AGENTI CHE RAGIONANO LOGICAMENTE E.Mumolo

Presentazione sul tema: "AGENTI CHE RAGIONANO LOGICAMENTE E.Mumolo"— Transcript della presentazione:

1 AGENTI CHE RAGIONANO LOGICAMENTE E.Mumolo mumolo@units.it

2 Un agente basato sulla conoscenza deve: Conoscere lo stato del mondo Conoscere come il mondo cambia nel tempo Saper fare inferenze per decidere le proprie azioni Lagente conosce il mondo attraverso una base della conoscenza (KB) La base della conoscenza è espressa mediante un Linguaggio formale chiamato Logica La logica è formata da Sintassi = proposizioni ammissibili del linguaggio Semantica = verità di una proposizione (significato) Agenti basati sulla conoscenza

3 Base di conoscenza Motore inferenziale Base di conoscenza Algoritmi indipendenti dal dominio Contenuto specifico del dominio Base di conoscenza (Knowledge Base o KB). Un insieme di rappresentazioni relative ad aspetti del mondo espresso in formule di un Linguaggio di rappresentazione della conoscenza. Livello dellimplementazione strutture dati algoritmi per manipolarle

4 Logica La logica è un linguaggio formale per rappresentare delle informazioni e per trarre delle conclusioni La sintassi definisce le proposizioni ammissibili del linguaggio La semantica definisce il significato delle proposizioni cioè la verità di una proposizione in un mondo Es. il linguaggio dellaritmetica: x + 2 >= y è una proposizione x2 + y > non è una proposizione x + 2 >= y evera se e solo se x+2 non è minore di y x + 2 >= y è vera in un mondo dove x = 7, y = 1 x + 2 >= y è falsa in un mondo dove x = 0, y = 6

5 Il mondo è visto secondo questi oggetti Tipi di logica Quello che un agente crede degli oggetti del mondo Linguaggio Differenti tipi di logiche Logica ProposizionaleFattivero/falso/sconosciuto Logica del prim'ordineFatti, oggetti, relazionivero/falso/sconosciuto Logica temporaleFatti, oggetti, relazioni, tempivero/falso/sconosciuto Teoria delle probabilitàFattinoti secondo livelli di probabilità Logica FuzzyFatti noti secondo gradi di appartenenza

6 Definizione di teoria assiomatica Alfabeto (insieme finito di simboli) Stringa (sequenza di simboli) Fbf=Formule ben formate (sottoinsieme di stringhe) Assiomi (sottoinsieme di fbf) Regole di Inferenza (da insiemi di fbf nuove fbf) Deve esistere un algoritmo per decidere se Una stringa è una fbf Una fbf è un assioma Una generica fbf è ricavabile da un insieme di fbf Dimostrazione: sequenza finita di fbf Teorema: lultima fbf di una dimostrazione Sintassi Inoltre Altre definizioni:

7 Definizione di teoria assiomatica Semantica Interpretazione: Alle fbf ed ai simboli delle fbf è associato un insieme di significati Definizione di fbf vera Proprietà della inferenza: fbf vere fbf vere Modello di una teoria assiomatica: interpretazione per cui tutti gli assiomi della teoria sono veri Corollario: i teoremi della teoria fbf veri Ma: fbf vera in ogni modello della teoria) teorema? NON in generale Ci sono fbf vere in ogni modello che non sono dimostrabili!

8 Componenti della Logica Proposizionale Proposizioni: una qualunque espressione in lingua italiana (o inglese) di cui si possa dire se è vera o falsa Es. 303 è pari 303 esiste una soluzione a 3x=10 … Compito della logica: Conoscere il valore di una proposizione dati i valori delle sue componenti Esaminare come dalla veritò di alcune proposizioni si possa derivare la verità di altre proposizioni NON è stabilire se e perché sono vere e false! Connettivi logici ~ negazione implicazione, equivalenza congiunzione disgiunzione uguaglianza( ) parentesi

9 PROPOSIZIONI: una qualunque espressione di cui si possa dire se è vera o falsa CONNETTIVI LOGICI: ~ negazione, implicazione equivalenza, congiunzione, disgiunzione, uguaglianza, FORMULE BEN FORMATE == forme proposizionali (fp) REGOLA DI INFERENZA Modus Ponens (MP): Da A e A B consegue B ASSIOMI. Se A,B,C sono fp, si possono condensare in tre forme generali: A1 :(A (B A)); A2: ((A (B C)) ((A B) (A C))) A3 : ((~B ~A) ((~B A) B)) Componenti della Logica Proposizionale

10 Implicazione e equivalenza Implicazione:. Indica la formula (~ ) Falsa solo quando è vera e è falsa. Equivalenza: Indica la formula ( (~ ) ) Vera se e solo se e hanno gli stessi valori di verità.

