Flusso Massimo Applicazione Algoritmi Esercizio 1 Sia dato la seguente rete di flusso, in cui la sorgente è il nodo 1 e la destinazione è il nodo 6. I.

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1 Flusso Massimo Applicazione Algoritmi Esercizio 1 Sia dato la seguente rete di flusso, in cui la sorgente è il nodo 1 e la destinazione è il nodo 6. I valori riportati vicino agli archi sono le capacità superiori 16 2 3 4 5 8 8 6 11 3 7 9 14 Si determini il flusso massimo applicando lalgoritmo Capacity Scaling. (continua) 3 5

2 Indicare chiaramente il momento in cui inizia ciascuna fase, riportando il corrispondente valore Δ. Ad ogni iterazione di ciascuna fase mostrare: il grafo residuo, relativo al flusso corrente; il cammino aumentante determinato e la sua capacità; Il valore del flusso attuale. Al termine dellultima (iterazione dellultima-) fase, mostrare il flusso di valore massimo (cioè il vettore x dei flussi sugli archi) e il taglio minimo ottenuti. Nota: non si richiede di applicare specifici algoritmi per la ricerca dei cammini aumentanti.

3 FASE 1: Δ = 8 Iterazione 1 Cammino aumentante: (1,2,4,5,6). Capacità: 8. Valore del flusso: 8. 16 2 3 4 5 8 8 6 11 3 7 9 14 3 5 Determinazione di Δ: Δ = 2 3 = 8 < U =14 < 2 4 = 16

4 16 2 3 4 5 8 6 3 7 1 3 5 Valore del flusso attuale: 8. Grafo residuo corrispondente : 8 6 8 8 8 3 FINE FASE 1: Δ = 8 Nota: 3 è lunico nodo raggiungibile con un cammino di capacità non inferiore a 8

5 FASE 2: Δ= 4 16 2 3 4 5 8 6 3 7 1 3 5 8 6 8 8 8 3 Cammino aumentante trovato: (1,3,5,4,6). Capacità: 6. Valore del flusso: 14 Nuovo grafo residuo 16 2 3 4 5 2 6 3 1 7 3 5 8 6 8 2 8 3 6 6 Nota: esistono anche i cammini aumentanti (1,3,5, 6) (sempre con capacità 6) e (1,3,4, 6) (con capacità 5); secondo le specifiche dellesercizio, i tre cammini sono ugualmente corretti Prima iterazione

6 16 2 3 4 5 2 3 1 7 3 5 FINE FASE 2: Δ = 4 Valore del flusso attuale: 14. Grafo residuo corrispondente : 8 6 8 2 8 3 6 6 6

7 16 2 3 4 5 2 3 1 7 3 5 8 6 8 2 8 3 6 6 6 FASE 3: Δ = 2 Prima iterazione Cammino aumentante trovato: (1,2,3,4,5,6). Capacità: 3. Valore del flusso: 17 16 2 3 4 5 2 6 3 1 4 3 2 3 11 5 6 6 3 Nuovo grafo residuo Nota: esiste anche il cammino aumentante (1,3,4,5, 6) con capacità 2

8 FASE 3: Δ = 2 Seconda iterazione Cammino aumentante trovato: (1,3,4,5,6). Capacità: 2. Valore del flusso: 19 16 2 3 4 5 6 3 1 2 3 1 11 7 13 8 6 5 16 2 3 4 5 2 6 3 1 4 3 2 3 11 5 6 6 3 Nuovo grafo residuo Nota: i due cammini (1,2,3,4,5,6) e (1,3,4,5,6) avrebbero potuto essere trovati in ordine opposto, con lo stesso risultato finale

9 Valore del flusso attuale: 19. Grafo residuo corrispondente : FASE 4: Δ = 1 16 2 3 4 5 6 3 1 2 3 1 11 7 13 8 6 5 FINE FASE 4: Δ = 1 Non vengono determinati ulteriori cammini. Il taglio minimo individuato è Ns= {1}, Nt = {2,3,4,5,6}. FINE FASE 3: Δ = 2

10 Ricostruzione del flusso x Il valore del flusso su ciascun arco corrisponde alla capacità degli archi inversi (quelli rossi); riportiamo i valori sul grafo originale 11 16 2 3 4 5 8 8 6 3 7 9 14 3 5 8 0 16 2 3 4 5 6 3 2 3 00 0 0 11 8 1 7 13 8 5 6 1 8 3 6 5 0 7 6