CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. ESTREMI VINCOLATI, ESEMPI.

Presentazione sul tema: "CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. ESTREMI VINCOLATI, ESEMPI."— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. ESTREMI VINCOLATI, ESEMPI.

2 Estremi vincolati. Estremi vincolati. Argomenti della lezione Esempi. Esempi.

3 ESTREMIVINCOLATI

4 Abbiamo appreso come calcolare gli estremi liberi di funzioni di più variabili. Spesso tuttavia si debbono cercare i valori massimi o minimi di una funzione quando le variabili non sono libere di muoversi in un aperto A R m ma sono soggette a vincoli, rappresentati da certe funzioni definite in A.

5 Per esempio, si cerca la posizione dequilibrio di una particella soggetta a un campo di forze di potenziale f(x,y) vincolata a stare su una linea piana espressa da g(x,y) = 0. Se lequazione della linea piana si può esplicitare nella forma y = h(x), x I allora si potrà sostituire nella f(x,y) e cercare il minimo libero di F(x) = f(x, h(x)) al variare di in un intervallo I di R.

6 Sia f : A R m R una funzione e K R m un sottoinsieme proprio non vuoto di A. x 0 è punto destremo vincolato o condizionato per f su K se x 0 è punto destremo per la restrizione di f a K.

7 Teorema (moltiplicatori di Lagrange ) (m=2) Siano f, g : A R 2 R, A aperto, funzioni di classe C 1 (A). Sia (x 0,y 0 ) punto destremo per f,

8 sotto il vincolo g(x,y) = 0 e sia g (x 0,y 0 ) 0, allora esiste un numero reale 0, tale che f (x 0,y 0 ) + 0 g (x 0,y 0 ) = 0.

9 Ossia (x 0, y 0, 0 ) è soluzione del sistema f x (x 0,y 0 ) + 0 g x (x 0,y 0 ) = 0 f y (x 0,y 0 ) + 0 g y (x 0,y 0 ) = 0 g(x,y) = 0

10 Teorema (moltiplicatori di Lagrange ) Siano f e g 1,.., g n : A R m+n R, A aperto, funzioni di classe C 1 (A). Sia (x 1 0,…, x m 0,y 1 0,…, y n 0 ) T punto destremo

11 per f, sotto i vincoli g i (x,y) = 0, i = 1,.., n esistono n numeri reali i 0, tali che f (x 0,y 0 ) + n i=1 i 0 g i (x 0,y 0 ) = 0. e sia det J( )(x 0,y 0 ) 0, allora g 1 g 2..g n y 1 y 2..y n

12 Interpretazione geometrica Sia data la funzione f(x 1 0,…, x m 0,x m+1 0,…, x m+n 0 ) : A R m+n R g i (x 1,…, x m,x m+1,…, x m+n ) = 0 e il vincolo K A sia descritto dalle equazioni det J( )(x 1,…, x m,x m+1,…, x m+n ) 0 g 1 g 2..g n y 1 y 2..y n i = 1,.., n, con

13 Sia x i (t) = h i (t), i= 1,…, m+n una curva regolare, cioè h 1 2 (t)+.. + h m+n 2 (t) 0, che giace su K, allora G i (t) =g i (h 1 (t),…, h m (t),…, h m+n (t)) = 0 i=1,…, n e quindi 0 = G i (t) = g i,h (t) Dunque il vettore tangente alla curva h(t) che giace su K è ortogonale ciascuno dei vettori g i.

14 Se (x 1 0,…, x m 0,y 1 0,…, y n 0 ) T è punto destremo vincolato, la condizione f (x 0,y 0 ) + n i=1 i 0 g i (x 0,y 0 ) = 0, afferma che anche f (x 0,y 0 ) è ortogonale al vincolo.

15 ESEMPI