Matematica e statistica Versione didascalica: parte 7 Sito web del corso Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste.

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2 Matematica e statistica Versione didascalica: parte 7 Sito web del corso http://www.labmat.it Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste e-mail: inverniz@units.it

3 Variabili aleatorie gaussiane Esperimento E, si esegue una misura X (risultato: un numero x) Sul risultato influiscono N cause di errore indipendenti Ciascuna causa produce un + oppure un – La misura risulta dove S k vale –1 oppure +1 con uguali probabilità del 50%. Di fatto, X può assumere un numero finito = 2N+1 di valori da fino a ed è come se fosse una v.a. finita con moltissimi valori.

4 Si misura la temperatura corporea umana (valore vero = 37°) Supponiamo N = 45 cause indipendenti ciascuna delle quali possa spostare la misura di = 2/100 di grado. Facciamo m = 99 misure: ad esempio 37.18, 36.86, 37.1, 37.1, 36.86, 37.06, 37.1, …. calcolano le frequenze relative a passo 0.1, e generiamo lareogramma Calcoliamo anche le stime puntuali per e

5 Teorema Limite Centrale (caso speciale delle misure) Lareogramma delle misure sperimentali ripetute un gran numero m di volte approssima il sottografico della funzione = PDFnorm(, )

6 Eseguendo con Mathematica m = 2500 misure di X, ammettendo che su ogni misura influiscano N = 450 cause ciascuna delle quali possa spostare la misura dal valore vero di 37 per un = 0.002, otteniamo, con un areogramma a 16 barre:

7 Ricordiamo che in un areogramma larea di una barra è la probabilità (frequenza relativa) di osservare un valore nella classe che costituisce la base della barra. Essendo che il cadere in barre diverse sono eventi incompatibili, le probabilità si sommano. Per la regola dei rettangoli (calcolo approssimato di integrali) la probabilità di osservare un valore di una misura sperimentale X in un intervallo [a, b] è (approssimativamente) dove e sono il valore atteso e la deviazione standard di X

8 Una v.a. X è una Normale (, ) – i parametri –, se la probabilità di osservare un suo valore x fra a e b è data da Introduciamo la antiderivata (Teorema di Torricelli) che in vale 1/2 Per una Normale (, )

9 (x) = densità (x) = antiderivata della densità tale che (0) = ½ = 50%

10 Applicazione alla media campionaria

11 Popolazioni normali Useremo il TLC per la stima intervallare del valore atteso di una popolazione normale

12 Popolazioni normali P = 90% u = 1.64485 P = 95% u = 1.95996 P = 99% u = 2.57583

13 = 95% u = 1.95996

14 Se è noto Abbiamo per esempio (valore osservato della media campionaria con n = 250 prove) Se è noto (per esempio = 0.45) Con u = 1.95996 (dalle tavole della normale standard) Segue esercitazione con R

15 Esercitazione con noto > mu <- 40 > sigma <- 3.5 > u <- qnorm(0.975,0,1) > u [1] 1.959964 > n <- 5 > rnorm(n,mu,sigma) -> x > x [1] 43.84078 41.90994 39.16791 46.82847 39.27758 > m <- mean(x) > c(m-u*sigma/sqrt(n),m+u*sigma/sqrt(n)) [1] 39.13711 45.27276 0.975 = 0.025 + 0.95 2.5% 95% 2.5%

16 Esercitazione con noto > n <- 20 > rnorm(n,mu,sigma) -> x > m <- mean(x) > c(m-u*sigma/sqrt(n),m+u*sigma/sqrt(n)) [1] 39.46506 42.53289 > n <- 300 > rnorm(n,mu,sigma) -> x > m <- mean(x) > c(m-u*sigma/sqrt(n),m+u*sigma/sqrt(n)) [1] 39.72219 40.51430

17 Se è ignoto Se è ignoto, semplicemente si sostituisce nella procedura precedente con la sua stima (valore osservato sul campione della deviazione standard non distorta, ( diviso per n – 1 ) In luogo della distribuzione normale standard si usa la t di Student con df = n – 1 gradi di libertà (n = dimensione del campione) Se df 30 si ha: t di Student normale standard N(0, 1) Se df < 30 ( piccoli campioni ) si deve usare la t di Student. Vedi esercitazione con R

18 Esercitazione con ignoto > n <- 5 > rnorm(n,mu,sigma) -> x > m <- mean(x) > sigma <- sd(x) > u <- qt(.975,n-1) = 2.776445 > c(m-u*sigma/sqrt(n),m+u*sigma/sqrt(n)) [1] 34.61945 42.42668 > n <- 20 > rnorm(n,mu,sigma) -> x > m <- mean(x) > sigma <- sd(x) > u <- qt(.975,n-1)= 2.093024 > c(m-u*sigma/sqrt(n),m+u*sigma/sqrt(n)) [1] 38.28663 40.07970

19 Esercitazione con ignoto > n <- 300 > rnorm(n,mu,sigma) -> x > m <- mean(x) > sigma <- sd(x) > u <- qt(.975,n-1) = 1.967930 > c(m-u*sigma/sqrt(n),m+u*sigma/sqrt(n)) [1] 39.79422 40.21865

20 Popolazioni t con df = 11 P = 90% u = 1.79588 (1.64485) P = 95% u = 2.20099 (1.95996) P = 99% u = 3.10581 (2.57583)

21 Confronto con le popolazioni normali P = 90% u = 1.64485 P = 95% u = 1.95996 P = 99% u = 2.57583