INTRODUZIONE AI CIRCUITI RESISTIVI NON LINEARI Aspetti generali

INTRODUZIONE AI CIRCUITI RESISTIVI NON LINEARI Aspetti generali
a cura di: Prof. G. Miano e Dr. A. Maffucci Università di Napoli FEDERICO II I circuiti elettrici rappresentabili tramite modelli contenenti resistori non lineari hanno assunto un’importanza notevole nell’ingegneria elettronica. In questo oggetto noi esamineremo, ad un livello molto elementare, alcune proprietà dei circuiti resistivi non lineari, di notevole interesse, sia dal punto di vista teorico che applicativo. Metteremo, inoltre, in evidenza le difficoltà che si incontrano nello studio di un circuito non lineare, in particolare quelle legate al fatto che non esistono metodi analitici generali per risolvere equazioni non lineari. Introdurremo, infine, un metodo molto potente che consente di superare queste difficoltà.à, almeno nel caso in cui il circuito contiene un solo resistore. A Leaning Object produced for the EU IST GUARDIANS Project

Il più semplice circuito elettrico resistivo
+  e(t) i(t) v(t) bipolo resistivo generatore di tensione Il circuito resistivo più semplice è composto da un generatore indipendente (ad esempio un generatore ideale di tensione) e da un resistore. Le grandezze elettriche che ne descrivono il funzionamento sono la tensione tra la coppia di morsetti dei due bipoli e l’intensità della corrente elettrica che attraversa il circuito. (cambio slide automatico)

Generatore ideale di tensione
+  e(t) La tensione è descritta dalla data forma d’onda e(t), qualunque sia la corrente elettrica che vi fluisce. La tensione del generatore ideale di tensione ha un andamento noto che non dipende dall’intensità della corrente che lo attraversa. La tensione può essere essere costante nel tempo, può variare con legge sinusoidale o può avere andamenti molto più complessi. (cambio slide automatico)

+  e(t) i(t) v(t) La forma d’onda della corrente i(t) dipende dalla natura del bipolo connesso al generatore di tensione. Pertanto, in questo circuito la tensione del resistore è assegnata. Invece, l’intensità della corrente elettrica che lo attraversa dipende dalla relazione tra la tensione e la corrente imposta dalla natura del resistore.

Bipoli resistivi Authors: G. Miano, A. Maffucci
Università di Napoli FEDERICO II Bipoli resistivi A differenza della terminologia usuale, con la parola resistore noi intenderemo diversi tipi di elementi circuitali, come, ad esempio un resistore che verifica la legge di Ohm, un diodo a giunzione pn, un diodo tunnel, un interruttore, e così via. Pertanto un resistore può essere lineare, non lineare, tempo-invariante o tempo-variante. (cambio slide automatico)

Bipoli resistivi + i v  La corrente all’istante t, i(t), dipende solo dal valore della tensione in quell’istante, v(t), e viceversa. Il funzionamento di un resistore, qual sia la sua natura, è descritto da una relazione tra i valori istantanei della tensione e della corrente: il valore della corrente elettrica che attraversa il resistore a un generico istante dipende solo dal valore della tensione del resistore a quell’istante, e viceversa. (cambio slide automatico)

Bipoli resistivi + i v  La corrente all’istante t, i(t), dipende solo dal valore della tensione in quell’istante, v(t), e viceversa. La relazione tra i valori istantanei della tensione e della corrente di un resistore è, in generale, definita da un’equazione in forma implicita, che prende il nome di equazione caratteristica del resistore. Il modo più semplice per descrivere la relazione caratteristica di un resistore consiste nel rappresentarla graficamente. Consideriamo il piano tensione - corrente. (cambio slide automatico)

Bipoli resistivi i v + i v  Ad ogni coppia di valori di tensione V e corrente I che soddisfa l’equazione corrisponde un punto nel piano v-i. Ogni coppia di valori tensione-corrente che verifica l’equazione caratteristica definisce una possibile condizione di funzionamento del resistore. Ad essa corrisponde un ben determinato punto del piano tensione-corrente (cambio slide automatico), che indicheremo con la lettera P e denomineremo punto di funzionamento del resistore.

Bipoli resistivi i i P I v v V
+ i v  Ad ogni coppia di valori di tensione V e corrente I che soddisfa l’equazione corrisponde un punto nel piano v-i. L’insieme di tutti i possibili punti di funzionamento di un resistore definiscono una curva (cambio slide automatico) nel piano tensione corrente.

Curva caratteristica i P I V v
L’insieme di punti P che soddisfano l’equazione definiscono la cosiddetta curva caratteristica del resistore. Essa prende il nome di curva caratteristica del resistore. Questo è il modo, allo stesso tempo, più semplice e più generale di descrivere il funzionamento di un resistore. La curva caratteristica di un resistore può essere misurata tramite un apposito strumento, detto tracer.

Resistori lineari i R v + 
L’elemento circuitale più comune è il resistore a due terminali che verifica la legge di Ohm: la tensione del resistore è direttamente proporzionale all’intensità della corrente elettrica che lo attraversa. Il coefficiente di proporzionalità è la resistenza elettrica del resistore e lo si indica comunemente con la lettera R. Dunque, la relazione tra la tensione e la corrente di un resistore di tipo ohmico è una relazione lineare algebrica. In realtà il resistore lineare è un concetto molto più ampio di quello che comunemente si associa ad un resistore di tipo ohmico. Esso può essere il modello di bipoli estremamente complessi composti da dispositivi la cui natura fisica è completamente diversa dai conduttori di elettricità di tipo ohmico. Ciò è ben noto a chi ha seguito un corso di introduzione alla teoria dei circuiti. In questa trattazione avremo modo di affrontare questa questione. Se la resistenza R è costante nel tempo si dice che il resistore lineare è tempo-invariante, altrimenti si dice che il resistore lineare è tempo-variante. Due esempi di resistori lineari tempo varianti sono l’interruttore e il potenziometro. (cambio slide automatico).

Resistori lineari i R v + 
La relazione caratteristica del resistore lineare può essere descritta anche attraverso la conduttanza G, pari all’. (cambio slide automatico).