11 Riepilogo delle Forme proposizionali Le fbf della logica proposizionale sono forme proposizionali (fp) Definizione ricorsiva: Ogni simbolo di proposizione è una fp Se A e B sono fp, lo sono anche ~A, A B, A B, A B, A B, A B ASSIOMI. Se A,B,C sono fp, si possono condensare in tre forme generali: A1 -(A (B A)) A2-((A (B C)) ((A B) (A C))) A3-((~B ~A) ((~B A) B))

12 Inferenza Regola di inferenza Modus Ponens (MP): Da A e A B consegue B Esempio: dimostrazione che D D (D è una fp) Partiamo da A1 - (A (B A)) e A2 - ((A (B C)) ((A B) (A C))) Con A=D, B=(D D), C=D si ha: (D ((D D) D)) ((D ((D D) D)) ((D (D D)) (D D))) Applichiamo MP a queste due fp. Si ha: § ((D (D D)) (D D)) Daltra parte, da A1 con A=D e B = D D =D si ha §§(D (D D)) Applichiamo MP a § e §§. Si ha (D D). (dimostrazione del Teorema)

13 Semantica Simbolo di proposizione valore Vero/Falso Tabella di verità dei connettivi logici AB~A~A A B VVFVVVV VFFFFVF FVVVFVF FFVVFFV

14 Abbreviazioni I connettivi logici,, abbreviano alcune fp: (A B) abbrevia (~(A (~B))) (A B) abbrevia ((~A) B) (A B) abbrevia ((A B) Infatti: AB~A~A~B~B A B B A (A (~B)) (~A) B (A B) VVFFVVVVVFVV VFFVFVFFVVVF FVVVFVFVFVVF FFVFFFVVVVFV

15 Tautologie Una tautologia è una fp vera sotto ogni interpretazione Esempio: gli assiomi sono tautologie. Infatti per il primo e terzo: Teorema Ogni tautologia è un teorema Corollario Ogni teorema è decidibile (tavola di verità con 2 n interpretazioni e n simboli) AB~A~A~B~BA BB A (A (B A)) (primo assioma) (~B ~A)(~B A)((~B A) B))((~B ~A) ((~B A) B)) (terzo assioma) VVFFVVVVVVV VFFVFVVFVFV FVVFVFVVVVV FFVVVVVVFVV

16 Tautologie (esempio) Proposizione: se o piove o cè il sole, e non piove, allora cè il sole Dimostrazione semantica: la traduco in fbf e verifico se è una tautologia Fbf: ((P S) ~P) S PS~P~P P S(P S) ~P(P S) ~P S VVFVFV VFFVFV FVVVVV FFVFFV

17 Componenti della Logica Proposizionale Secondo riepilogo delle Forme proposizionali PROPOSIZIONI: una qualunque espressione di cui si possa dire se è vera o falsa CONNETTIVI LOGICI: ~ negazione, implicazione equivalenza, congiunzione, disgiunzione, uguaglianza, FORMULE BEN FORMATE == forme proposizionali (fp) REGOLA DI INFERENZA Modus Ponens (MP): Da A e A B consegue B ASSIOMI. Se A,B,C sono fp, si possono condensare in tre forme generali: A1 :(A (B A)); A2: ((A (B C)) ((A B) (A C))) A3 : ((~B ~A) ((~B A) B))

18 Un Teorema è lultima fbf di una dimostrazione Secondo riepilogo delle Forme proposizionali (cont.) Tabella di verità: enumera tutte le possibili interpretazioni della fp (n simboli 2 n interpretazioni) Gli assiomi sono tautologie. Dimostrazione semantica: tabella di verità Teorema: Ogni tautologia è un teorema Corollario:Ogni teorema è decidibile (tavola di verità ) Una tautologia è una fp vera sotto ogni interpretazione. Dimostrazione sintattica: sequenza finita di fbf a partire dagli assiomi e tautologie Dimostrazione automatica di teoremi

