure non ha i baffi”? a) Ogni uomo non è calvo oppure ha i baffi. b) Ogni uomo non è calvo e ha i baffi. c) Esistono uomini che hanno i baffi e non sono calvi. d) Esistono uomini calvi e senza baffi.

25 ALTRI ESEMPI L’affermazione “ogni uomo sposato non
è allegro” è equivalente a: a) Ogni uomo non allegro è sposato. b) Non esistono uomini allegri e sposati. c) Esiste almeno un uomo non sposato e allegro. d) Tutti gli uomini non sposati sono allegri.

26 ALTRO ESEMPIO  x [ x vota P   y ( y vota P)]
In Italia c'è una persona x tale che se tale persona vota per il partito P allora tutti votano per il partito P. Cosa si può dire di tale affermazione?  x [ x vota P   y ( y vota P)]  x [ x NON vota P oppure  y ( y vota P)] AFFERMAZIONE VERA

27 DOV’E’ L’ERRORE? Se è vero che «alcune biciclette hanno gli ammortizzatori», allora è necessariamente vero che Se comperi una bicicletta, questa può non avere gli ammortizzatori alcune bici hanno amm.  alcune bici non hanno amm. alcune bici non hanno amm.  alcune bici hanno amm. alcune bici hanno amm. se e solo se alcune bici non hanno amm. nessuna bici ha amm. se e solo se nessuna bici non ha amm.

28 Si passa dalla prima alla seconda affermazione
DOV’E’ L’ERRORE? alcune bici hanno amm. se e solo se alcune bici non hanno amm. nessuna bici ha amm. se e solo se nessuna bici non ha amm. Si passa dalla prima alla seconda affermazione facendo la negazione E’ vero che la negazione di “alcune bici hanno ...” è “nessuna bici ha ...”? Sembrerebbe di sì, ma dobbiamo tener conto le ipotesi di partenza!

29 DOV’E’ L’ERRORE? Ipotesi iniziale:
“alcune bici hanno amm.” va inteso come “alcune bici hanno amm. e alcune bici non hanno amm.” Qual è la negazione di questa affermazione? “nessuna bici ha amm. oppure nessuna bici non ha amm.”

30 ALTRI ESEMPI In un test a risposte multiple ci sono quattro scelte
possibili: (a), (b), (c) e (d), ed esattamente una delle quattro è corretta. Sappiamo che (b) vale se e solo se non vale (d) e se non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c) Quale è la risposta esatta? (d) o (b) è esatta Se (d) fosse esatta, allora lo sarebbe anche (a) o (c) La risposta esatta è la (b)

31 FORMALIZZAZIONE (b) vale se e solo se non vale (d)
se non vale (b) allora vale (a) oppure vale (c) (b)  non(d) non(b)  (d) non(b)  (a) oppure (c) (d)  (a) oppure (c)

32 CAVALIERI E FURFANTI Ambiente tipico dei test: ci sono cavalieri e
furfanti, i primi dicono sempre il vero, i secondi sempre il falso. Dalle loro risposte dobbiamo trarre informazioni.

33 CAVALIERI E FURFANTI Versione classica:
Ad un bivio ci sono due persone: A e B. So che una è un cavaliere e l’altra un furfante, ma non so quale. Dispongo di una sola domanda per sapere quale strada porta al castello. Cosa chiedo? Chiedo ad A: “se chiedessi a B la strada per andare al castello, cosa mi risponderebbe?”

34 CAVALIERI E FURFANTI Di A e B sappiamo solo che sono furfanti o
cavalieri. A dice: “siamo due furfanti”. Cosa possiamo dedurre? A e B sono entrambi furfanti. A e B sono entrambi cavalieri. A è cavaliere e B furfante. A è furfante e B cavaliere.

35 CAVALIERI E FURFANTI Di A e B sappiamo solo che sono furfanti o
cavalieri. A dice: “almeno uno di noi è cavaliere”. Cosa possiamo dedurre? A e B sono entrambi furfanti. Possibile A e B sono entrambi cavalieri. Possibile A è cavaliere e B furfante. Possibile A è furfante e B cavaliere.

36 CAVALIERI E FURFANTI Come prima: A dice: “almeno uno di noi è cavaliere”. Quale delle seguenti implicazioni è sicuramente vera? Se A è cavaliere allora B è cavaliere. Se A è cavaliere allora B è furfante. Se A è furfante allora B è cavaliere. Se A è furfante allora B è furfante.

37 ALTRI ESEMPI A) Sono tutti furfanti B) Sono tutti cavalieri
Ad un tavolo circolare si siedono dei cavalieri e dei furfanti e ciascuno di essi afferma che la persona alla sua destra è un furfante. Cosa si può dedurne? A) Sono tutti furfanti B) Sono tutti cavalieri C) C'è un numero pari di persone D) C'è un numero dispari di persone

38 ALTRI ESEMPI A) 50 onesti e 50 corrotti B) 51 onesti e 49 corrotti
In parlamento si riuniscono 100 uomini politici e ogni politico è onesto oppure è corrotto. Almeno uno dei politici è onesto. Sappiamo che presi due politici qualsiasi almeno uno è corrotto Quanti sono gli onesti e quanti i corrotti. A) 50 onesti e 50 corrotti B) 51 onesti e 49 corrotti C) 1 onesto e 99 corrotti D) 99 onesti e 1 corrotto