Resistori lineari i R i 1 R v v + 
La curva caratteristica di un resistore lineare è una linea retta passante per l’origine del piano tensione-corrente. La pendenza della retta dipende dal valore della resistenza elettrica. Quando il valore della resistenza tende a zero, il resistore si comporta da corto circuito e la curva caratteristica tende a coincidere con l’asse delle ordinate, cioè con l’asse delle correnti. Invece, quando il valore della resistenza tende all’infinito, il resistore si comporta da circuito aperto e la curva caratteristica tende a coincidere con l’asse delle ascisse, cioè con l’asse delle tensioni. La potenza elettrica assorbita da un resistore ohmico è positiva e, quindi, la sua curva caratteristica si trova nel primo e nel terzo quadrante del piano tensione - corrente. Un resistore di tipo ohmico è un elemento passivo. Se la resistenza fosse negativa, la curva caratteristica si troverebbe nel secondo e nel quarto quadrante.

Resistori non lineari Authors: G. Miano, A. Maffucci
Università di Napoli FEDERICO II Resistori non lineari Un resistore si dice non lineare se la sua curva caratteristica non è una linea retta. Un resistore si dice non lineare anche quando la curva caratteristica è una linea retta che non passa per l’origine del piano tensione - corrente. In entrambi i casi non valgono più le proprietà di omogeneità e di additività tipiche dei resistori lineari e che sono alla base della proprietà della sovrapposizione degli effetti. Ora considereremo alcuni resistori non lineari di particolare interesse nelle applicazioni e ne descriveremo le curve caratteristiche. (cambio slide automatico).

diodo a giunzione pn i v + 
Il diodo a giunzione pn è un dispositivo molto importante nelle applicazioni elettroniche. Questo è il suo simbolo (cambio slide automatico)

diodo a giunzione pn i i v v caratteristica statica + 
e questa è la curva caratteristica che ne descrive il funzionamento in condizioni lentamente variabili. La curva caratteristica del diodo passa per l’origine ma non è una linea retta. A differenza della curva caratteristica del resistore lineare, la curva caratteristica del diodo non è simmetrica rispetto all’origine del piano tensione-corrente. Infatti, il funzionamento del diodo a giunzione pn non è simmetrico rispetto ai suoi due terminali. Se i terminali di un diodo di un circuito si invertono, cambia il funzionamento del circuito. Per tale ragione il simbolo del diodo indica un orientamento. La curva caratteristica del diodo a giunzione pn è monotona crescente. Di conseguenza per ogni valore di tensione corrisponde un solo valore di corrente sulla curva caratteristica. E’ vero anche il viceversa, per ogni valore di corrente corrisponde un solo valore di tensione sulla curva caratteristica. Un resistore non lineare avente tale proprietà è controllato sia in tensione che in corrente. La potenza elettrica assorbita da un diodo a giunzione pn è positiva perché la curva caratteristica passa solo per il primo e terzo quadrante del piano tensione-corrente. Il diodo a giunzione pn è un elemento passivo. (cambio slide automatico)

diodo a giunzione pn i i v v Alcune applicazioni: rettificatore;
caratteristica statica i +  v Sono molte le applicazioni in cui vengono utilizzati i diodi a giunzione pn. Ricordiamo qui i circuiti raddrizzatori e i circuiti per la demodulazione di ampiezza. In tutte le applicazioni il punto di funzionamento del diodo a giunzione pn si trova a destra del punto A, prossimo al ginocchio della curva. In queste condizioni di funzionamento la corrente del diodo può essere espressa in funzione della tensione attraverso la semplice formula analitica (cambio slide automatico). Alcune applicazioni: rettificatore; peak-detector;

diodo a giunzione pn modello esponenziale i v
+  v Il coefficiente Is prende il nome di corrente di saturazione inversa ed è dell’ordine del microampere. La tensione Vt è la cosiddetta tensione termica: T è la temperatura del dispositivo espressa in Kelvin, k è la costante di Boltzmann ed “e” è la carica, espressa in valore assoluto, dell’elettrone. A temperatura ambiente Vt è approssimativamente 26 millivolt. Quando il diodo è polarizzato inversamente con un’elevata tensione, la corrente elettrica che lo attraversa è uguale alla corrente di saturazione inversa. Se, invece, il diodo è polarizzato direttamente, cioè la tensione applicata è positiva, la corrente è positiva e può assumere valori molto più grandi della corrente di saturazione. Ad esempio, se la tensione applicata è dieci volte più grande della tensione termica, la corrente è circa duemila volte più grande della corrente di saturazione inversa. Un’approssimazione sufficientemente accurata della legge del diodo a giunzione è quella lineare a tratti: la curva caratteristica è approssimata tramite una linea spezzata composta da linee rette. Se le correnti e tensioni in gioco nell’applicazione di interesse sono, in valore assoluto, molto più grandi rispettivamente della corrente di saturazione inversa e della tensione termica, è possibile approssimare la legge del diodo con due sole linee rette spezzate, (cambio slide automatico) corrente di saturazione inversa; tensione termica.

Diodo ideale i v caratteristica: i corto v circuito aperto + 
In questa approssimazione, se il diodo è polarizzato inversamente la corrente che lo attraversa è zero, ovvero il diodo si comporta da circuito aperto. Se, invece, il diodo è in conduzione, cioè la corrente è positiva, la tensione è uguale a zero, ovvero il diodo si comporta da corto circuito. A questo modello approssimato si dà il nome di diodo ideale. La potenza elettrica assorbita dal diodo ideale è sempre uguale a zero. Il diodo ideale è un modello circuitale di grande utilità per la sua estrema semplicità. Esso è utilizzato non solo per descrivere il funzionamento di diodi a giunzione pn, ma anche per rappresentare il comportamento di molti dispositivi e circuiti elettronici estremamente più complessi.

diodo zener i i v v Un’applicazione: il circuito cimatore + 
In questa slide illustriamo il simbolo del diodo zener e la sua curva caratteristica: Ez è la tensione di breakdown del diodo. Il diodo zener, a differenza del diodo a giunzione pn, è progettato e realizzato in modo tale da poter funzionare nella cosiddetta regione di breakdown, in cui il diodo è polarizzato inversamente con una tensione, in valore assoluto, uguale a quella di breakdown. Il diodo zener è utilizzato come dispositivo regolatore di tensione. (cambio slide automatico)

diodo zener i i v v approssimazione di diodo zener ideale + 
La curva caratteristica del diodo Zener può essere approssimata tramite la linea spezzata composta da linee rette che qui riportiamo.

