ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI

Presentazione sul tema: "ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI"— Transcript della presentazione:

1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI
LEZIONE N° 8 ALGEBRA BOOLEANA Postulati Principio di dualità Teoremi fondamentali A.S.E.

2 Richiami Insieme di elementi Variabili, costanti Insieme di operazioni
Insieme di postulati Espressioni algebriche Tabella di verità Espressione algebrica vs. Tabella di verità Tabella di verità vs. Espressione algebrica A.S.E.

3 Postulati di HUNTINGTON (1)
Esistono un dominio”B” costituito almeno da due elementi e due operatori binari (cioè che operano su due elementi) (+) e (·) tali che: Se x e y sono elementi di “B”, allora x +y è un elemento di “B”. L’operazione eseguita da (+) prende il nome di SOMMA LOGICA. Se x e y sono elementi di “B”, allora x ·y è un elemento di “B”. L’operazione eseguita da (·) prende il nome di PRODOTTO LOGICO. A.S.E.

4 Postulati di HUNTINGTON (2)
ELEMENTI IDENTITÀ Sia x un elemento di “B” Esiste in “B” un elemento “0”, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a (+) tale che risulti x + 0 = x . Esiste in “B” un elemento “1”, chiamato ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a (·) tale che risulti x · 1 = x . A.S.E.

5 Postulati di HUNTINGTON (3)
Proprietà COMMUTATIVA Esiste la proprietà commutativa rispetto alla somma logica: x + y = y + x Esiste la proprietà commutativa rispetto al prodotto logico: x · y = y · x A.S.E.

6 Postulati di HUNTINGTON (4)
Proprietà DISTRIBUTIVA Il prodotto logico è distributivo rispetto all’addizione : x · (y + z ) = (x · y ) + (x · z ) La somma logica è distributiva rispetto al prodotto: x + (y · z ) = (x + y ) · (x + z ) A.S.E.

7 Postulati di HUNTINGTON (5)
COMPLEMENTAZIONE Se x è un elemento di ”B”, allora esiste un altro elemento x , detto COMPLEMENTO di x, che soddisfa le proprietà: x + x = 1 x · x = 0 x realizza l’operazione di complemento di x A.S.E.

8 Riassunto POSTULATI A.S.E.

9 Osservazioni Alcune proprietà dell’algebra booleana sono vere anche nell’algebra normalmente usata: Proprietà commutativa Proprietà distributiva del prodotto logico Altre proprietà non sono vere : Proprietà distributiva della somma logica L’operazione complemento logico esiste solo nell’algebra booleana La sottrazione e la divisione non esistono nell’algebra booleana A.S.E.

10 Principio di DUALITÀ Da un’osservazione dei postulati precedenti si osserva che quelli “b” si ottengono da “a” Scambiando i due operatori binari fra loro, (+) con (·) e (·) con (+) Scambiando fra loro i due elementi identità, 1 con 0 e 0 con 1 A.S.E.

11 TEOREMI FONDAMENTALI Tecniche di dimostrazione dei teoremi
Impiego dei postulati fondamentali Uso di teoremi precedentemente dimostrati Dimostrazione per assurdo (si ipotizza verificata l’ipotesi opposta a quella desiderata e si conclude che non è possibile che sia vera) Dimostrazione per induzione (se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1 variabili allora è vera per qualunque n) A.S.E.

12 Teorema 1 1a 1b Dimostrazione Dimostrazione Per Dualità A.S.E.

13 Teorema 2 (Involuzione)
Il complemento del complemento è l’elemento stesso Dimostrazione ……………… A.S.E.

14 Teorema 3 (Idempotenza)
3a 3b Dimostrazione Dimostrazione per dualità A.S.E.

15 Teorema 4 (assorbimento)
4a 4b Dimostrazione Dimostrazione per dualità A.S.E.

16 Teorema 5 (semplificazione)
5a 5b Dimostrazione Dimostrazione A.S.E.

17 Teorema 6 (Legge Associativa)
6b A.S.E.

18 Teorema 7 (Consenso) 7a Dimostrazione 7b A.S.E.

19 Teorema 8 (Teorema di DE MORGAN)
8a 8b A.S.E.

20 Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale metodo prende il nome di Metodo dell’INDUZIONE PERFETTE A.S.E.

21 Teorema 8 (dimostrazione)
8a 8b x y x+y ( x+y) x • y 1 x y x • y ( x •y) x + y 1 A.S.E.

22 Riassunto TEOREMI A.S.E.

23 Conclusioni I 5 Postulati dell’algebra Booleana Principio di dualità
Teoremi fondamentali Induzione Perfetta A.S.E.