L’analisi bivariata L’analisi bivariata serve a studiare la relazione fra coppie di variabili. Le sue funzioni sono: Stabilire se date due variabili (x.

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1 L’analisi bivariata L’analisi bivariata serve a studiare la relazione fra coppie di variabili. Le sue funzioni sono: Stabilire se date due variabili (x e y) esiste tra loro una relazione di indipendenza o di associazione; In caso di associazione, quantificare (ove possibile) il grado di associazione tra coppie di variabili mediante coefficienti. Cosa bisogna tenere a mente quando si effettua un analisi bivariata: L’analisi bivariata studia relazione statistiche e quindi probabilistiche; Distinzione tra variabili indipendenti e variabili dipendenti; Le tecniche di analisi bivariata variano in base al tipo di variabili considerate. Metodologia della ricerca sociale

2 Variabile indipendente
L’analisi bivariata: tipi di variabili e di relazioni Variabile dipendente Nominale Ordinale Cardinale Variabile indipendente Associazione Analisi della varianza Cograduazione Correlazione / Regressione Metodologia della ricerca sociale

3 L’analisi bivariata L’analisi bivariata ha dunque, nella maggior parte dei casi, come prodotto principale una tavola di contingenza (o tabella a doppia entrata, o incrocio). Rispetto alla distribuzione di frequenza la tavola di contingenza tiene contemporaneamente conto di due variabili: una posta in colonna, l’altra in riga. Oltre alle frequenze assolute, possiamo riportare nella tabella anche (oppure soltanto) le frequenze relative (le percentuali). Variabile B Totale Modalità A Modalità B Variabile A Metodologia della ricerca sociale

4 L’analisi bivariata Le frequenze possono essere relativizzate al totale di riga o di colonna, o al totale complessivo. Bisogna essere consapevoli che percentualizzazioni differenti danno informazioni differenti. Il tipo di percentualizzazione: Si sceglie la percentuale di colonna quando si vuole analizzare l’influenza che la variabile posta in colonna ha sulla variabile posta in riga; Si sceglie la percentuale di riga quando si vuole analizzare l’influenza che la variabile posta in riga ha sulla variabile posta in colonna. I totali, di riga e di colonna, costituiscono le frequenze marginali e corrispondono alle frequenze delle variabili prese singolarmente (cioè alle loro distribuzioni monovariate). Metodologia della ricerca sociale

5 Esempi: quali informazioni si ottengono cambiando la percentualizzazione? Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 75 47 122 Privato 32 56 88 107 103 210 Quale quota di occupati nel privato è donna? Percentuale di riga Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 61,5 38,5 100,0 Privato 36,4 63,6 51,0 49,0 Metodologia della ricerca sociale

6 Esempi: quali informazioni si ottengono cambiando la percentualizzazione? Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 75 47 122 Privato 32 56 88 107 103 210 Quale quota donne è occupata nel settore privato? Percentuale di colonna Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 70,1 45,6 58,1 Privato 29,9 54,4 41,9 100,0 Metodologia della ricerca sociale

7 Esempi: quali informazioni si ottengono cambiando la percentualizzazione? Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 75 47 122 Privato 32 56 88 107 103 210 Quale quota del campione è donna e occupata nel settore privato? Percentuale sul totale Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 35,7 22,4 58,1 Privato 15,2 26,7 41,9 51,0 49,0 100,0 Metodologia della ricerca sociale

8 Le statistiche bivariate:
quali indici possono essere utilizzati in base al tipo delle due variabili? Misurare l’associazione tra due variabili I programmi di analisi dei dati offrono la possibilità di calcolare diversi indici in grado di informarci sulla significatività della relazione, la misura dell’associazione, il livello di cograduazione o correlazione tra due variabili, ma è il ricercatore a scegliere l’indice più adatto: al tipo di variabili; alle sue esigenze conoscitive. Metodologia della ricerca sociale

