Capitolo 11 Grafi e visite di grafi Algoritmi e Strutture Dati.

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1 Capitolo 11 Grafi e visite di grafi Algoritmi e Strutture Dati

2 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 2 Origini storiche Nel 1736, il matematico Eulero, affrontò lannoso problema dei 7 ponti di Königsberg (Prussia): E possibile o meno fare una passeggiata che parta da un qualsiasi punto della città, percorra una ed una sola volta ciascuno dei 7 ponti, e ritorni quindi al punto di partenza???

3 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 3 Origini storiche (2) Eulero affrontò il problema schematizzando topologicamente la pianta della città, epurando così listanza da insignificanti dettagli geometrici …e così Königsberg venne rappresentata con un insieme di 4 punti (uno per ciascuna zona della città), opportunamente uniti da 7 linee (una per ciascun ponte) A B C D A B C D

4 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 4 Definizione Un grafo G=(V,E) consiste in: - un insieme V di vertici (o nodi) - un insieme E di coppie di vertici, detti archi o spigoli: ogni arco connette due vertici Esempio 1: V={persone che vivono in Italia}, E={coppie {x,y} tali che x e y si sono stretta la mano} Esempio 2: V={persone che vivono in Italia}, E={coppie (x,y) tale che x ha inviato una mail a y}

5 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 5 Terminologia (1/3) Esempio 1: relazione simmetrica grafo non orientato Esempio 2: relazione non simmetrica grafo orientato L ed I sono adiacenti (L,I) è incidente ad L e ad I (detti estremi) I ha grado 4: (I)=4 n = numero di vertici m = numero di archi (v)=2m v V Il grafo ha grado 7 = max v V { (v)}

6 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 6 Terminologia (2/3) è un cammino (semplice) nel grafo (non orientato) di lunghezza 5 Se il grafo è orientato, il cammino deve rispettare il verso di orientamento degli archi La lunghezza del più corto cammino tra due vertici si dice distanza tra i due vertici: L ed A hanno distanza 4 Se esiste un cammino per ogni coppia di vertici, allora il grafo si dice connesso Un cammino da un vertice a se stesso si dice ciclo (ad esempio, è un ciclo)

7 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 7 Terminologia (2/3) Un grafo H=(V,E) è un sottografo di G=(V,E) V V e E E. Il sottografo indotto da un insieme di vertici V V è il grafo H[V]=(V,E) ove E={(x,y) E t.c. x,y V}. Grafo completo: è un grafo tale che per ogni coppia di nodi esiste un arco che li congiunge. Il grafo completo con n vertici verrà indicato con K n |E|=n·(n-1)/2 Grafo pesato: è un grafo G=(V,E,w) in cui ad ogni arco viene associato un valore definito dalla funzione peso w (definita su un opportuno insieme, di solito i reali).

8 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 8 Un grafo speciale: lalbero Un albero è un grafo connesso ed aciclico Sia T=(V,E) un albero; allora |E|=|V|-1. Infatti, per induzione su |V|: |V|=1 |E|=0=|V|-1; Supposto vero per |V|=k-1>1, sia T un albero di k nodi; poiché T è connesso ed aciclico, ha almeno una foglia (cioè un nodo di grado 1); allora, rimuovendo tale nodo e larco associato, si ottiene ancora un grafo connesso ed aciclico, cioè un albero, di k-1 nodi, che per ioptesi induttiva ha k-2 archi; ne consegue che T ha k-1 archi.

9 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 9 Il problema dei 7 ponti Teorema di Eulero: Un grafo G=(V,E) (connesso) è percorribile (oggi si direbbe Euleriano) se e solo se ha tutti i nodi di grado pari, oppure se ha esattamente due nodi di grado dispari. NOTA: Un grafo con tutti i nodi di grado pari può essere percorso partendo da un qualsiasi nodo (e terminando quindi su di esso). Invece, per percorrere un grafo avente due nodi di grado dispari e tutti gli altri di grado pari, è necessario partire da uno qualsiasi dei due nodi di grado dispari, e terminare quindi sullaltro nodo di grado dispari. Il problema dei 7 ponti non ammette soluzione, in quanto i 4 nodi hanno tutti grado dispari!

10 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 10 Approfondimento: Grafi bipartiti E un grafo G=(V=(A,B),E) tale che ogni arco ha come estremi un nodo in A ed un nodo in B. Con K a,b si indica il grafo bipartito completo in cui |A|=a e |B|=b, ovvero tale che per ogni x A ed y B, (x,y) E. Domanda: K 3,3 è planare (si può cioè disegnare senza che vi siano intersezioni di archi)? E K 4 ? E K 5 ? Domanda: gli alberi sono grafi bipartiti?

11 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 11 Strutture dati per rappresentare grafi

12 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 12 Grafi non orientati

13 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 13 Grafi orientati

14 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 14 Prestazioni della lista di archi

15 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 15 Prestazioni delle liste di adiacenza

16 Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. ItalianoAlgoritmi e strutture dati Copyright © 2004 - The McGraw - Hill Companies, srl 16 Prestazioni della matrice di adiacenza