Diodo tunnel i v i +  v Il simbolo del diodo tunnel e la sua curva caratteristica sono mostrati in questa slide. A differenza di quanto accade per il diodo a giunzione pn, la curva caratteristica del diodo tunnel non è strettamente crescente. Si osservi che quando il valore della tensione è compresa nell’intervallo di estremi V1 e V2 la pendenza della curva è negativa. (cambio slide automatico)

Diodo tunnel i i v v Alcune applicazioni: amplificatore di segnale;
+  v Alcune applicazioni: amplificatore di segnale; circuito bistabile. Questa proprietà è molto utile in applicazioni quali gli amplificatori e gli oscillatori. Inoltre, quando il valore della corrente è compreso nell’intervallo di estremi I1 e I2, ad ogni valore della corrente corrispondono tre distinti valori della tensione. Ciò è una diretta conseguenza del fatto che la curva caratteristica ha un tratto a pendenza negativa. Il diodo tunnel è un resistore controllato in tensione ma non in corrente. Tale proprietà rende questo dispositivo molto utile nei circuiti di memoria e commutazione. (cambio slide automatico)

Diodo tunnel i i v v Un’approssimazione polinomiale + 
Nel normale intervallo di funzionamento, ovvero per tensioni positive, la corrente del diodo tunnel può essere espressa in funzione della tensione attraverso un’approssimazione polinomiale.

Tubo a scarica i v i +  v Il simbolo del tubo a scarica a bagliore e la sua curva caratteristica sono mostrati in questa slide. Anche questo resistore ha un tratto della curva caratteristica a pendenza negativa. Il suo comportamento è duale a quello del diodo tunnel: quando il valore della tensione è compreso nell’intervallo di estremi V1 e V2, ad ogni valore della tensione corrispondono tre distinti valori della corrente. Il tubo a scarica è un resistore controllato in corrente ma non in tensione.

Generatori indipendenti
Authors: G. Miano, A. Maffucci Università di Napoli FEDERICO II Generatori indipendenti I generatori indipendenti sono di due tipi: generatori indipendenti di tensione e generatori indipendenti di corrente. (cambio slide automatico)

Generatore indipendente di tensione
+  e(t) La tensione di un generatore indipendente di tensione è una data forma d’onda e(t), qualunque sia la corrente che vi fluisce. La tensione del generatore indipendente di tensione ha una forma d’onda nota indipendente dall’intensità della corrente elettrica che lo attraversa. (cambio slide automatico)

Generatore indipendente di corrente
j(t) +  La tensione di un generatore indipendente di corrente è una data forma d’onda j(t), qualunque sia la tensione ai suoi capi. La corrente del generatore indipendente di corrente ha una forma d’onda nota indipendente dalla sua tensione. (cambio slide automatico)

Curve caratteristiche
+  e v i j j + Qui vengono riportate le curve caratteristiche dei due tipi di generatori indipendenti. La curva caratteristica del generatore indipendente di tensione è una retta parallela all’asse delle correnti. Invece, la curva caratteristica del generatore indipendente di corrente è una retta parallela all’asse delle tensioni. Si osservi che in entrambi i casi le due rette non passano attraverso l’origine del piano tensione-corrente. Per i generatori variabili nel tempo queste rette si muovono, al variare del tempo, traslando parallelamente a se stesse. Ricordiamo che quando la tensione del generatore di tensione è uguale a zero la sua curva caratteristica coincide con quella del corto circuito; quando la corrente del generatore di corrente è uguale a zero la sua curva caratteristica coincide con quella del circuito aperto. 

Circuiti resistivi non lineari
Authors: G. Miano, A. Maffucci Università di Napoli FEDERICO II Circuiti resistivi non lineari Un circuito resistivo lineare è un circuito composto da soli resistori lineari e generatori indipendenti. Un circuito resistivo non lineare contiene anche resistori non lineari. (cambio slide automatico)

I circuiti resistivi lineari contengono generatori indipendenti e resistori lineari.
I circuiti resistivi non lineari contengono anche resistori non lineari. I circuiti non lineari si comportano, in molti aspetti, in modo alquanto diverso rispetto a quelli lineari. I circuiti resistivi non lineari presentano proprietà totalmente differenti da quelli lineari. Inoltre, la loro soluzione è, in generale, estremamente complessa e richiede tecniche d’analisi molto sofisticate, perché non vale la proprietà di sovrapposizione degli effetti. Ricordiamo che questa proprietà è alla base di tutte le tecniche di analisi dei circuiti lineari. Nel seguito metteremo dapprima in evidenza le difficoltà connesse alla soluzione di un circuito resistivo non lineare, per poi descrivere alcune delle proprietà tipiche di un tale circuito. Nella prima parte di questa esposizione abbiamo considerato il circuito semplice composto da due soli bipoli, un generatore e un resistore. Ora considereremo un circuito un po’ più complesso, costituito da tre bipoli, allo scopo di evidenziare meglio le difficoltà che si incontrano nella soluzione di un circuito non lineare. (cambio slide automatico)

Un semplice circuito non lineare
+ + - Il circuito che studieremo in dettaglio è composto da un generatore di tensione ideale, da un resistore lineare e da un resistore non lineare. Per risolverlo bisogna prima scrivere le equazioni che ne descrivono il funzionamento, le cosiddette equazioni circuitali, e poi risolverle. Le equazioni del circuito sono date dalle equazioni di Kirchhoff e dalle equazioni caratteristiche dei bipoli che lo costituiscono. Ricordiamo che le equazioni di Kirchhoff dipendono solo dal modo in cui i bipoli sono collegati tra loro e non dalla loro natura, mentre le equazioni caratteristiche dipendono solo dalla natura dei singoli bipoli e non da come sono effettivamente collegati tra loro nel particolare circuito in esame. Applicando le leggi di Kirchhoff al circuito in esame otteniamo le equazioni (cambio slide automatico)

+ + - - Leggi di Kirchhoff: KCL: La prima equazione si ottiene applicando la legge di Kirchhoff per le correnti, invece la seconda la si ottiene applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni. Si osservi che entrambe le equazioni sono lineari e omogenee. Questa è una proprietà generale delle equazioni di Kirchhoff. Le equazioni caratteristiche dei bipoli di questo circuito sono (cambio slide automatico) KVL:

+ + - - Equazioni caratteristiche: resistore lineare: La prima equazione descrive il comportamento del resistore lineare, la seconda il comportamento del resistore non lineare e la terza il comportamento del generatore. In questo esempio stiamo considerando un generico resistore non lineare controllato in tensione; la funzione g(.) è una funzione ad un solo valore. In definitiva, le equazioni di questo circuito sono (cambio slide automatico) resistore non lineare: generatore di tensione:

Equazioni circuitali Questo è un sistema di cinque equazioni algebriche in cinque incognite. La quarta equazione di questo sistema è un’equazione non lineare (cambio slide automatico) mentre le altre sono lineari.