9 Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato
Misurare l’associazione tra due variabili Il test del chi-quadrato (Х2) è un test di “verifica” delle ipotesi che dà conto della significatività della relazione fra due variabili categoriali (non ci dice nulla sulla forza della relazione). Il test rientra nella famiglia dei test delle ipotesi, cioè permette di confrontare un set di dati osservati con il corrispettivo set di dati attesi in base ad un’ipotesi teorica e di stimare la validità di questa ipotesi. Si tratta di falsificare l’ipotesi nulla (H0), ovvero di assenza di relazione statistica fra due variabili. Se l’ipotesi di assenza di relazione viene respinta, automaticamente viene accettata l’ipotesi di ricerca (H1) che sostiene l’esistenza della relazione. Il suo calcolo si basa sul confronto tra: Frequenze osservate: il numero dei casi effettivamente osservati; Frequenze attese: la frequenza teorica che si dovrebbe attendere sulla base dei totali marginali, se tra le due variabili considerate non esistesse alcuna relazione. Metodologia della ricerca sociale

10 Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato
Logica e test del Chi-quadrato Il test del chi-quadrato Х2 si basa sulla differenza tra frequenze osservate e frequenze attese: è dato dalla somma dei quadrati di queste differenze rapportati alle frequenze attese. Se la frequenza osservata è “molto” diversa rispetto alla frequenza che avremmo in caso di mancanza di relazione, allora c’è un associazione tra le due variabili. Il valore del chi-quadrato è tanto maggiore quanto maggiore è la distanza fra la tabella delle frequenze osservate e la tabella delle frequenze attese. È zero nel caso di indipendenza perfetta. Metodologia della ricerca sociale

11 Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato
Logica e test del Chi-quadrato Come si stabilisce se il chi quadrato Х2 indica una relazione significativa? Si confronta il valore calcolato sulla tabella con quello di una distribuzione teorica. La tavola di distribuzione del chi-quadrato ci dice se un certo valore del chi quadrato è sufficientemente piccolo da poter essere attribuito ad errori casuali (ovvero ad una distribuzione casuale delle unità nelle celle della tabella) o se esiste una qualche relazione fra le due variabili e a che livello di probabilità tale relazione è significativa. Il controllo sulle tavole di distribuzione è necessario in quanto, a determinati livelli di probabilità, anche valori del chi-quadrato lontani dallo zero potrebbero rendere compatibile il risultato con l’ipotesi nulla H0 di indipendenza fra le variabili. Metodologia della ricerca sociale

12 g.d.l. = (n. di righe – 1) * (n. di colonne -1)
Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato Come si effettua il controllo del valore ottenuto con quello della tavola di distribuzione? Bisogna innanzitutto calcolare i gradi di libertà di una tabella: g.d.l. = (n. di righe – 1) * (n. di colonne -1) 2. Va individuato il livello di probabilità cui riferirsi; 3. Si confrontano valori calcolati con quelli della tavola di distribuzione del chi-quadrato. In una tabella composta da due variabili ciascuna con quattro modalità: g.d.l. = (4 - 1) * (4 - 1) = 9 In una tabella composta da due variabili ciascuna con due modalità: g.d.l.=(2-1)*(2-1)=1 Convenzionalmente si respinge l’ipotesi nulla di indipendenza (H0) se p ≤ 0,05, cioè se il valore del chi-quadrato Х2 è così grande da avere solo il 5% di probabilità di essere dovuto al caso (cioè ad errori casuali) ed il 95% di essere invece addebitabile ad una relazione fra le variabili. Metodologia della ricerca sociale

13 I gradi di libertà I gradi di libertà sono il numero di valori “liberi di variare”: in una distribuzione di frequenza con k modalità i gradi di libertà sono sempre K-1 (ad esempio per la variabile genere, una volta definito che i maschi sono il 40% e che il totale è 100% le femmine non possono che essere il 60%, per cui c’è un solo grado di libertà dato da 2-1=1; per la variabile età (codificata da 1 a 100 anni e oltre) dobbiamo definire le quote per tutte le altre età perché un valore sia vincolato: i gradi di libertà sono 100-1=99); in una tavola di contingenza il numero di valori liberi di variare è dato da (n. di righe – 1) * (n. di colonne -1) cioè dal prodotto dei g.d.l. delle due distribuzioni: 2 gdl Y Tot a b X 25 ? 40 30 c 60 100 Y Tot a b 25 15 40 10 20 30 5 60 100 1 gdl Y Tot a b X 10 60 70 20 30 80 100 Una volta definito il contenuto di una sola cella tutte le altre sono vincolate. Serve definire il contenuto di due celle perché tutte le altre siano vincolate. Metodologia della ricerca sociale