19 Tautologie notevoli della Logica Proposizionale Prop. Commutativa a b b a a b b a Prop. Associativa (a b) c a b c) (a b) c a b c) Prop. Distributiva a b c) (a b) (a c) a b c) (a b) (a c) De Morgan 1,2: ~(a b) (~a ~b );~(a b) (~a ~b ) Contrapposizione a b ~b ~a Risoluzione unitaria Da ~b e (a b) segue a Eliminazione di Congiunzione a b a a b b(da a e b deriva a o b) Aggiunta di Disgiunzione a a bb a b(da a o b deriva a b)

20 Esercizi Dimostrare semanticamente e sintatticamente che (~x ~(y ~z)) x ~(y z)) ~x ~y ~z Semanticamente: Sintatticamente: (~x ~(y ~z)) x ~(y z)) (x (~y z)) ~x (~y ~z)) ~(x (~y z)) ~x (~y ~z)) ~(x ~y z) ~x ~y ~z) (~x y ~z) ~x ~y ~z) (~x ~x ~y ~z) (y ~x ~y ~z) (~x ~x ~y ~z) (~x ~y ~z) (~x ~y ~z) ~x ~y ~z x00001111 y00110011 z01010101 (~x ~(y ~z)) x ~(y z)) 11111110

21 Esercizi Dimostrare sintatticamente e semanticamente che (x ~(y z)) (x (y z)) è una tautologia Semanticamente: (x ~(y z)) (x (y z)) ~ (x (~y ~z)) (x (y z)) (~x ~(~y ~z)) (x (y z)) (~x (y z)) (x (y z)) ~x (y z) (x (y z) (~x x) (y z) ~x x Semanticamente: x00001111 y00110011 z01010101 (x ~(y z) (x (y z)) 11111111

22 Verificare la seguente equivalenza: (a b) ~(a c) ~(a b c) Per definizione: indica la formula (~ ) quindi (a b) ~(a c) ~ (a b) ~(a c) per De Morgan: (~A ~B ) ~(A B) ~( (a b) (a c) ) ~( a b a c ) prop. Commutativa ~( a a b c ) ~( a b c ) Verificare se la fp (a b) ((a ~b) ~a)è una tautologia (a b) ((a ~b) ~a) per def. (~a b) ((~a ~b) ~a) ~(~a b) (~(~a ~b) ~a) ~(~a b) ( (a b) ~a) (a ~b) ((a b) ~a) (distributiva) (a ~b) ((a ~a) b ~a) (a ~b) b ~a) (commutativa) (a ~b) ~a b) (DeMorgan) (a ~b) a b) Vero Daltra parte, con la tabella di verità AB (A B ) (A ~B) ( B) ~A ) fp VVVFVV VFFVFV FVVVVV FFVVVV Esercizi

23 Dimostrare il seguente teorema: Se (c b) a (Prima Ipotesi ) e ~b (Seconda ipotesi ) allora: a Dimostrazione: 1-(c b) a prima ipotesi 2-(c a) (b a) prop. Distributiva 3-(b a) Eliminazione di congiunzione 4-~b aEquivalenza logica a (3) b seconda ipotesi 6-aM.Ponens da (5) e (4) Altra dimostrazione: 1-~ b seconda ipotesi 2-~ b (~ b ~ c) Aggiunta di disgiunzione 3-~ b ~ c M. Ponens da (1) e (2) 4-~(b c) De Morgan a (3) 5-(c b) a prima ipotesi 6-~(c b) a equiv. logica a (5) 7-aM. Ponens da (4) e (6) Esercizi

24 Dimostrare il seguente teorema: Da (~a (b c)) (prima ipotesi) e (~a ~b) (seconda ipotesi) deriva c Dimostrazione: (1) ~a ~b Ipotesi 2 (2) ~aeliminazione di congiunzione (3) ~a (b c) Ipotesi 1 (4) b c M. Ponens da (2) e (3) (5) ~ b c Definizione di implicazione (4) (6) ~ b Eliminazione di congiunzione da (1) (7) c M. Ponens da (5) e (6) Nota: la tesi si trova solo nella conseguenza della 1a ipotesi un buon candidato è MP. Esercizi

25 Dimostrare informalmente il seguente teorema: Da (a b c) (prima ipotesi) e (a b) c (seconda ipotesi) deriva c La seconda ipotesi dice che c, la tesi, puo essere dedotta dalla proposizione (a b). La prima ipotesi, dice che c puo essere dedotta da ~(a b). Quindi, si può dire che c e vera indipendentemente dalla veridicita di a b. Quindi la tesi è vera per ogni possibile valore di a b. Esercizi