Equazioni circuitali L’intero sistema di equazioni circuitali è non lineare. Non è più valida la proprietà di sovrapposizione degli effetti. In conclusione il sistema di equazioni che descrive il circuito in esame è un sistema di equazioni algebriche, non lineare. Di conseguenza per questo circuito non vale la proprietà della sovrapposizione degli effetti. Abbiamo già ricordato che questa proprietà è alla base di tutte le tecniche di analisi dei circuiti lineari. Il fatto che venga meno quando il circuito contiene anche un solo resistore non lineare ha una grossa conseguenza sia sulle proprietà delle soluzioni del circuito sia sui metodi di analisi utilizzabili per determinare queste soluzioni. Siccome le prime tre equazioni di questo sistema sono lineari, esse possono essere combinate in modo tale da poter ridurre l’intero sistema di cinque equazioni ad un sistema di due equazioni (cambio slide automatico) in cui le incognite sono la corrente e la tensione del resistore non lineare.

Equazioni circuitali ridotte
Questo sistema di equazioni può essere risolto analiticamente solo in qualche caso molto particolare. (cambio slide automatico)

Soluzione analitica Può essere risolta analiticamente
Ad esempio, quando l’equazione caratteristica del resistore non lineare può essere espressa attraverso un polinomio di terzo grado. In questo caso l’equazione per la tensione v è un’equazione algebrica di terzo grado. Per questa equazione esiste una formula risolutiva analitica. Queste situazioni sono abbastanza eccezionali. In generale si ottengono equazioni algebriche non lineari che non possono essere risolte analiticamente. Ad esempio, nel caso in cui il resistore non lineare sia un diodo a giunzione pn descrivibile attraverso il modello esponenziale, abbiamo (cambio slide automatico) Può essere risolta analiticamente

Equazioni circuitali ridotte
In questo caso l’equazione per la tensione del diodo non può essere in alcun modo risolta analiticamente. Pertanto, in generale, bisogna ricorrere ad altri metodi di analisi. Non può essere risolta analiticamente!!

Metodo grafico Ora descriveremo un metodo molto semplice che consente di determinare la soluzione del problema in esame per un resistore non lineare con una generica curva caratteristica. Questo metodo si basa su una procedura di tipo grafico. Essa consiste nel riportare sul piano v-i le due curve definite dalle due equazioni del sistema ridotto di equazioni circuitali. (cambio slide automatico)

Retta di carico e i R - i r retta di carico v +
Alla prima equazione del sistema ridotto di equazioni circuitali corrisponde sul piano v-i una retta, che prende il nome di retta di carico. La retta di carico può essere interpretata come la curva caratteristica del bipolo costituito dalla serie generatore - resistore lineare. Essa è anche la curva caratteristica di un generatore reale di tensione. (cambio slide automatico)

Retta di carico e i R - i r retta di carico v +
La retta di carico interseca l’asse delle tensioni in corrispondenza del valore della tensione del generatore, e l’asse delle correnti in corrispondenza del valore della tensione del generatore diviso il valore della resistenza R, la cosiddetta corrente di corto circuito. La pendenza della retta di carico è negativa ed è, in valore assoluto, proprio uguale alla conduttanza del resistore lineare G=1/R. Al crescere della tensione del generatore la retta di carico trasla parallelamente a se stessa, muovendosi verso l’alto e verso destra. Al diminuire del valore della resistenza R aumenta, in valore assoluto, la pendenza della retta di carico. (cambio slide automatico)

Metodo grafico: retta di carico
v r retta di carico v i c La seconda equazione del sistema ridotto di equazioni circuitali è l’equazione caratteristica del resistore non lineare, quindi la curva che essa definisce sul piano v-i coincide proprio con la curva caratteristica del resistore non lineare. Il metodo grafico consiste nel disegnare la retta di carico r sullo stesso piano su cui è riportata la curva caratteristica del resistore non lineare. (cambio slide automatico)

Metodo grafico: retta di carico
v i r c V I P Consideriamo il punto in cui la retta di carico interseca la curva caratteristica del resistore non lineare. Qual è il suo significato ? A questo punto corrisponde una ben definita coppia di valori tensione-corrente, V-I. Il punto P appartiene alla retta di carico, e quindi la coppia V - I ad esso corrispondente è soluzione della prima equazione del sistema ridotto di equazioni circuitali. (cambio slide automatico)

v i r c V I P Il punto P, inoltre, appartiene anche alla curva caratteristica del resistore non lineare, e quindi la coppia V - I ad esso corrispondente è soluzione anche della seconda equazione del sistema ridotto di equazioni circuitali. (cambio slide automatico)

v i r c V I P In conclusione la coppia V-I corrispondente al punto P è soluzione di entrambe le equazioni del sistema ridotto di equazioni circuitali e, quindi, è la soluzione di questo sistema (cambio slide automatico)

Punto di lavoro è il punto di lavoro del circuito. i r c P I V v
Al punto P si dà il nome di punto di lavoro del circuito. E’ utile osservare che la retta di carico è l’insieme dei possibili punti di funzionamento del bipolo costituito dalla serie generatore di tensione - resistore lineare, mentre la curva caratteristica del resistore non lineare rappresenta l’insieme dei suoi possibili punti di funzionamento. Il punto di intersezione tra queste due curve rappresenta proprio il punto di funzionamento dell’intero circuito. Al variare della tensione impressa dal generatore, il punto di lavoro si muove lungo la curva caratteristica del resistore non lineare. Consideriamo, ad esempio, il caso in cui la tensione del generatore abbia l’espressione (cambio slide automatico) è il punto di lavoro del circuito.

In questo caso la tensione impressa dal generatore è la somma di un termine costante e di uno sinusoidale con pulsazione omega e ampiezza Em. Si consideri, dapprima, la situazione in cui Em è uguale a zero. (cambio slide automatico)

i punto di lavoro statico c v
In questo caso si ottiene il cosiddetto punto di lavoro in continua del circuito, che in indichiamo con P0. Si consideri, ora, la situazione in cui l’ampiezza Em è diversa da zero. (cambio slide automatico)

i punto di lavoro statico c v i punto di lavoro P(t) dinamico c v
In questa nuova situazione il punto di lavoro è dinamico: indichiamolo con P(t). Esso si muove nel tempo lungo il tratto della curva caratteristica del resistore non lineare rappresentato in verde, oscillando intorno al punto di lavoro in continua P0. Il punto P0 rappresenta, in qualche modo, il baricentro di questo tratto di curva. L’ampiezza del termine di tensione sinusoidale determina l’ampiezza di oscillazione del punto di lavoro dinamico P(t) intorno al punto di lavoro in continua P0.