14 I gradi di libertà: esempi
4 gdl Y Tot a b c X 15 ? 40 30 35 25 100 Y Tot a b c 15 10 40 9 ? 30 11 35 25 100 Y Tot a b c 15 10 40 9 8 13 30 11 7 12 35 25 100 […] g.d.l.= (3-1)*(3-1)= 4 Serve definire il contenuto di quattro celle perché tutte le altre siano vincolate. 6 gdl Y Tot a b c d X 5 ? 21 47 32 20 30 29 100 Y Tot a b c d 5 3 11 2 21 13 9 ? 47 8 32 20 30 29 100 Y Tot a b c d 5 3 11 2 21 13 9 17 8 47 19 32 20 30 29 100 […] g.d.l.= (3-1)*(4-1)= 2*3=6 Serve definire il contenuto di sei celle perché tutte le altre siano vincolate. Metodologia della ricerca sociale

15 Le statistiche bivariate: il test del Chi-quadrato
tanto più alti sono i gradi di libertà della tabella (cioè tanto più numerose sono le modalità delle variabili considerate) tanto più alto dovrà risultare il Х2 per avere un livello di probabilità accettabile; 2. tanto più alto è il livello di probabilità desiderato (e dunque tanto più piccolo è il rischio di errore che si è disposti ad assumere) tanto più elevato dovrà risultare il Х2 per permettere il rifiuto di H0. Metodologia della ricerca sociale

16 Come si calcola il Chi-quadrato
Genere Totale Maschile Femminile Tipo di contratto Part time 56 21 77 Full time 19 44 63 75 65 140 1. Il calcolo delle frequenze attese (fe) sulla base dei marginali e del totale: Genere Femminile Maschile Settore di occupazione Pubblico 75*77/140 65*77/140 Privato 75*63/140 65*63/140 Genere Femminile Maschile Settore di occupazione Pubblico 41,25 35,75 Privato 33,75 29,25 2. Applicazione della formula: Χ2= [(56-41,25)2/41,25]+[(21-35,75)2/35,75]+[(19-33,75)2/33,75]+[(44-29,25)2/29,25] Χ2=5,27 + 6,08 + 6,45 + 7,44 Χ2=25,24 Metodologia della ricerca sociale

17 Come si controlla la significatività del Chi-quadrato
3. Confronto del valore di X2 ottenuto dal calcolo con quello tabulato: Il valore del Х2 ottenuto è maggiore a tutti quelli riportati in tabella per un solo grado di libertà (25,24>7,88), quindi possiamo affermare che la relazione è significativa con un livello di probabilità superiore allo 0,005. Χ2=25,24 g.d.l.= (2-1)*(2-1)=1*1=1 Metodologia della ricerca sociale

18 Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato.
Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato. 1. Assenza di relazione significativa Tabella 2x2 Genere Totale Maschile Femminile Tipo di contratto Part time 29 36 65 Full time 32 35 67 61 71 132 Genere Totale Maschile Femminile Tipo di contratto Part time 47,5 50,7 49,2 Full time 52,5 49,3 50,8 100,0 Chi quadrato 0,131 Sig. 0,717 Metodologia della ricerca sociale

19 Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato.
Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato. 2. Presenza di una relazione significativa Tabella 2x2 Genere Totale Maschile Femminile Tipo di contratto Part time 56 21 77 Full time 19 44 63 75 65 140 Genere Totale Maschile Femminile Tipo di contratto Part time 74,7 32,3 55,0 Full time 25,3 67,7 45,0 100,0 Chi quadrato 25.244 Sig. 0,000 Metodologia della ricerca sociale

20 Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato.
1. Assenza di relazione significativa Tabella 2x3 Genere Totale Femminile Maschile Settore economico di occupazione Primario 45 49 94 Secondario 32 64 Terziario 55 65 120 132 146 278 Genere Totale Femminile Maschile Settore economico di occupazione Primario 34,1 33,6 33,8 Secondario 24,2 21,9 23,0 Terziario 41,7 44,5 43,2 100,0 Chi quadrato 0,299 Sig. 0,861 Metodologia della ricerca sociale

21 Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato.
2. Presenza di una relazione significativa Tabella 2x3 Genere Totale Femminile Maschile Settore economico di occupazione Primario 65 25 90 Secondario 30 55 Terziario 20 85 110 120 230 Genere Totale Femminile Maschile Settore economico di occupazione Primario 59,1 20,8 39,1 Secondario 22,7 25,0 23,9 Terziario 18,2 54,2 37,0 100,0 Chi quadrato 41.699 Sig. 0,000 Metodologia della ricerca sociale

