Il problema del dizionario

Presentazione sul tema: "Il problema del dizionario"— Transcript della presentazione:

1 Il problema del dizionario
Oggetto key … … … … chiave dati “satellite” x = puntatore all’oggetto Dizionario = insieme dinamico di oggetti che consente di effettuare le operazioni di ricerca, inserimento, cancellazione. Search(S,k) – dato un insieme S ed un valore chiave k restituisce un puntatore x ad un elemento in S tale che key[x] = k Insert(S,x) – inserisce in S l’elemento puntato da x Delete(S,x) - rimuove da S l’oggetto puntato da x Ci chiediamo qual è la migliore realizzazione possibile per un dizionario.

2 (chiave) (dati satellite)
Esempio Dizionario per la gestione del corso di algoritmi Nome Voto Parziale (chiave) (dati satellite) Bravino Lasfanga Svogliatelli Secchioni Modesto … Metodo più semplice  array non ordinato In questo caso: Insert  costa O(1) - inserisco dopo Modesto Search  costa O(n) – devo scorrere la tabella Delete  costa O(n) - delete = search + trasferimento

3 Possiamo ridurre il tempo di esecuzione della operazione
di ricerca? Il problema della ricerca di un elemento in un array non ordinato ha delimitazione inferiore (n) INFATTI Ogni algoritmo deve, nel caso peggiore, guardare tutti gli elementi dell’insieme per accertarsi o meno della presenza dell’elemento cercato. L’operazione di ricerca costa meno in un array ordinato. Posso usare il metodo di ricerca per dimezzamenti successivi

4  Il metodo di ricerca per dimezzamenti successivi è ottimale.
La ricerca per dimezzamenti successivi ha un costo O(log(n)). Posso fare meglio? NO! Ogni algoritmo per la ricerca di un elemento in un insieme di n elementi richiede (log(n)) confronti. Infatti: - Ogni algoritmo deve restituire la posizione dell’elemento tra le n possibili; Ad ogni algoritmo posso associare un albero di decisione; L’albero di decisione deve avere n foglie; L’altezza dell’albero fornisce un lower bound alla complessità di un generico algoritmo; Il numero di foglie di un albero di altezza h è al più 2h Quindi: n < 2h  h > log2(n) Per un generico algoritmo T(n) = ( log2(n))  Il metodo di ricerca per dimezzamenti successivi è ottimale.

5 RICAPITOLANDO: gestione “banale” del dizionario
Array Ordinato Search – O(log(n)) Insert – O(n) Ho bisogno di: O(log(n)) confronti  per trovare la giusta posizione in cui inserire l’elemento O(n) trasferimenti  per mantenere l’array ordinato (Ricorda che O(n) + O(log(n)) = O(n)) Delete - O(n) (come per Insert) Array non Ordinato Search – O(n) Insert – O(1) Delete - O(n) Lista non Ordinata Search – O(n) Insert – O(1) Delete - O(n) Lista Ordinata Search – O(n) Costerebbe comunque n (non posso fare dim. successivi) Insert – O(n) Devo mantenere ordinata la lista Delete - O(n)

6 Alberi binari di ricerca (ABR)
key p left right Nodo chiave x = puntatore al nodo Albero binario insieme di nodi (record) caratterizzato da quattro campi: key[x] (chiave), p[x] (puntatore al padre), left[x] (puntatore al figlio sinistro), right[x] (puntatore al figlio destro). root[T]  Puntatore alla radice dell’albero x = puntatore nodo left[x] = NIL (il nodo non ha figlio sinistro) right[x] = NIL (il nodo non ha figlio destro) Un albero binario di ricerca (ABR) è una albero binario in cui le chiavi dei vari nodi soddisfano la seguente proprietà: PROPRIETA’ dell’ABR Sia x un nodo generico di un ABR. Se y è un nodo del sotto-albero sinistro di x allora: key[y] < key[x] Se y è un nodo del sotto-albero destro di x allora: key[y] > key[x]

7 Alberi binari di ricerca
Ordinamento decrescente 15 Ordinamento crescente 6 18 3 7 17 20 massimo 2 4 13 minimo 9

8 Le proprietà di un ABR determinano un ordinamento totale …
massimo minimo Verifichiamo… 15 6 18 3 7 17 20 massimo 2 4 13 minimo 9

9 key[left[root[T]]] < key[root[T]] < key[right[root[T]]]
Visita di un ABR Visita in ordine simmetrico – dato un nodo x, elenco prima il sotto-albero sinistro di x, poi il nodo x, poi il sotto-albero destro. Inorder-tree-walk(x) If (x  NIL) then Inorder-tree-walk(left[x]) stampa key[x] Inorder-tree-walk(right[x]) Verifica di correttezza – Supponiamo,per semplicità, che l’albero sia completo. Indichiamo con h l’altezza dell’albero. Vogliamo mostrare che Inorder-tree-walk(x) restituisce la sequenza ordinata h=1  Successione parametri chiamate root[T] Left[root(T)] right[root(T)] NIL NIL NIL NIL key[left[root[T]]] < key[root[T]] < key[right[root[T]]]

10 Verifica correttezza (continua …)
h = generico (ipotizzo che la procedura sia corretta per h-1) root[T] Left[root(T)] right[root(T)] Albero di altezza h-1. Tutti i suoi elementi sono minori o uguali della radice Albero di altezza h-1. Tutti i suoi elementi sono maggiori o uguali della radice Analisi complessità La complessità della procedura considerata è T(n) = (n). Matematicamente …… T(n) = 2 T(n/2) + c Intuitivamente …… La procedura è chiamata un numero di volte pari al numero di nodi dell’albero (e ad ogni chiamata effettua un numero costante di operazioni).