Metodi generali di analisi
L’analisi del circuito resistivo non lineare è svolta attraverso metodo numerici basati sull’algoritmo di Newton-Raphson. Il metodo grafico può essere applicato ad un generico circuito resistivo purché contenga un solo elemento non lineare. La parte lineare può essere rappresentata attraverso il bipolo equivalente di Thevénin e, quindi, l’intero circuito può essere ridotto ad un circuito dello stesso tipo di quello analizzato. Tuttavia, il metodo grafico ha, purtroppo, due serie limitazioni. Non consente di ottenere una soluzione con precisione elevata e, cosa più importante, non può essere applicato a circuiti con più di un resistore non lineare. Esistono metodi di analisi per circuiti resistivi non lineari che si basano sul metodo di Newton-Raphson. Si tratta di un metodo numerico di tipo iterativo attraverso il quale è possibile risolvere sistemi di equazioni algebriche non lineari, anche molto complicati. (cambio slide automatico)

L’analisi del circuito resistivo non lineare è svolta attraverso metodo numerici basati sull’algoritmo di Newton-Raphson. Lo studio di piccole perturbazioni intorno ad un punto di lavoro è condotto attraverso l’analisi di piccolo segnale. In molte applicazioni il punto di lavoro del circuito è dinamico e oscilla con un’ampiezza molto piccola intorno al punto di lavoro in continua. In questi casi esiste una tecnica approssimata molto semplice, potente e generale che consente di determinare direttamente queste oscillazioni. Tale tecnica si basa sull’analisi per piccoli segnali. (cambio slide automatico)

L’analisi del circuito resistivo non lineare è svolta attraverso metodo numerici basati sull’algoritmo di Newton-Raphson. Lo studio di piccole perturbazioni intorno ad un punto di lavoro è condotto attraverso l’analisi di piccolo segnale. I simulatori circuitali commerciali, come, ad esempio, Pspice, implementano il metodo di Newton Raphson per determinare il punto di lavoro di un circuito e l’analisi per piccoli segnali per determinare l’oscillazione del punto di lavoro dinamico intorno al punto di lavoro in continua. I simulatori commerciali implementano entrambi i metodi (ad es., PSpice). S

Punti di lavoro statici e caratteristiche di trasferimento
Authors: G. Miano, A. Maffucci Università di Napoli FEDERICO II Punti di lavoro statici e caratteristiche di trasferimento Nell’ultima parte di questa esposizione illustreremo alcune proprietà dei punti di lavoro di un circuito ed introdurremo il concetto di caratteristica di trasferimento. (cambio slide automatico)

punti di lavoro statici
+  V resistori sorgente stazionaria I Le soluzioni di un circuito con sorgenti stazionarie sono dette punti di lavoro statici. Come abbiamo già ricordato, le soluzioni di un generico circuito resistivo prendono il nome di punti di lavoro del circuito. I punti di lavoro di un circuito con soli generatori stazionari non variano al variare del tempo. Ad essi si dà il nome di punti di lavoro in continua. L’analisi in continua di un circuito indica la determinazione del punto di lavoro del circuito quando le sorgenti sono costanti. Un circuito resistivo non lineare, per assegnate caratteristiche dei generatori, ha un solo punto di lavoro o può averne più di uno? Può accadere che un circuito possa non ammettere punti di lavoro? La risposta a queste domande non è affatto scontata ed ha un’importanza notevole sia dal punto di vista teorico che applicativo. Cominciamo ad affrontare questo problema nel caso più semplice possibile, cioè quando il circuito è costituito da un generatore (ad esempio, un generatore di corrente) e da un resistore. (cambio slide automatico)

Per alcuni circuiti esiste un unico punto di lavoro statico
RI punto di lavoro I +  V R Quando il resistore è lineare esiste un solo punto di lavoro, perché c’è una sola intersezione tra la curva caratteristica del generatore di corrente e la curva caratteristica del resistore lineare. Questa proprietà vale ancora se consideriamo al posto del resistore lineare un diodo a giunzione pn. (cambio slide automatico)

Per alcuni circuiti esiste un unico punto di lavoro statico
RI punto di lavoro I +  V R i v I V punto di lavoro I +  V Ciò non è casuale, ha una ragione ben precisa. Sia la curva caratteristica del resistore lineare che quella del diodo a giunzione pn sono curve monotone strettamente crescenti. Di conseguenza non può mai accadere che esse intersechino la curva caratteristica del generatore di corrente in più punti. E’ evidente, anche, che ci deve essere necessariamente un’intersezione. Questa proprietà continua a valere anche quando al posto del generatore di corrente c’è un generatore di tensione perché entrambi i resistori che abbiamo considerato sono controllati sia in tensione che in corrente. Cosa accade se il resistore ha una curva caratteristica non monotona? (cambio slide automatico)

Per altri circuiti esistono molteplici
punti di lavoro i v I punti di lavoro I +  V Questo è il più semplice circuito resistivo che ammetta più di un punto di lavoro. Ciò accade perché la curva caratteristica del diodo tunnel ha un tratto con pendenza negativa e, quindi, può intersecare in più di un punto la curva caratteristica del generatore. E’ anche evidente che esistono intervalli di valori di corrente per i quali c’è una sola intersezione e, quindi, la soluzione è unica. Se al posto del generatore di corrente c’è un generatore di tensione la soluzione del circuito è sempre unica. Ciò è una diretta conseguenza del fatto che il diodo tunnel è controllato in tensione ma non in corrente. (cambio slide automatico)

Per altri circuiti esistono molteplici
punti di lavoro i v I punti di lavoro I +  V V +  I v i punti di lavoro Il circuito ottenuto alimentando un tubo a scarica a bagliore con un generatore di tensione ideale ha un comportamento analogo a quello del circuito che abbiamo appena descritto, perché il tubo a scarica a bagliore è controllato in corrente ma non in tensione. Siamo in grado di raggiungere già delle conclusioni. Se la curva caratteristica del resistore è monotona crescente la soluzione del circuito è unica. Quando la curva caratteristica ha tratti con pendenza negativa il circuito può avere più di un punto di lavoro. Chi ci assicura che questo risultato sia effettivamente valido in situazioni più generali? Ora verificheremo che le conclusioni a cui siamo pervenuti sono valide anche in situazioni più generali di quelle che ci hanno consentito di formularle. A tal proposito, considereremo un circuito con tre elementi, un generatore di tensione, un resistore lineare e un resistore non lineare. Dapprima consideriamo il caso in cui la curva caratteristica del resistore non lineare è monotona e crescente. Essa potrebbe essere, ad esempio, quella di un diodo a giunzione pn. (cambio slide automatico)