22 Le misure di associazione
Il chi-quadrato ci informa circa la significatività della relazione tra due variabili, ma non ci dice nulla circa la sua intensità (o forza). Perché non è possibile utilizzare il Х2 come misura della forza di una relazione? Semplicemente perché i valori del Х2 sono direttamente proporzionali alla numerosità campionaria: tanto più numerosi sono i casi (più alte le frequenze osservate e attese) tanto più alto sarà il valore dell’indice. Per avere informazioni circa l’intensità della relazione tra due variabili è dunque necessario utilizzare misure di associazione. Le principali misure di associazione si basano però sul Х2, che appare sempre al numeratore o al denominatore. Metodologia della ricerca sociale

23 Le misure di associazione: il Phi
Dato che il Х2 non può essere utilizzato come misura di associazione perché dipende dalla numerosità del campione la soluzione più semplice è quella di rapportarlo al numero di casi: la radice quadrata di questo rapporto è detta Phi: Ф. Tale indice però non è normalizzato, ossia non ha un campo di variazione compreso tra 0 e 1: il suo minimo teorico (che indica l’assoluta indipendenza) è 0, ma il suo massimo varia a seconda delle dimensioni della tabella. Questo rende difficile sia la sua interpretazione che il raffronto con indici diversi (provenienti da altre popolazioni). Metodologia della ricerca sociale

24 Le misure di associazione: la V di Cramer e il C di Pearson
La misura V proposta da Cramèr rapporta il valore del Х2 al suo massimo teorico, (k - 1)*N, dove k è il minore fra il numero di righe e di colonne: L’indice assume valori compresi fra 0 (indipendenza) e 1 (relazione perfetta). La misura C di Pearson, detta anche coefficiente di contingenza, rapporta il valore del Х2 alla somma tra se stesso e il numero di casi: Questo indice non permette una piena confrontabilità fra valori ottenuti con variabili diverse in quanto il limite superiore varia a seconda delle dimensioni della tabella. Metodologia della ricerca sociale

25 Le misure di associazione asimmetriche
Goodman e Kruskal hanno proposto diverse misure di associazione tra variabili nominali basate sul criterio della riduzione proporzionale dell’errore. I calcoli sono complessi, dunque non guarderemo le formule, ma in breve: l’associazione è calcolata come la proporzione di riduzione degli errori di previsione nel prevedere il valore di Y (la variabile dipendente) conoscendo X (la variabile indipendente). L’idea è che se in molti casi conoscere X mi permette di prevedere Y le due variabili sono associate; se invece la conoscenza di X non fa diminuire i miei errori nel prevedere Y le due variabili non sono associate. Naturalmente queste misure assumono un valore diverso a seconda di quale variabile viene scelta come dipendente, per questo sono dette misure di associazione asimmetriche. Le misure più note sono la λ (lambda) e la τ (tau) di Goodman e Kruskal, e si leggono come la quota di errore che la conoscenza della variabile indipendente ci evita di commettere nella previsione della variabile dipendente. Metodologia della ricerca sociale

26 Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato, il Phi e la V. 1. Assenza di relazione significativa Tabella 2x3 Genere Totale Femminile Maschile Settore economico di occupazione Primario 45 49 94 Secondario 32 64 Terziario 55 65 120 132 146 278 Genere Totale Femminile Maschile Settore economico di occupazione Primario 34,1 33,6 33,8 Secondario 24,2 21,9 23,0 Terziario 41,7 44,5 43,2 100,0 Chi quadrato 0,299 Sig. 0,861 Phi 0,033 V di Cramer Metodologia della ricerca sociale

27 Esempi: Relazione tra due variabili categoriali: il Chi-quadrato, il Phi e la V. 2. Presenza di una relazione significativa Tabella 2x3 Genere Totale Femminile Maschile Settore economico di occupazione Primario 65 25 90 Secondario 30 55 Terziario 20 85 110 120 230 Genere Totale Femminile Maschile Settore economico di occupazione Primario 59,1 20,8 39,1 Secondario 22,7 25,0 23,9 Terziario 18,2 54,2 37,0 100,0 Chi quadrato 41.699 Sig. 0,000 Phi 0.426 V di Cramer Metodologia della ricerca sociale