26 Dimostrare il seguente teorema: Da a (prima ipotesi) e (~a c) ~b (seconda ipotesi) si deduce ~b. Dimostrazione: (1) (~a c) ~b ipotesi 2 (2) ~ (~a c) ~b Definizione di implicazione (1) (3) (a ~c) ~b De Morgan (2) (4) a ipotesi 1 (5) a ~c Introd. di disgiunzione (4) (6) ~b Modus Ponens da (3) e (5) Esercizi

27 Esempio: il robot Cartesiano CART Scopo: CART si muove in un ambiente. NON deve investire le persone ma DEVE raccogliere del materiale Scenario: Il mondo è diviso in caselle CART può muoversi solo secondo gli assi cartesiani, di casella in casella Ci sono delle caselle dove ci sono persone: CART non deve andare in quelle caselle per motivi di sicurezza! Ci sono caselle con pavimento scivoloso: CART si perde in quelle caselle! Percezioni: CART ha tre sensori S,P,M con i quali percepisce che: S: Un quadrante adiacente in direzione orrizzontale o verticale è scivoloso P: In un quadrante adiacente in orrizzontale o verticale c'è una persona M: Nel quadrante attuale c'è materiale da raccogliere Azioni: gira sinistra, gira destra, avanza, prendi Inoltre: P! = c'è una persona, S!= pavimento scivoloso, OK = cella sicura. V = cella visitata

28 1,42,43,44,4 1,32,3 3,34,3 1,22,23,24,2 4,13,12,11,1 A OK 1,42,43,44,4 1,32,3 3,34,3 1,22,23,24,2 4,13,12,11,1 OK S, OK OK V S ? OK V Alcuni passi di esplorazione... Percezioni 1,1 =[- - -] (2,1) e (1,2) OK vado in (2,1) A 1,42,43,44,4 1,32,3 3,34,3 1,22,23,24,2 4,13,12,11,1 OK A VV Percezioni 1,2 =[- P -] (1,3) e (2,2) NON sicure Ma 2,2 non P e non S vado in (2,2) a b c Percezioni 2,1 =[S - -] (2,2) e (3.1) NON OK vado in (1,2)

29 Ad ogni passo: Lagente percepisce lambiente Aggiunge le percezioni alla KB La visita delle celle (1,1) (2,1) e (1,2) fornisce le seguenti percezioni: ~P 1,1 ~S 1,1 ~P 2,1 S 2,1 P 1,2 ~S 1,2 Posizione persona: conoscenza racchiusa in 3 regole: R1: ~P 1,1 ~P! 1,1 ~P! 1,2 ~P! 2,1 R2: ~P 2,1 ~P! 1,1 ~P! 2.1 ~P! 2,2 ~P! 3,1 R3: P 1,2 P! 1,3 P! 1,2 P! 2,2 P! 1,1 Esempio: il robot Cartesiano CART

30 Cosa deve fare lagente? Deve dimostrare dov'è la persona! Dalla KB non è in (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) Lagente si chiede se è in (1,3). Quindi deve dimostrare la tesi P! 1,3 Dimostrazione semantica: 2 12 possibilità (12 variabili) Dimostrazione sintattica: applicando inferenza ! procedimento meccanico! (automatizzabile) 1. ~P! 1,1 ~P! 1,2 ~P! 2,1 (M.Ponens con ~P 1,1 e R1) 2. ~P! 1,1 ~P! 1,2 ; ~P! 2,1 (eliminazione di disgiunzione) Analogamente si ottiene: 1. ~P! 2,2 ~P! 2,1 ; ~P! 3,1 (M.Ponens con ~P 2,1 e R2 e elim.di disgiun.) 2. (P! 1,3 P! 1,2 P! 2,2 ) P! 1,1 (MP con P 1,2 e R3, associat.) 3. (P! 1,3 P! 1,2 ) P! 2,2 (Risoluzione unitaria e 2., associat.) 4. (P! 1,3 P! 1,2 ) (Risoluzione unitaria e 3.) 5. P! 1,3 (Risoluzione unitaria e 3.) CVD Esempio: il robot Cartesiano CART

31 d 1,42,43,44,4 1,32,3 3,34,3 1,22,23,24,2 4,13,12,11,1 OK A V V V Percezioni 2,2 =[- - -] (3,2) e (2,3) sicure vado in (2,3) Esempio: il robot Cartesiano CART Continua l'esplorazione in 2,2: Percezioni 2,3 =[S P M] RACCOLGO MATERIALE Continua l'esplorazione in 2,3:

