La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI."— Transcript della presentazione:

1 CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.

2 Argomenti della lezione
Cambiamento di variabili per integrali doppi e tripli Applicazioni al calcolo di aree, volumi, baricentri, momenti

3 CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI.

4 Il teorema sul cambiamento di
variabili negli integrali multipli, in particolare doppi e tripli, è uno dei teoremi più sofisticati del Calcolo. Noi ci limiteremo ad enunciarlo e a mostrarne l’applicazione nei casi più comuni

5 Abbiamo già introdotto la nozione
di funzione localmente invertibile. Ripetiamo e precisiamo meglio questa nozione Abbiamo affermato che se f : A  Rm  Rm, A aperto, è di classe C1(A), e se det J(f)(x0) ≠ 0 allora f è localmente invertibile; cioè esistono intorni aperti U di x0 e V di y0 = f(x0) x tra i quali f è biiettiva; dunque f(U) = V

6 Sappiamo che se una trasformazione
è regolare, essa ha il determinate jacobiano non nullo in ogni punto del dominio e quindi f(A) è aperto anche se f non è necessariamente iniettiva su A. Una siffatta f è adatta a definire un cambiamento di variabili. Si può dimostrare poi che i punti singolari non costituiscono un insieme molto “pesante” (ha misura nulla secondo Lebesgue: Teorema di Sard)

7 Inoltre l’inversa locale tra gli intorni
aperti V e U è di classe C1(V), e la sua matrice jacobiana è l’inversa della matrice jacobiana di f. Con queste precisazioni, possiamo enunciare il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli

8 (cambiamento di variabili ) Sia h : U  Rm  V  Rm, U, V aperti,
Teorema (cambiamento di variabili ) Sia h : U  Rm  V  Rm, U, V aperti, regolare e di classe C1(U), sia E  U un compatto PJ-misurabile e f:h(E)R integrabile. Allora è integrabile f•h su E e si ha

9 Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h’(x) al
f ( y ) d = h x )) | det E ò Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h’(x) al posto della matrice jacobiana. È chiaro che questa trasformazione di coordinate è conveniente se l’integrazione su E è più agevole di quella su h(E); per esempio E è un rettangolo e la nuova funzione da integrare non è troppo complicata

10 òò ( x + y ) d Esempio: Si voglia calcolare
con E = {(x,y): 0<x≤y≤2x, 1≤xy≤2} Posto u= x y e v = y/x , la Trasformazione h così individuata manda l’insieme E del piano xy

11 g ( u , v ) : x = y × ì í ï î nel rettangolo J= [1,2][1,2] del
piano uv. La trasformazione inversa di h è g ( u , v ) : x = y × ì í ï î che ha determinate jacobiano det g’(u,v) = 1/2v > 0

12 òò òò ( x + y ) d u 1 = ( u v ) d u d v + v v 2 Dunque
J 2 A conti fatti si trova 1/3 (4 -  2). Il dominio è divenuto un rettangolo e la funzione non si è troppo complicata

13 A parte i cambiamenti di variabili
che possono essere suggeriti dalla natura del problema (tipo di dominio o particolarità della funzione), come abbiamo visto nell’esempio precedente, i tipi di trasformazioni di coordinate più comuni, sono quelli che già abbiamo introdotto in una lezione precedente: il cambiamento di coordinate polari o (polari ellittiche) nel piano; il

14 cambiamento di coordinate cilindriche
(o cilindrico ellittiche) e il cambiamento di coordinate sferiche (o ellissoidali) nello spazio. Precisamente

15 ì x cos = r J , í r ³ £ J < 2 p ï y sen î = r J COORDINATE POLARI
Sono le coordinate così individuate ì x cos = r J , í r J < 2 p ï y sen î = r J Sappiamo che questa trasformazione ha un solo punto singolare: l’origine (0,0)T

16 Infatti il determinante jacobiano è
det J(x y) =    La trasformazione è biiettiva tra R2\(0,0)T, e {(,): >0, 0 <  < 2π} Cioè vi è corrispondenza biunivoca tra tutto il piano x y privato dell’origine e una striscia infinita nel piano  . Se indichiamo con h-1(x,y) la trasformazione che a ,

17 òò òò f ( x , y ) d x d y = = f ( r cos , r sen ) r d r d J J J
fa corrispondere x,y abbiamo òò f ( x , y ) d x d y = E = òò f ( r cos , r sen ) r d r d J J J h - 1 ( E ) Se il dominio E è un’ellisse o parte di essa di semiassi a e b, è conveniente usare le coordinate polari ellittiche x = a  cos  , y = b  sen  . Il determinante Jacobiano è a b 