28 La scarsa fortuna delle misure di associazione
Perché nonostante l’ampio utilizzo di variabili nominali nella ricerca sociale nei rapporti di ricerca si incontrano raramente misure di associazione? Perché quasi tutte le misure di associazione, come si è visto, sono insoddisfacenti dal punto di vista della confrontabilità. Perché tutte le misure di associazione presentano dei problemi nella loro interpretazione (mentre la lettura della tabella è semplice e diretta). Perché quando si ha a che fare con variabili nominali può avere poco senso calcolare un’unica misura di associazione, dato che le modalità delle variabili godono di una piena autonomia semantica. Spesso una buona lettura della tavola di contingenza e delle differenze tra percentuali dice molto di più di uno o più indici di associazione. Come vedremo a breve in alcuni casi è inoltre possibile avvalersi di un’altra serie di strumenti legati all’interpretazione della relazione tra variabili in termini di rapporti di probabilità (odds). Metodologia della ricerca sociale

29 Un caso particolare: la tabella 2x2
Il caso in cui si abbia a che fare con due variabili dicotomiche è del tutto particolare: Le misure Φ e V coincidono; Queste due misure coincidono anche con il coefficiente di correlazione r di Pearson (vedi oltre) calcolato assegnando i valori 0 e 1 alle due modalità di ciascuna variabile; sostanzialmente questa particolarità è dovuta al fatto che le tavole 2x2 hanno un solo grado di libertà. Le misure di associazione nella tabella 2x2 si basano sul prodotto incrociato: Cross product = (ad - cb) Y 1 X a b c d Perché? Perché se la relazione è forte i casi si addensano su una delle due diagonali, e se questo accade la differenza tra il prodotto di a per d e quello di b per c sarà elevata. Metodologia della ricerca sociale

30 La tabella 2x2: il Q di Yule
Il Q di Yule è una misura di associazione per tavole 2x2, rapporta il prodotto incrociato alla somma dei prodotti ad e cb: Q= (ad - cb)/(ad + cb) può variare fra -1 e +1; assume il valore 0 in assenza di relazione. Y 1 X a b c d Associazione Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 75 23 122 Privato 32 56 88 107 103 210 Q=[(75*56)-(32*23)]/[(75*56)+(32*23)] Q=0.65 Mancanza di associazione Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 34 42 76 Privato 28 36 64 62 78 140 Q=[(34*36)-(42*28)]/[(34*36)+(24*28)] Q=0.02 Metodologia della ricerca sociale

31 La tabella 2x2: dalle proporzioni agli odds
p= Tx0/T Una proporzione p è un rapporto fra la parte e il tutto. Un odd w(rapporto di probabilità) è il rapporto fra la frequenza di una categoria e quella della categoria alternativa (nel caso di variabili dicotomiche). E’ pari a 1 quando le due modalità della variabile hanno lo stesso peso. w= Tx0/Tx1 Y Totale 1 X a b Tx0 c d Tx1 Ty0 Ty1 T Il passaggio dall’odd alla proporzione e quello contrario sono molto semplici, infatti: w= p /(1-p) e p= w/(1+w). Metodologia della ricerca sociale

32 La tabella 2x2: dalle proporzioni agli odds
Le proporzioni condizionate e i rapporti di probabilità condizionati non sono che proporzioni e odds calcolati per la variabile X entro una sola delle modalità della variabile Y o viceversa. Y Totale 1 X a b Tx0 c d Tx1 Ty0 Ty1 T Le percentuali di riga e di colonna non sono che proporzioni condizionate: a/(a+c)= a/Ty0 b/(b+a)= b/Tx ecc… Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 75 47 122 Privato 32 56 88 107 103 210 Uomini occupati nel pubblico: a/(a+c) /(32+75)=0,701 =70.1% Uomini occupati nel privato: c/(a+c) /(32+75)=0,299 =29.9% Metodologia della ricerca sociale

33 I rapporti di probabilità (odds) condizionati.
I rapporti di probabilità condizionati (odds condizionati) permettono di analizzare quanto le due variabili sono in relazione. Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 75 47 122 Privato 32 56 88 107 103 210 Ad esempio se il rapporto tra uomini e donne occupati nel pubblico fosse uguale a quello nel privato non avremmo ragione di ritenere che ci sia relazione tra il genere e il settore di occupazione, nella tabella invece: Rapporto tra uomini e donne occupati nel pubblico: a/c 75/47=1.59 (per ogni donna occupata nel pubblico ci sono 1,59 uomini) Rapporto tra uomini e donne occupati nel privato: b/d 32/56=0,57 (per ogni donna occupata nel privato ci sono 0,57 uomini) Per poter calcolare gli odds basta che una sola delle due variabili sia dicotomica, ma potranno essere calcolati solo per la variabile dicotomica entro le modalità dell’altra. Metodologia della ricerca sociale