32 Alla fine della esplorazione, CART si accorge che l'ambiente era il seguente: 1,42,43,44,4 1,32,3 3,34,3 1,22,23,24,2 4,13,12,11,1 start cella scivolosa cella scivolosa cella scivolosa P P P, M, S SS S S S (S!) (P!) Esempio: il robot Cartesiano CART

33 Problemi dellagente proposizionale Non riesce facilmente a rispondere a domande del tipo: cosa devo fare adesso?esempio non andare avanti se cè una persona di fronte a te Non è impossibile, ma diventa troppo complesso: Per il robot cartesiano CART, ho 64 regole. Deve avere conoscenza del passato, es. 100 passi: 6400 regole! Dovrei avere regole del tipo A 1,1 Verso_Est W 2,1 Avanti Dovrei avere variabili che rappresentano situazioni logica del primordine: può ridurre 6400 regole a 1 Limiti della logica proposizionale (I)

34 Le regole che abbiamo scritto devono essere ripetute per ogni quadrato e per ogni orientamento dellagente. Se consideriamo una griglia 4*4 e 4 diverse orientazioni dellagente abbiamo 4*4*4=64 copie della stessa regola. Un secondo problema riguarda il tempo. Se per t = 0 lagente è in [1,1] e vale al tempo t = 1 andrà dimenticato mentre sara vero se lagente si sposta in quel quadrato. Dobbiamo cioè tenere conto del tempo. Dovremo ricorrere a una logica più ricca: la logica dei predicati del primo ordine. Limiti della logica proposizionale (II)

35 Logica dei predicati del primo ordine La logica dei predicati del primo ordine permette di rappresentare: Oggetti: persone, cose, numeri etc. Relazioni: fratello, maggiore, parte di etc. Proprietà: rosso, primo, grande etc. Funzioni: successore, somma, padre di etc. Esempi: Uno più due uguale tre - uno,due,tre sono oggetti, più è una funzione, uguale è una relazione Il diabolico Re Giovanni imperversò in Inghilterra nel 1200 Giovanni, Inghilterra e 1200 sono oggetti, imperversò è una relazione, re e diabolico sono proprietà

36 Simboli di variabile: x, y, z Simboli di costante: A,B,C,Giovanni Simboli di predicato: Tondo, Fratello Simboli di funzione: Padre_di, Quadrato I soliti connettivi logici più la virgola più le parentesi ( ) Il quantificatore esistenziale Il quantificatore universale Termini: variabile o costante o simbolo di funzione Formule atomiche: fbf formata da un simbnolo di predicato seguito da una lista di termini es: Fratello(Riccardo,Giovanni) Sposati(Madre_di(Riccardo),Padre_di(Riccardo)) Logica dei predicati del primo ordine: sintassi

37 Formule complesse: si ottengono dalle formule atomiche usando i connetivi logici Logica dei predicati del primo ordine: sintassi

38 Per dare un significato a una formula bisogna interpretarla come una affermazione sul dominio del discorso. Un dominio D è un insieme non vuoto (anche infinito) ad es. Insieme di persone, linsieme dei naturali etc. Una interpretazione si ottiene associando ad ogni simbolo variabile un elemento di D ad ogni simbolo costante un elemento di D ad ogni simbolo di funzione una funzione su D ad ogni predicato n-ario una relazione n-aria su D Ad ogni formula atomica si assegna un valore vero o falso Ad ogni formula complessa si assegna un valore vero o falso utilizzando le tavole di verita Logica del primo ordine: semantica

39 Esempio di interpretazione Sia data la formula P(a,f(b,c)) Una possibile interpretazione è: D è il dominio degli interi a è lintero 2 b è lintero 4 c è lintero 6 f è la funzione addizione P è la relazione maggiore di Questa formula ha valore falso Se a è lintero 11 la formula assume valore vero Logica del primo ordine: semantica

40 Quantificatore universale: supponiamo che P sia la relazione MaggioreUguale Quantificatore esistenziale: supponiamo che Q sia una qualche proprietà Logica del primo ordine: variabili e quantificatori

41

42 Logica dei predicati del primo ordine

43 Assiomi di una teoria del primordine Stessi della logica proposizionale A1 -(A (B A)) A2-((A (B C)) ((A B) (A C))) A3-((~B ~A) ((~B A) B)) Poi: A4 – più tardi A5 -(( x)(A B) (A (( x)B))) Poi: A6…gli assiomi propri della teoria

44 Assiomi di una teoria del primordine Regole di inferenza MP: da A e A B segue B Generalizzazione: da A segue (( x)(A) Abbreviazioni; Stesse della logica proposizionale: (A B) abbrevia (~(A (~B))) (A B) abbrevia ((~A) B) (A B) abbrevia ((A B) Poi: (( x)A) abbrevia (~((( x)(~A)))