Questo circuito ha sempre un unico punto di lavoro statico
+ - E Determiniamo la soluzione di questo circuito con il metodo grafico. Abbiamo (cambio slide automatico)

Questo circuito ha sempre un unico punto di lavoro statico
+ - E Anche questo circuito ha un solo punto di lavoro perché la curva caratteristica del diodo a giunzione pn è monotona crescente. (cambio slide automatico)

Questo circuito può presentare molteplici punti di lavoro statici
+ - R I E Consideriamo, ora, il caso in cui al posto del diodo a giunzione pn c’è un diodo tunnel, cioè un resistore con una curva caratteristica non monotona. Cosa accade? Utilizzando sempre il metodo grafico mostreremo che questo circuito può avere anche tre punti di lavoro a causa del fatto che, a differenza della caratteristica del diodo a giunzione pn, la sua curva caratteristica non è monotona crescente. E’ possibile scegliere il valore della tensione del generatore e della resistenza in modo tale che la retta di carico intersechi la curva caratteristica del diodo tunnel in tre punti distinti. (cambio slide automatico)

Molteplici punti di lavoro statici
+ - R I E i v In realtà, in questa situazione, il circuito in esame ha tre punti di lavoro distinti per ogni valore della tensione del generatore compreso nell’intervallo (E-, E+). Abbiamo indicato con E+ il valore della tensione del generatore per il quale la retta di carico è tangente alla curva caratteristica del diodo tunnel in corrispondenza del punto di massimo relativo. Con E- indichiamo, invece, il valore della tensione del generatore per il quale la retta di carico è tangente alla curva caratteristica in corrispondenza del punto di minimo relativo. Stiamo immaginando di aver fissato il valore della resistenza R e, quindi, la pendenza della retta di carico, e di variare il valore della tensione del generatore. Ricordiamo che al crescere della tensione del generatore la retta di carico trasla parallelamente a se stessa muovendosi verso destra e verso l’alto. (cambio slide automatico)

In questi casi il circuito ha un unico punto di lavoro statico
+ - R I E i v P i v P Esistono ovviamente condizioni di funzionamento in cui il circuito che abbiamo appena considerato ha un solo punto di lavoro. Ciò si verifica quando il valore della tensione del generatore è più piccolo di E- o più grande di E+. Se si varia il valore della resistenza R cambia la pendenza della retta di carico. In particolare, se il valore di R diminuisce allora cresce, in valore assoluto, la pendenza della retta di carico. Quando la pendenza della retta di carico aumenta , in valore assoluto, si possono realizzare situazioni in cui c’è un solo punto di lavoro, quale che sia il valore della tensione del generatore. (cambio slide automatico)

In questi casi il circuito ha un unico punto di lavoro statico
+ - R I E i v P i v P i v P In questa situazione la pendenza della retta di carico è più elevata, in valore assoluto, rispetto al caso che abbiamo prima trattato. Il circuito ha un solo punto di lavoro per qualsiasi valore della tensione del generatore. La ragione è molto semplice: quando la pendenza della retta di carico supera, in valore assoluto, la pendenza del tratto a pendenza negativa della curva caratteristica del diodo tunnel, c’è sempre una sola intersezione tra le due curve. E’ possibile avere tre intersezioni solo quando la pendenza della retta di carico è, in valore assoluto, più piccola della pendenza del tratto a pendenza negativa. E’ possibile individuare un criterio molto semplice attraverso cui discriminare tra queste due situazioni. Si consideri la curva caratteristica del diodo (cambio slide automatico)

i v 1 Q R + - v e e si consideri il tratto a pendenza negativa. La massima pendenza, in valore assoluto, di questo tratto è evidenziata attraverso la retta in verde tangente alla curva caratteristica nel punto Q. Indichiamo con Gc il valore valore assoluto del coefficiente angolare di questa retta. Questa grandezza è omogenea con l’inverso di una resistenza, ovvero, con una conduttanza. Indichiamo con Rc l’inverso di Gc. (cambio slide automatico)

- Per R < RC il circuito ha solo un punto di lavoro;
+ - v e - Per R < RC il circuito ha solo un punto di lavoro; - Per R > RC il circuito può avere tre punti di lavoro. E’ evidente che il circuito in esame ha un solo punto di lavoro per qualsiasi valore della tensione in ingresso, se il valore della resistenza R è minore del valore critico Rc. Invece, quando il valore della resistenza R è superiore al valore critico, il circuito può avere tre punti di lavoro. (cambio slide automatico)

La proprietà di unicità dipende dalla natura degli elementi circuitali.
La soluzione di un circuito resistivo è unica se i resistori hanno curve caratteristiche monotone e crescenti. Quando il circuito contiene resistori con curve caratteristiche non monotone, esso può avere più di una soluzione. (cambio slide automatico)

La proprietà di unicità dipende dalla natura degli elementi circuitali.
Circuiti con punti di lavoro molteplici sono di grande importanza nelle applicazioni (ad es. flip-flop). I circuiti con più di un punto di lavoro sono molto importanti nelle applicazioni, perché attraverso di essi è possibile realizzare circuiti bistabili, come, ad esempio, i flip-flop. A questo punto viene naturale porre una domanda: un simulatore circuitale che utilizza metodi numerici è in grado di determinare tutte i possibili punti di lavoro di un circuito non lineare? La risposta è no. Questo fatto ci fa capire quanto è difficile lo studio delle proprietà di un circuito non lineare e quanto, allo stesso tempo, è importante arrivare a formulare dei criteri generali che consentano di rispondere a queste questioni. (cambio slide automatico)

Per alcuni modelli circuitali un punto di lavoro potrebbe non esistere affatto.
modello del diodo ideale I +  V Può anche accadere che un circuito non ammetta alcuna soluzione. Questo è un esempio. Quando ciò si verifica significa che il modello che si sta analizzando è inadeguato a rappresentare il circuito fisico che si vuole rappresentare. In questo caso il modello di diodo ideale è inadeguato a rappresentare il funzionamento del diodo a giunzione pn. (cambio slide automatico) Nessuna intersezione !!!

Una ed una sola intersezione!!!
v punto di lavoro I +  V Se si descrive il funzionamento del diodo con la curva caratteristica non approssimata, il circuito ha una e una sola soluzione.