34 Il confronto tra rapporti di probabilità condizionati: l’odds ratio
Genere Totale Maschile Femminile Settore di occupazione Pubblico 75 47 122 Privato 32 56 88 107 103 210 Rapporto tra uomini e donne nel pubblico: a/c 75/47=1,59 Rapporto tra uomini e donne nel privato: b/d 32/56=0,57 I rapporto tra i rapporti di probabilità condizionati (odds ratio) permette di formalizzare il confronto tra odds: odds ratio= (a/b)/(c/d)=ad/bc =1,59/0,57=2,78 Come si legge questo valore? Posto pari a uno il rapporto tra uomini e donne occupati nel privato, lo stesso rapporto nel settore pubblico è quasi triplo (2,78 volte superiore). Il rapporto tra gli odds o rapporto di associazione può assumere valori compresi tra 0 e più infinito, e il valore 1 indica l’assenza di relazione (i due rapporti sono uguali). Per poter calcolare l’odds ratio entrambe le variabili devono essere dicotomiche. Metodologia della ricerca sociale

35 Le misure di cograduazione
Nel caso in cui entrambe le variabili incluse nell’analisi siano variabili ordinali, è possibile utilizzare non solo misure di associazione, ma anche misure di cograduazione. Non solo cioè è possibile analizzare la significatività statistica e la forza della relazione, ma anche la sua forma. Relazione diretta Relazione inversa Anzianità di servizio Totale Bassa Media Alta Reddito da lavoro Anzianità di servizio Totale Bassa Media Alta Reddito da lavoro Cioè è possibile chiedersi: Esiste una relazione tra anzianità di servizio e reddito da lavoro? Quanto è forte la relazione tra anzianità di sevizio e reddito da lavoro? ma anche: Il reddito da lavoro cresce o decresce al crescere dell’anzianità di servizio? Metodologia della ricerca sociale

36 Le misure di cograduazione: il Gamma
Le misure di cograduazione si basano sul confronto fra i valori assunti dalle variabili X ed Y su tutte le possibili coppie di casi, gli esiti possibili di questo confronto sono tre: i casi sono concordanti (P): i valori di X e Y sul caso A sono entrambi maggiori (o entrambi minori) di quelli delle stesse variabili sul caso B; i casi sono discordanti (Q): un caso A ha un valore maggiore di X e uno minore di Y rispetto ad un caso B; i casi sono appaiati: presentano lo stesso valore su X e/o su Y. Se la maggior parte delle coppie è concordante o discordante si è in presenza di una cograduazione. Il coefficiente più noto è il gamma di Goodman e Kruskal (1954) Se γ è uguale a +1 c’è una perfetta relazione positiva, se è uguale a -1 la relazione è negativa. Quando γ è uguale a 0 c’è assenza di relazione (lo stesso numero di coppie discordanti e concordanti). Metodologia della ricerca sociale

37 Le misure di cograduazione: i Tau
Il coefficiente gamma presenta però delle criticità: tende a sovrastimare la forza di un’associazione (perché non considera le coppie appaiate); risente del numero delle modalità delle due variabili (aumenta all’aumentare della sensibilità di una delle classificazione delle variabili categoriali ordinate). Kendall per ovviare a questi limiti ha proposto altre due misure: il Tau-b (o tau q), per le tabelle quadrate; il Tau-c (o tau r), per le tabelle rettangolari. Dove: P sono le coppie concordanti, Q le coppie discordanti, N il numero dei casi e K in numero minore tra quello delle modalità in riga e quello delle modalità in colonna. I coefficienti di Kendal, come il gamma, sono ambedue bidirezionali. Metodologia della ricerca sociale

38 Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-b e il gamma.
Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-b e il gamma. Assenza di cograduazione Tabella 3x3 Anzianità di servizio Totale Bassa Media Alta Tenore di vita Basso 10 12 8 30 28,6% 30,8% 29,4% Medio 13 11 36 34,3% 33,3% 39,3% 35,3% Alto 14 9 37,1% 35,9% 32,1% 35 39 28 102 100,0% Chi quadrato ,335 Sig. ,987 Phi ,057 V di Cramer ,041 Tau-b di Kendall -,023 Gamma -,035 Metodologia della ricerca sociale