45 Esempio di teoria del primordine Teoria elementare dei numeri: Assiomi propri della teoria: A6 -x1=x2 (x1=x3 x2=x3) A7-x1=x2 x1+1 = x2+1 A8-0 (x1)+1 A9 -(x1)+1=(x2)+1 x1=x2 A10-x1+0=x1 A11-x1+(x2+1)=(x1+x2)+1 A12 -x1-0=x1 A13-x1*(x2+1)=(x1*x2)+x1 A14-A(0) (( x)(A(x) A(x+1)) ( x)A(x)) //principio di induzione

46 Esempio di teoria del primordine Teoria elementare dei numeri: alcuni teoremi: A6 -t = r (t = s r = s) … A10-t+0=t … Teorema 10.1: t=t Dim. t+0=t;i) (t+0=t) (t+0=t t=t); con MP (da A e A B consegue B): (t+0=t t=t); ii) con MP da i) e ii): t=tcvd Teorema 10.1: t=r r=t Dim. da A6: t=r (t=t r=t)i) Applicando MP alla tautologia (t=r (t=t r=t)) (t=t (t=r r=t)) e a i):t=r (t=r r=t)ii) Applicando MP a 10.1 e ii): t=r r=tcvd

47 Esempio di applicazione robotica Dal Teorema di completezza (Goedel 1930): Se tutte le nostre conoscenze su un argomento possono essere messe in forma di assiomi, tutti i teoremi (conseguenze) possono essere ricavate meccanicamente Problema generale: la conoscenza non è sempre assiomatizzabile! Metodo di risoluzione meccanica di Robinson Poi: esempio di problema robotico: Robot esapodo Raccogliere oggetti ad una certa altezza

48 Metodo di risoluzione di Robinson Conoscenza assiomi Riduciamo gli assiomi forma normale ( x)( y)(P(y) ~( y)(Q(x,y) P(y))) prima riduzione: ( x)( y)(~P(y) ~( y)(~Q(x,y) P(y))) seconda riduzione: ( x)( y)(~P(y) ( y)(Q(x,y) ~ P(y))) cambiamo i nomi delle variabili se conflitti: ( x)( y)(~P(y) ( z)(Q(x,z) ~ P(z))) spostiamo i quantificatori: ( x)( y) ( z)(~P(y) (Q(x,z) ~P(z))) e usiamo la associatività: ( x)( y) ( z)((~P(y) Q(x,z)) ~P(y) ~P(z))) cambiamo l-effetto di ( z( con una funzione z=g(x,y): ( x)( y) (~P(y) (Q(x, g(x,y)) ~P(y) ~P(g(x,y)))) FORMA Normale: {~P(y) (Q(x, g(x,y), ~P(y) ~P(g(x,y)} Dimostrazione del teorema per assurdo: Insieme di fbf formato da assiomi speciali, ipotesi, negazione del teorema Formula ottenuta per risoluzione da due formule date: Sostituzione di argomenti per rendere i due predicati uguali e si unisce al resto Metodo di Robinson: tutte le coppie di bfb vengono risolte e vengono aggiunte allinsieme di fbf. Se si ottiene una fbf vuota il teorema è dimostrato

49 Esempio: Robot esapodo Il robot si muove in un mondo dove cè una scatole e ci sono oggetti appesi ad una certa altezza Gli oggetti possono essere presi solo se il robot sale sulla scatola Il compito del robot è di raccogliere tutti gli oggetti appesi Teorema: qual è la sequenza di operazioni? Problema: il robot cambia il mondo assiomi variabili (stato del mondo) Azioni possibili: muovere un oggetto, arrampicarsi, afferrare Variabili; M (il robot) S(stato) B (oggettp) P(punto) Operatori muovi(M,B,P,S) Arrampicati(M,B,S) Afferra(M.B,S) Assiomi: descrivono lo stato del mondo Predicati: mobile(x) se x può essere spostato In(x,y,S) Scalabile(x,y,S) Raggiungibile(x,y,S) Ha(x,y,S) Sopra(s,y,S)

50 Teorema: ( S) Ha(robot,oggetto,S) Dimostrazione ottenibile con Robinson: Lo stato cercato è ottenuto da S0 dopo che il robot ha mosso la cassa sotto l oggetto, si e arrampicato sull cassa, ha afferrato loggetto Esempio: Robot esapodo