Le basi del calcolo statistico

Presentazione sul tema: "Le basi del calcolo statistico"— Transcript della presentazione:

1 Le basi del calcolo statistico
equilibrio statistico di N particelle su k stati possibili: descrizione del sistema: individuare gli stati possibili (microstati), mediante i relativi numeri quantici calcolare l’energia Ei dell’i-esimo stato calcolare la degenerazione gi dell’i-esimo stato calcolare la probabilità di una certa partizione, cioè in quanti modi si possono disporre Ni particelle sui k stati conservando l’energia totale a disposizione (probabilità di una certa partizione di stati) ipotesi: tutti i microstati accessibili sono egualmente probabili stat-1

2 Microstati e macrostati
n l m E1=-13,6 eV E2=-3,4 E3=-1,6 E4=-0,85 E5=-0,54 E6=-0,38 i 1 2 3 5 4 6 N1 N2 N3 N5 N4 N6 9 25 16 36 gi Microstati e macrostati Esempio: microstati accessibili agli elettroni di atomi di idrogeno per i primi 6 livelli energetici (macrostati) numeri quantici: ni, li, mi livello energetico: Ei degenerazione : gi numero di occupazione: Ni stat-2

3 Statistica di Boltzmann
Esempio: probabilità della partizione Wi= numero di modi in cui si possono disporre Ni particelle sul livello i N1=4 N2=3 N3=5 N4=3 N5=4 N6=2 i 1 2 3 5 4 6 N1 N2 N3 N5 N4 N6 9 25 16 36 gi E1=-13,6 eV E2=-3,4 E3=-1,6 E4=-0,85 E5=-0,54 E6=-0,38 si cerca il massimo di lnW con i vincoli sul numero totale N di particelle e l’energia totale E (massimo vincolato): n l m stat-3

4 Statistica di Boltzmann
metodo dei “moltiplicatori di Lagrange” si richiede che sia nullo ogni termine della sommatoria formula di Stirling: lnx! = x lnx - x  ha le dimensioni dell’inverso di una energia  =1/ kBT kB=costante di Boltzmann, T=temperatura assoluta gi fattore di “spazio delle fasi” fBol (E,T) = e-E/kT funzione di distribuzione di Boltzmann stat-4

5 La distribuzione in energia di elettroni di atomi di idrogeno
Esempio: distribuzione sui livelli energetici di atomi di idrogeno a T=50000K (temperatura di una stella?) kBT = 8,6 10-5 eV K-1 5  104 K = 4,3 eV La distribuzione in energia di elettroni di atomi di idrogeno i gi Ei fBlz(Ei,T) gi fBlz (eV) (e-E/kT ) , , , , , , , , , , , g fBlz 5  104 K fBz Per avere la probabilità di occupazione dello stato occorre dividere per la funzione di partizione Z (“Zustand Summe”): stat-5

6 La distribuzione in energia di elettroni di atomi di idrogeno a diverse temperature
fBz 6,5  103 K ln(g fBlz) T (K) kBT (eV) ,55 ,85 ,25 scala logaritmica fBz 5  104 K ln(g fBlz) fBz 104 K ln(g fBlz) stat-6