39 Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-b e il gamma.
Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-b e il gamma. 2. Cograduazione Tabella 3x3 Anzianità di servizio Totale Bassa Media Alta Reddito da lavoro Basso 24 6 30 68,6% 15,4% 0,0% 29,4% Medio 10 26 4 40 28,6% 66,7% 14,3% 39,2% Alto 1 7 32 2,9% 17,9% 85,7% 31,4% 35 39 28 102 100,0% Chi quadrato 79,703 Sig. ,000 Phi ,884 V di Cramer ,625 Tau-b di Kendall ,710 Gamma ,908 Metodologia della ricerca sociale

40 Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-b e il gamma.
3. Contrograduazione Tabella 3x3 Anzianità di servizio Totale Bassa Media Alta Soddisfazione lavorativa 4 13 15 32 11,4% 33,3% 53,6% 31,4% 10 26 7 43 28,6% 66,7% 25,0% 42,2% 21 6 27 60,0% 0,0% 21,4% 26,5% 35 39 28 102 100,0% Chi quadrato 43,385 Sig. ,000 Phi ,652 V di Cramer ,461 Tau-b di Kendall -,412 Gamma -,566 Metodologia della ricerca sociale

41 Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-c e il gamma.
Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-c e il gamma. Assenza di cograduazione Tabella 4x3 Titolo di studio Totale Nessuno / L. Elementare L. Media Diploma Laurea o superiore Tenore di vita Basso 7 6 10 30 29,2% 31,6% 31,3% 25,9% 29,4% Medio 5 11 36 41,7% 26,3% 34,4% 37,0% 35,3% Alto 8 42,1% 24 19 32 27 102 100,0% Chi quadrato 1,456 Sig. ,962 Phi ,119 V di Cramer ,084 Tau-c di Kendall ,033 Gamma ,045 Metodologia della ricerca sociale

42 Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-c e il gamma.
Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-c e il gamma. 2. Cograduazione Tabella 4x3 Titolo di studio Totale Nessuno / L. Elementare L. Media Diploma Laurea o superiore Reddito da lavoro Basso 18 5 3 4 30 75,0% 26,3% 9,4% 14,8% 29,4% Medio 11 22 40 16,7% 57,9% 68,8% 11,1% 39,2% Alto 2 7 20 32 8,3% 15,8% 21,9% 74,1% 31,4% 24 19 27 102 100,0% Chi quadrato 62,847 Sig. ,000 Phi ,785 V di Cramer ,555 Tau-c di Kendall ,554 Gamma ,679 Metodologia della ricerca sociale

43 Esempi: Cograduazione tra due variabili ordinali: il Tau-c e il gamma.
3. Contrograduazione Tabella 4x3 Titolo di studio Totale Nessuno / L. Elementare L. Media Diploma Laurea o superiore Soddisfazione lavorativa Bassa 1 5 25 32 4,2% 5,3% 15,6% 92,6% 31,4% Media 4 16 23 43 16,7% 84,2% 71,9% 0,0% 42,2% Alta 19 2 27 79,2% 10,5% 12,5% 7,4% 26,5% 24 102 100,0% Chi quadrato 107,399 Sig. ,000 Phi 1,026 V di Cramer ,726 Tau-c di Kendall -,708 Gamma -,825 Metodologia della ricerca sociale

44 Altre misure di cograduazione
D di Sommer, un coefficiente uni-direzionale. Rispetto al gamma, al denominatore troviamo le coppie appaiate, ovvero le coppie formate da casi che hanno lo stesso valore sulla variabile in colonna, considerata dipendente. Il coefficiente D indica la prevalenza di coppie concordanti (cograduate) e discordanti (contrograduate) nell’insieme delle coppie non legate sulla variabile indipendente. Nel caso di variabili ordinali con un elevato numero di modalità (es. graduatorie o valori derivanti da un termometro dei sentimenti) la misura di cograduazione più utilizzata è il ρ (rho) di Spearman: Dove d è la differenza tra i punteggi di un caso sulle due variabili messe in relazione (ad esempio tra le sue posizioni in due diverse graduatorie), e N è la numerosità della popolazione. Metodologia della ricerca sociale