A.S.E.9.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 9 Algebra BOOLEANA a due valori Sistema matematico formaleSistema matematico formale Elementi,

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1 A.S.E.9.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 9 Algebra BOOLEANA a due valori Sistema matematico formaleSistema matematico formale Elementi, operazioniElementi, operazioni Verifica postulatiVerifica postulati Espressioni algebricheEspressioni algebriche Tabella di veritàTabella di verità

2 A.S.E.9.2 Definizione di B Elementi (2) [Algebra delle commutazioni]Elementi (2) [Algebra delle commutazioni] 0 (logico)1 (logico)0 (logico)1 (logico) FalsoVeroFalsoVero Livello logico BassoLivello logico AltoLivello logico BassoLivello logico Alto 0 V5 V0 V5 V Costanti Possono assumere due valoriCostanti Possono assumere due valori VariabiliPossono assumere due valoriVariabiliPossono assumere due valori

3 A.S.E.9.3 Definizione di OR OperazioneOperazione –OR o SOMMA LOGICA definizionedefinizione –loperazione OR è definita dalla tabella x+y y01 x 001 111 xyx+y000 011 101 111

4 A.S.E.9.4 Osservazioni 1. x y è uguale a 0 se e solo se x e y sono uguali a 0, altrimenti x y è uguale a 1 2.Si può estendere a n variabili: x 1 x 2 x n è uguale 0 se e solo se x 1 x 2 x n sono uguali a 0 La funzione OR corrisponde al concetto:La funzione OR corrisponde al concetto: perché un evento si verifica è sufficiente che una sola condizioni sia verificata

5 A.S.E.9.5 Definizione di AND OperazioneOperazione –AND o PRODOTTO LOGICO DefinizioneDefinizione –loperazione AND è definita dalla tabella xy x y 000 010 100 111 y01 x000 101

6 A.S.E.9.6 Osservazioni 1. x y è uguale a 1 se e solo se x e y sono uguali a 1, altrimenti x y è uguale a 0 2.Si può estendere a n variabili: x 1 x 2 x n è uguale 1 se e solo se x 1 x 2 x n sono uguali a 1 La funzione AND corrisponde al concetto:La funzione AND corrisponde al concetto: un evento si verifica se e solo se tutte le condizioni sono verificate

7 A.S.E.9.7 NOT OperazioneOperazione –NOT o Complemento Logico, o Negazione, o Inversione OsservazioneOsservazione –In base alla definizione iniziale si ha x x01 10

8 A.S.E.9.8 Verifica P1 Le funzioni AND e OR sono chiuseOKLe funzioni AND e OR sono chiuseOK –Per qualunque valore degli ingressi le funzioni sono definite –I valori delle uscite appartengono a B x y y01 x 000 101 x+y y01 x001 111

9 A.S.E.9.9 Verifica P2 0 elemento identità della funzione OR e 1 elemento identità della funzione AND0 elemento identità della funzione OR e 1 elemento identità della funzione AND OKOK –Nella OR per x = 0 (y = 0) le uscite coincidono con y (x) –Nella AND per x = 1 (y = 1) le uscite coincidono con y (x) x y y01 x 000 101 x+y y01 x001 111

10 A.S.E.9.10 Verifica P3 Le funzioni OR e AND sono commutativeLe funzioni OR e AND sono commutative OK OK –Le tabelle sono simmetriche rispetto alla diagonale principale x y y01 x 000 101 x+y y01 x001 111

11 A.S.E.9.11 Verifica P4 Le funzioni OR e AND sono distributiveLe funzioni OR e AND sono distributive OKOK Metodo dellinduzione perfettaMetodo dellinduzione perfettaxyzyzx+yzx+yx+z(x+y)(x+z)y+zx(y+z)xyxzxy+xz0000000000000 0010001010000 0100010010000 0111111110000 1000111100000 1010111111011 1100111111101 1111111111111

12 A.S.E.9.12 Verifica P5 Il complemento di x deve soddisfarte le condizioniIl complemento di x deve soddisfarte le condizioni OKOK Metodo dellinduzione perfettaMetodo dellinduzione perfettax x x + x x x 0110 1010

13 A.S.E.9.13 Funzione logica (o Boleana) Una funzione Boleana (completa)Una funzione Boleana (completa) è una legge che fa corrispondere un valore logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori x 1,…..,x n. La funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentaliLa funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentali

14 A.S.E.9.14 Osservazioni Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche noteNelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche note Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) ORFra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OR La gerarchia prima descritta consente di ridurre luso di parentesi nelle funzioni logicheLa gerarchia prima descritta consente di ridurre luso di parentesi nelle funzioni logiche