Caratteristiche di trasferimento
ingresso uscita R + - v Si consideri il circuito resistivo rappresentato in figura. Se la tensione imposta dal generatore di tensione è un segnale da elaborare (il cosiddetto ingresso) e la tensione v del resistore non lineare è la risposta che interessa (la cosiddetta uscita) (cambio slide automatico) si può definire una caratteristica di trasferimento tra la tensione di ingresso e la tensione di uscita.

ingresso uscita R + - v La relazione ingresso-uscita di un circuito resistivo si descrive tramite la caratteristica di trasferimento. (cambio slide automatico) .

ingresso uscita R + - v Per determinare la caratteristica di trasferimento di un circuito bisogna determinarne i punti di lavoro al variare della tensione del generatore. Di conseguenza le difficoltà sono le stesse che si incontrano quando bisogna risolvere un circuito resistivo in regime stazionario. La caratteristica di trasferimento di un circuito dipende da quali grandezze si considerano come ingresso e uscita. I simulatori circuitali, come, ad esempio, PSpice implementano algoritmi che determinano direttamente la caratteristica di trasferimento. (cambio slide automatico) relazione ingresso-uscita S

Caratteristiche di trasferimento ad un valore
v=F(e) R + - v Quando il circuito è lineare la caratteristica di trasferimento F è una retta passante per l’origine. Siccome le resistenze dei due resistori lineari sono positive, la tensione in uscita è, in valore assoluto, più piccola della tensione in ingresso. Per questa ragione la caratteristica di trasferimento si trova al di sotto della bisettrice del primo quadrante e al di sopra della bisettrice del terzo quadrante del piano tensione in ingresso - tensione in uscita. Ciò è in accordo con la proprietà di non amplificazione delle tensioni per i circuiti resistivi con un solo elemento attivo. Consideriamo ora la caratteristica di trasferimento del circuito che si ottiene sostituendo al posto del resistore lineare di resistenza R1 un diodo a giunzione pn. Abbiamo (cambio slide automatico)

operating point I V R + - v e Quando la tensione di ingresso è uguale a zero, è uguale a zero anche quella di uscita. Al crescere della tensione del generatore, la retta di carico e quindi il punto di lavoro si sposta verso destra. Di conseguenza la tensione di uscita v cresce al crescere della tensione di ingresso. La caratteristica di trasferimento è di questo tipo (cambio slide automatico)

operating point I V R + - v e v=F(e) e Essa è ancora una curva passante per l’origine, ma è molto diversa dalla linea retta che abbiamo ottenuto nel caso precedente. La funzione F(v) è una funzione fortemente non lineare. In conseguenza del fatto che questo circuito ha un solo punto di lavoro, la caratteristica di trasferimento è una funzione a un solo valore della tensione in ingresso. In questo caso la concavità della caratteristica di trasferimento è sempre rivolta verso il basso. Per tensioni in ingresso negative, la caratteristica di trasferimento tende praticamente alla bisettrice del terzo quadrante, mentre per tensioni positive essa ha un andamento molto più complesso. Si può mostrare che la sua derivata prima tende a zero quando la tensione in ingresso cresce. Anche in questo caso la curva caratteristica si trova sempre al di sotto della bisettrice del primo quadrante e al di sopra della bisettrice del terzo quadrante del piano tensione in ingresso - tensione in uscita. Anche in questo circuito l’unico elemento attivo è il generatore e, quindi, vale la proprietà di non amplificazione delle tensioni. Consideriamo, ora, la caratteristica di trasferimento dello stesso circuito quando si considera come grandezza di uscita la tensione del resistore lineare. (cambio slide automatico) S

+ - e v e S Questa è la caratteristica di trasferimento alla base del circuito raddrizzatore. Per tensioni in ingresso negative l’intensità della corrente che attraversa il diodo è molto piccola e, quindi, la tensione in uscita è praticamente nulla. Invece, per tensioni in ingresso positive il diodo funziona nella regione di conduzione e la sua tensione può essere molto più piccola di quella in ingresso. Di conseguenza per tensioni in ingresso positive, il valore della tensione di uscita può essere praticamente uguale a quella in ingresso. In questo caso la concavità della caratteristica di trasferimento è rivolta verso l’alto. Ovviamente, anche in questo caso la caratteristica di trasferimento si trova sempre al di sotto della bisettrice del primo quadrante e al di sopra della bisettrice del terzo quadrante del piano tensione in ingresso - tensione in uscita. Questa caratteristica di trasferimento è alla base di una delle più importanti e diffuse applicazioni di questo circuito, il circuito raddrizzatore.

+ - v e L’andamento qualitativo della caratteristica di trasferimento di questo circuito dipende dal valore della resistenza del resistore lineare. Le situazioni che possono verificarsi sono due. Abbiamo già mostrato che il circuito in esame ha un solo punto di lavoro per qualsiasi valore della tensione in ingresso, se il valore della resistenza R è minore del valore critico Rc. In questa situazione la caratteristica di trasferimento è una funzione a un solo valore. Quando, invece, il valore della resistenza R è superiore al valore critico, il circuito può avere tre punti di lavoro. In questa situazione la caratteristica di trasferimento è una funzione a più valori. Cominciamo a considerare la prima situazione. (cambio slide automatico)

+ - v e i v P i v P i v P Quando la pendenza della retta di carico è, in valore assoluto, superiore alla massima pendenza del tratto a pendenza negativa della curva caratteristica, il circuito ha un solo punto di lavoro per ogni valore della tensione in ingresso. Siccome al crescere della tensione in ingresso la retta di carico si sposta verso destra, l’andamento qualitativo della caratteristica di trasferimento è (cambio slide automatico)

+ - v e i v P i v P i v P Essa è una funzione a un solo valore, monotona e crescente. (cambio slide automatico)

+ - v e S Questa è una diretta conseguenza dell’esistenza di più punti di lavoro statici per R<Rc . In conclusione, quando il valore della resistenza R è al di sotto del valore critico Rc la caratteristica di trasferimento è una funzione continua a un solo valore. Ciò è una diretta conseguenza del fatto che il circuito in esame ha, in queste condizioni, un solo punto di lavoro. Anche in questo caso la caratteristica di trasferimento è al di sopra della bisettrice del terzo quadrante e al di sotto della bisettrice del primo quadrante del piano tensione in ingresso - tensione in uscita, perché il circuito contiene un solo elemento attivo e, quindi, vale la proprietà di non amplificazione delle tensioni. (cambio slide automatico)

Amplificazione di un segnale differenziale
+ - v e i v P Ora illustreremo un’altra proprietà molto importante del circuito in esame. Consideriamo ancora la situazione in cui la pendenza della retta di carico è, in valore assoluto, più grande della conduttanza critica Gc. Ad un incremento della tensione in ingresso corrisponde un incremento della tensione in uscita. L’incremento della tensione in uscita può essere più grande dell’incremento della tensione in ingresso? (cambio slide automatico)

