Laboratorio del 29/09/05 Processi AR

Laboratorio del 29/09/05 Processi AR
Esercizio proposto: Processo reale AR(1) con autocorrelazione Rappresentazione di una possibile realizzazione, grafico del coefficiente di autocorrelazione e della densità spettrale di potenza al variare di Uso delle istruzioni: randn, filter, plot e stem

Generazione di rumore Gaussiano bianco w=sigmaw*randn(1,N); Generazione sequenziale di dati correlati tramite l’istruzione filter a(1)=1; a(2)=-ro; b(1)=1; x=filter(b,a,w);

Realizzazione Processo passa-alto

Coefficiente di correlazione
Laboratorio del 29/09/ Processi AR Coefficiente di correlazione Processo passa-alto

PSD Processo passa-alto

Esercizio proposto: Sia dato un processo AR(2) che soddisfa all’equazione alle differenze Detti i poli del sistema, calcolare la relazione tra tali poli ed i coefficienti dell’eq. alle differenze. Verificare tale relazione tramite l’istruzione matlab poly per continua

Rappresentare una possibile realizzazione del processo al variare del modulo e della fase dei poli, supponendo che w(n) sia rumore Gaussiano bianco con varianza unitaria. Utilizzare l’istruzione filter; Calcolare l’espressione della densità spettrale di potenza (DSP) del processo, verificarne l’esattezza tramite le istruzione matlab poly e polyval; Fare il grafico della DSP al variare del modulo e della fase dei poli. continua

Calcolare in forma chiusa l’espressione della correlazione del processo; Verificare il risultato tramite IFFT della DSP del processo; Fare il grafico della funzione di autocorrelazione al variare del modulo e della fase dei poli.

Realizzazione Processo passa-banda

PSD Processo passa-banda

Funzione di correlazione
Laboratorio del 6/10/ Processi AR Funzione di correlazione Processo passa-banda

Realizzazione

PSD

Funzione di correlazione
Laboratorio del 6/10/ Processi AR Funzione di correlazione

Laboratorio del 13/10/05 Media campionaria
Esercizio proposto: Stima del valor medio di un processo Gaussiano a valor medio  Calcolo dell’RMSE al variare del numero di campioni N, istogramma della ddp della stima Uso dell’istruzione: hist

L’RMSE diminuisce all’aumentare di N
Laboratorio del 13/10/ Media campionaria L’RMSE diminuisce all’aumentare di N

Laboratorio del 13/10/05 Media campionaria

Laboratorio del 20/10/05 Stima ML
Esercizio proposto: Stima congiunta del valor medio e della varianza di un processo Gaussiano a valor medio  e varianza unitaria Calcolo della polarizzazione e dell’RMSE al variare del numero di campioni N

RMSE dello stimatore ML del valor medio
Laboratorio del 20/10/ Stima ML RMSE dello stimatore ML del valor medio

Polarizzazione dello stimatore ML del valor medio
Laboratorio del 20/10/ Stima ML Polarizzazione dello stimatore ML del valor medio

RMSE dello stimatore ML della varianza
Laboratorio del 20/10/ Stima ML RMSE dello stimatore ML della varianza

Polarizzazione dello stimatore ML della varianza
Laboratorio del 20/10/ Stima ML Polarizzazione dello stimatore ML della varianza

Laboratorio del 27/10/05 ML vs MAP
Esercizio proposto: Calcolo dell’MSE della stima ML e MAP di A al variare del numero di campioni N per SNR=-4 dB; Calcolo dell’MSE della stima ML e MAP di A al variare del rapporto segnale-rumore SNR per N=4; Grafici di confronto.

SNR=-4 dB

N= 4

Conclusioni All’aumentare di N lo stimatore MAP tende allo stimatore ML (informazioni a posteriori dominanti) All’aumentare di SNR lo stimatore MAP tende allo stimatore ML

Stima ML dei parametri di una cosinusoide immersa in rumore termico

Limiti di Cramér-Rao dove

Esercizio proposto: implementazione della stima ML calcolo degli RMSE al variare di N confronto con i CRLB istruzioni: fft, angle, max

Laboratorio del 17/11/05 Filtro di Wiener
Modello del segnale e dell’osservato w(n) rumore di generazione v(n) rumore di osservazione indipendente dal s(n)

IIR causale: Si può dimostrare che dove se se

FIR a 3 prese E’ necessario risolvere questo sistema

Esercizio proposto: implementazione del filtro di Wiener IIR causale implementazione del filtro FIR a tre prese confronto tra le risposte impulsive e in frequenza dei due filtri confronto fra le uscite dei due filtri istruzioni: filter, inv

SNR=10 dB =-0.9

SNR=10 dB =0.99

SNR=0 dB =0.99

Conclusioni:  diminuisce all’aumentare di SNR Per SNR - (dB) =, h(n)=0 e cioè pari al suo valor medio All’aumentare di SNR  si allontana da  e tende a 0. La banda aumenta e il guadagno del filtro IIR aumenta. Se SNR  il polo si sposta nell’origine, =0 e il filtro di Wiener diventa passa-tutto.

Laboratorio del 24/11/05 Filtro di Kalman scalare
Stimatore: Guadagno del filtro: MSE della stima al passo n: Inizializzazione:

Esercizio proposto: implementazione del filtro di Kalman scalare per processi stazionari e c=1 grafico del segnale generato, della stima e dell’errore di stima al variare di SNR e di a

SNR=0 dB a=0.99

SNR=-10 dB a=0.99

SNR=0 dB a=0.99

Laboratorio del 1/12/05 Criterio di decisione MAP
Segnalazione on-off dove: in notazione vettoriale:

Esercizio proposto: implementazione del filtro adattato grafico del segnale all’ingresso e all’uscita del filtro adattato al variare del tempo in presenza di rumore bianco calcolo della probabilità d’errore teorica e confronto con quella ottenuta tramite simulazione Monte Carlo in funzione del rapporto segnale-rumore istruzioni: conv, erfc

Filtro adattato N=8 SNR=10 dB

Probabilità d’errore N=8

Laboratorio del 15/12/05 Stima spettrale
Sequenza dei dati utili di lunghezza N rumore Gaussiano bianco a varianza unitaria Esercizio proposto: Calcolo del periodogramma dei dati al variare di N. Considerazioni sulla non consistenza dello stimatore istruzioni: periodogram

N=64 N=1024

Sequenza dei dati utili dove rumore Gaussiano bianco a varianza =10-3

Esercizio proposto: Risoluzione: si supponga A1=A2=1 e N=64. Calcolare il periodogramma della sequenza di dati per =0.1, 0.9 e 2 e commentare l’abilità del periodogramma a risolvere le righe spettrali. Leakage: si supponga A1=1 e N=64 e si vari il valore di A2, per es. A2=0.5, 0.1, Calcolare il periodogramma per =4 e commentare l’abilità del periodogramma a risolvere le righe spettrali. In entrambi i casi disegnare il periodogramma in scala semilogaritmica istruzioni: periodogram

Risoluzione =0.1 =2

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