15 A.S.E.9.15 Tabella di Verità 1 Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di:Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di: TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE) OsservazioneOsservazione Una funzione di n variabili ammette 2 n possibili configurazioniUna funzione di n variabili ammette 2 n possibili configurazioni Una funzione di n variabili è completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2 n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzioneUna funzione di n variabili è completamente descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2 n possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o1) a secondo del valore della funzione

16 A.S.E.9.16 Tabella di verità 2 Funzione di tre variabiliFunzione di tre variabilixyzu000 f (0,0,0) 001 f (0,0,1) 010 f (0,1,0) 011 f (0,1,1) 100 f (1,0,0) 101 f (1,0,1) 110 f (1,1,0) 111 f (1,1,1)

17 A.S.E.9.17 Esempio xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

18 A.S.E.9.18 Passo 1 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

19 A.S.E.9.19 Passo 2 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

20 A.S.E.9.20 Passo 3 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

21 A.S.E.9.21 Passo 4 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

22 A.S.E.9.22 Passo 5 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

23 A.S.E.9.23 Passo 6 xyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

24 A.S.E.9.24 Finexyzxy x + y x + z (x + y )(x + z ) yzu0001111101 0011111101 0101001000 0111001011 1000110000 1010111101 1100010000 1110011111

25 A.S.E.9.25 Osservazione La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabiliLa tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili Tale proprietà è stata utilizzata nelTale proprietà è stata utilizzata nel Metodo dellINDUZIONE PERFETTEMetodo dellINDUZIONE PERFETTE

26 A.S.E.9.26 Teorema 8 (dimostrazione) 8a8b8a8bxyx+y ( x+y) xy x y 0001111 0110100 1010010 1110000 xy ( x y) xy x + y 0001111 0101101 1001011 1110000

27 A.S.E.9.27 Tabella dei Prodotti e delle Somme n = 3 nxyzps 0000 x y z x y z p0p0p0p01 x + y + z s0s0s0s00 1001 x y z x y z p1p1p1p11 x + y + z s1s1s1s10 2010 x y z x y z p2p2p2p21 x + y + z s2s2s2s20 3011 x y z x y z p3p3p3p31 x + y + z s3s3s3s30 4100 x y z p4p4p4p41 x + y + z x + y + z s4s4s4s40 5101 x y z p5p5p5p51 x + y + z x + y + z s5s5s5s50 6110 x y z p6p6p6p61 x + y + z x + y + z s6s6s6s60 7111 x y z p7p7p7p71 x + y + z x + y + z s7s7s7s70

28 A.S.E.9.28 Definizioni 1 LETTERALELETTERALE –Variabile complementata o non complementata presente nella formula FORMA NORMALE DISGIUNTIVAFORMA NORMALE DISGIUNTIVA –Somma di prodotti FORMA NORMALE CONGIUNTIVAFORMA NORMALE CONGIUNTIVA –Prodotto di somme

29 A.S.E.9.29 Definizione 2 MINTERMINE p i è una funzione (prodotto) che vale 1 in corrispondenza alla sola configurazione i di valori delle variabiliMINTERMINE p i è una funzione (prodotto) che vale 1 in corrispondenza alla sola configurazione i di valori delle variabili MAXTERMINE s i è una funzione (somma) che vale 0 in corrispondenza alla sola configurazione i di valori delle variabiliMAXTERMINE s i è una funzione (somma) che vale 0 in corrispondenza alla sola configurazione i di valori delle variabili

30 A.S.E.9.30 Forma Canonica Somma di Prodotti SP xyzu 0001 p0p0p0p0 0011 p1p1p1p1 0100 0111 p3p3p3p3 1000 1011 p5p5p5p5 1100 1111 p7p7p7p7

31 A.S.E.9.31 Forma Canonica Prodotto di Somme PS xyzu 0001 0011 0100 s2s2s2s2 0111 1000 s4s4s4s4 1011 1100 s6s6s6s6 1111

32 A.S.E.9.32 Osservazioni La legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica SP o PS deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOTLa legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica SP o PS deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOT Una stessa funzione logica può essere scritta in molta formeUna stessa funzione logica può essere scritta in molta forme La manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremiLa manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremi

33 A.S.E.9.33 Conclusioni Algebra BOLEANAAlgebra BOLEANA Insieme di elementiInsieme di elementi Variabili, costantiVariabili, costanti Insieme di operazioniInsieme di operazioni Insieme di postulatiInsieme di postulati Espressioni algebricheEspressioni algebriche Tabella di veritàTabella di verità Espressione algebrica vs. Tabella di veritàEspressione algebrica vs. Tabella di verità Tabella di verità vs. Espressione algebricaTabella di verità vs. Espressione algebrica