18 òò m ( E ) = d x y a b r J Mostriamo come ciò sia utile nel
calcolo dell’area di un ellisse o del volume di un ellissoide Sia E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 = 1} m ( E ) = d x y a b r h - 1 òò J Si trova facilmente m(E) = πab

19 Calcolo del volume di un ellissoide
E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1} Si trova, dopo qualche calcolo non difficile, m(E) = (4/3)π abc Ricordiamo che il calcolo in coordinate cartesiane presentava invece qualche difficoltà

20 COORDINATE CILINDRICHE
Sono le coordinate così individuate x = r cos J y sen z u , < 2 p Î R ì í ï î Il determinante jacobiano di questa trasformazione è . L’asse z è fatto di punti singolari

21 La trasformazione è biunivoca tra
l’aperto dato da R3\{asse z} dello spazio x y z e l’aperto  > 0, 0 <  < 2π, u  R, dello spazio   u. Si può combinare questa trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

22 , r ³ £ j p J < 2 x = r sen j cos J y z ì í ï î COORDINATE SFERICHE
Sono le coordinate così descritte x = r sen j cos J y z ì í ï î , r j p J < 2

23 Il determinante jacobiano di questa
trasformazione è 2 sen . L’asse z è fatto tutto di punti singolari. La trasformazione è biunivoca tra l’aperto dato da R3\{semipiano x z, con x≤ 0} dello spazio x y z e l’aperto > 0, 0 <  < π, 0 <  < 2π, dello spazio   . Si può combinare que- sta trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

24 òòò ò d x y z = r sen j J abc Mostriamo come ciò sia facilissimo
con questa trasformazione calcolare il volume dell’ellissoide E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1} d x y z = r 2 sen j J p ò 1 E òòò abc Si trova facilmente, come noto, (4/3)π abc

25 APPLICAZIONI AL CALCOLO DI
AREE, VOLUMI, BARICENTRI, MOMENTI

26 Già abbiamo applicato le
trasformazioni di coordinate per calcolare alcune aree e volumi notevoli. Vogliamo ora presentare alcuni ulteriori esempi

27 òò x y d x d y + Si calcolino i seguenti integrali doppi 1) Calcolare
2 2 + E dove E è la semicorona circolare con y ≥ 0 compresa tra i cerchi di raggi 2 e 3 e centro nell’origine

28 òò arctg y x d 2) Calcolare dove E è la parte di piano compresa
fra la spirale d’Archimede d’equazione  = 2 , per 0≤  ≤ π, e l’asse x.

29 òò ( x y ) d x d y + 3) Calcolare dove E è la parte di piano compresa
2 2 + E dove E è la parte di piano compresa fra l’asse x, la circonferenza di raggio 1 e centro l’origine e la circonferenza di raggio 1 e centro in (1,0)T

30 Si calcolino i seguenti volumi
1) Volume della porzione di semisfera per z ≥ 0, che si proietta Sul piano x y sulla circonferenza di diametro r e centro in (r/2,0)T 2) Volume della porzione di cilindro circolare d’equazione z = √1-x2 , che si proietta sul piano x y sul triangolo rettangolo di vertici (0,0)T, (1,0)T, (0,1)T

31 3) Volume della porzione di
superficie paraboloidica d’equazione 2 p z = x2 + y2 che si proietta sul piano x y in un cerchio con centro nell’origine a raggio r

32 òò x = d y m ( ) , BARICENTRI Il baricentro d’una lamina piana
E è dato dal punto di coordinate x = d y E òò m ( ) ,

33 Si calcolino i seguenti baricentri
1) Di un triangolo rettangolo 2) Di un settore circolare 3) Di una semiellissi 4) Di un segmento di parabola

34 òòò M = ( x + y ) d z MOMENTI D’INERZIA
Il momento d’inerzia di un solido di densità unitaria rispetto a un asse assunto come asse z, solido che occupa la regione dello spazio E, è dato da M = ( x 2 + y ) d z E òòò

35 Si calcolino i seguenti momenti
d’inerzia 1) Di un parallelepipedo rettangolo, rispetto ad uno spigolo 2) Di un cilindro rotondo, rispetto all’asse 3) Di un ellissoide, rispetto ad un asse


Scaricare ppt "CAMBIAMENTO DI VARIABILI IN INTEGRALI DOPPI E TRIPLI."

Presentazioni simili


Annunci Google