+ - v e i Quando la variazione del punto di lavoro del circuito avviene in una regione in cui la pendenza della curva caratteristica del diodo è positiva, l’incremento della tensione in uscita è più piccolo dell’incremento della tensione in ingresso. Ciò è in accordo con il fatto che quando il punto di lavoro si trova nella regione in cui la pendenza della curva caratteristica del diodo è positiva, la derivata prima della caratteristica di trasferimento rispetto alla tensione di ingresso è minore di uno. (cambio slide automatico) v

+ - v e i v Analisi di piccolo segnale Invece, quando la variazione del punto di lavoro avviene nella regione in cui la pendenza della curva caratteristica del diodo è negativa, allora l’incremento della tensione in uscita è più grande dell’incremento della tensione in ingresso. In questo caso l’incremento della tensione in uscita è un’amplificazione del corrispondente incremento di tensione in ingresso. Su questo principio si basa l’amplificazione di un segnale. Ciò è in accordo con il fatto che quando il punto di lavoro si trova nella regione in cui la pendenza della curva caratteristica del diodo è negativa, la derivata prima della caratteristica di trasferimento rispetto alla tensione di ingresso è maggiore di uno. Questo fenomeno di amplificazione non si osserva nei circuiti che contengono resistori con curve caratteristiche monotone crescenti.

Caratteristiche di trasferimento a più valori
+ - v e i v P i v i v P Quando la pendenza della retta di carico è, in valore assoluto, inferiore al massimo del valore assoluto della pendenza del tratto a pendenza negativa della curva caratteristica, il circuito può avere tre punti di lavoro. Ciò accade quando il valore della tensione in ingresso è compreso nell’intervallo (E-, E+). Siccome al crescere della tensione in ingresso la retta di carico si sposta verso destra, l’andamento qualitativo della caratteristica di trasferimento in questo caso è (cambio slide automatico)

+ - v e i v P i v i v P La caratteristica di trasferimento di questo circuito è una funzione a più valori nell’intervallo (E-, E+). (cambio slide automatico)

+ - v e S Questa è una diretta conseguenza dell’esistenza di più punti di lavoro statici per In conclusione, quando il valore della resistenza R è al di sopra del valore critico Rc la caratteristica di trasferimento è una funzione discontinua a più valori: la curva che la rappresenta ha tre rami nell’intervallo (E-,E+) del suo dominio di definizione. Ciò è una diretta conseguenza del fatto che il circuito in esame può avere in queste condizioni tre punti di lavoro distinti. Anche in questo caso la caratteristica di trasferimento è al di sopra della bisettrice del terzo quadrante e al di sotto della bisettrice del primo quadrante del piano tensione in ingresso - tensione in uscita, perché il circuito contiene un solo elemento attivo. Se provassimo a tracciare la caratteristica di trasferimento di questo circuito utilizzando un simulatore commerciale, come, ad esempio, PSpice, otterremmo solo una parte della curva caratteristica. Ciò è dovuta al fatto che un simulatore di questo tipo non è in grado di determinare tutti possibili punti di lavoro di un circuito quando essi sono più di uno. Si provi a determinarla utilizzando PSpice. (cambio slide automatico)

Caratteristica di trasferimento isteretica
+ - v e E’ evidente che questo è un altro esempio di modello incompleto. Cosa accade nella realtà? Immaginiamo di realizzare in laboratorio questo circuito e di misurare la tensione in uscita al variare del valore della tensione in ingresso. (cambio slide automatico)

inerzia e Il comportamento di questo circuito è nella realtà un comportamento a memoria. Partiamo dalla condizione in cui la tensione applicata è uguale a zero. In questa situazione il circuito è inerte. Aumentiamo la tensione senza mai superare il valore E+. Il punto di lavoro del circuito si muove sul ramo inferiore della caratteristica di trasferimento anche quando la tensione in ingresso ha superato il valore E-: c’è una sorta di inerzia nel circuito che impone la continuità della tensione di uscita e, quindi, evita che il punto di lavoro salti sugli altri due rami. (cambio slide automatico)

inerzia e e salto inerzia Quando la tensione in ingresso supera il valore E+ il punto di funzionamento deve necessariamente saltare sull’altro ramo della caratteristica di trasferimento, non essendoci altra possibilità. Se la tensione in ingresso continua a crescere il punto di lavoro resta sul ramo superiore. (cambio slide automatico)

inerzia e e salto inerzia inerzia e salto Se il punto di lavoro si trova sul ramo in alto e la tensione in ingresso inizia a diminuire, esso resta su questo ramo anche quando la tensione in ingresso diventa più piccola di E+, purché sia superiore a E-. Anche in questo caso c’è un’inerzia che impone che la tensione in uscita resti continua. (cambio slide automatico)

inerzia e e salto inerzia inerzia e salto inerzia e salto Quando la tensione in ingresso diventa più piccola di E- il punto di funzionamento necessariamente salta dal ramo superiore a quello inferiore della caratteristica di trasferimento. Anche in questa situazione non c’è altra possibilità. Il punto di lavoro resterà sul ramo inferiore fino a quando il valore della tensione in ingresso non supererà il valore E+. Il ramo centrale della caratteristica di trasferimento, che abbiamo disegnato utilizzando una linea tratteggiata, non può essere mai raggiunto perché corrisponde a punti di lavoro instabili. (cambio slide automatico)

inerzia e salto R + - v Il comportamento isteretico può essere spiegato portando in conto gli effetti dinamici introdotti dalle reattanze parassite. Il comportamento che abbiamo descritto è di tipo isteretico e ricorda quello di un relay. Esso può essere spiegato solo se si portano in conto gli effetti delle capacità parassite presenti nel dispositivo fisico che, però, sono assenti nel modello che abbiamo analizzato. (cambio slide automatico)

inerzia i salto e E- E+ e +  i L’intensità luminosa del tubo a scarica mostra chiaramente i fenomeni di inerzia e di salto. Lo stesso comportamento isteretico lo si osserva in questo circuito. In esso il salto tra i due rami stabili della caratteristica si manifesta anche attraverso una discontinuità nell’intensità luminosa della luce prodotta dal tubo a scarica a bagliore. (cambio slide automatico)

Per saperne di più: L. O. Chua, Introduction to Nonlinear Network Theory, Mc Graw Hill, New York, 1969. L. O. Chua, C. A. Desoer, E. S. Kuh, Linear and Non Linear Circuit, Mc Graw Hill, 1976. A. S. Sedra, K. C. Smith, Microelectronic Circuits, Saunders College Publishing, Orlando, 1990.

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