PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, MATEMATICA Convegno finale - 5 maggio 2009 Centro Convegni del Complesso Universitario di Monte S.Angelo L.S. R. Caccioppoli.

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1 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, MATEMATICA Convegno finale - 5 maggio 2009 Centro Convegni del Complesso Universitario di Monte S.Angelo L.S. R. Caccioppoli Matematizzare la realtà: dalle ipotesi..al modello. Università Federico II di Napoli Ufficio Scolastico Regionale per la Campania

2 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli Matematizzare la realtà … I modelli sono come le macchinette. Ci metti dentro un fenomeno. Giri una manovella. Ti danno una spiegazione. O anche una previsione. La macchinetta va bene fin quando non appare un fenomeno che essa non riesce più a spiegare. A quel punto che cosa fa lo scienziato? Costruisce una nuova macchinetta. Cioè elabora un nuovo modello … Corriere del Mezzogiorno, 15/04/2009 Prof. Guido Trombetti (Rettore Università Federico II)

3 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli Limportanza della matematica La matematica, scoperta o invenzione che sia, è nata per risolvere problemi concreti e, anche se nel corso dei secoli è diventata sempre più astratta e generale, costituisce uno strumento formidabile dindagine della realtà in quanto offre numerosi modelli per interpretare i fenomeni naturali. Un modello interessante di numerosi fenomeni è rappresentato dalla Funzione Esponenziale,utilizzato nel modello di Malthus..

4 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli N(t) = numero di individui di una certa popolazione al tempo t

5 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli ipotesi di modello della dinamica di crescita di una popolazione velocita di crescita proporzionale alla popolazione stessa equazione differenziale soluzioni: Tre grafici di funzioni malthusiane ottenute facendo variare la costante k N(t)=N(0)e kt

6 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli La crescita tende…allinfinito? Secondo il modello Malthusiano la crescita della popolazione segue la legge esponenziale N(t) = N(0) e kt, mentre le risorse alimentari crescono secondo un modello lineare e ciò porta allimpossibilità della popolazione di alimentarsi a sufficienza. Nella realtà naturale la crescita di una popolazione è influenzata da fattori ambientali che ne inibiscono lo sviluppo esponenziale. L'inquinamento ambientale, l'accumularsi di rifiuti tossici, l'esaurimento delle risorse, riducono progressivamente il tasso di crescita che si stabilizza su un valore Nmax di individui e non supera tale numero.

7 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli Occorre apportare delle modifiche al modello per esprimere questa diversa valutazione dell'andamento della crescita, e i correttivi apportati all'equazione rispetto a quella malthusiana portano ad evidenziare il limite massimo di crescita degli individui sotto forma di un asintoto orizzontale della curva, che è il limite di tendenza della curva esponenziale. Dopo aver analizzato il modello di Malthus sappiamo che la crescita esponenziale di una popolazione potrebbe essere illimitata, ma soltanto in condizioni favorevoli. Quindi il modello di Malthus risulta limitato e teorico nel caso in cui cominciano a variare le condizioni di vita di una popolazione.

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9 Numerosi fenomeni possono essere studiati con lo stesso modello Andamento esponenziale Carica e scarica del condensatore Il montante nella capitalizzazione composta Decadimento radioattivo Attenuazione della radiazione elettromagnetica Tensione di vapore saturo

10 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli Circuito RC ( Carica del condensatore) Nel processo di carica, la carica sulle armature del condensatore in funzione del tempo è (Per semplificare ΔV=f.e.m) lintensità di corrente parte dal valore iniziale f.em/R e decresce esponenzialmente annullandosi asintoticamente per t tendente allinfinito: Lequazione che descrive la proliferazione di una popolazione è di tipo esponenziale ed è simile a quella che descrive un circuito RC Elenco fenomeni

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12 La Funzione Esponenziale Interesse Composto annuo Lo stesso capitale iniziale di 10.000 euro viene ora investito ad un tasso annuo del 4% per 5 anni ad interesse composto annuo. Calcolare linteresse e il montante finale. C = 10.000i = 4%t = 5 anni Per risolvere il problema calcoliamo interesse e montante anno per anno:

13 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli La Funzione Esponenziale Inizio investimento = stadio zero C = 10000 Fine primo anno = stadio 1I 1 =10000*4%*1 = 400 M 1 = 10000+400= 10400 Fine 2° anno = stadio 2I 2 =10400*4%*1 = 416 M 2 = 10400+416= 10816 Fine 3° anno = stadio 3I 3 =10816*4%*1 = 432,64 M 3 = 10816 + 432,64 = 11248,64 Fine 4° anno = stadio 4I 4 =11248,64 *4%*1 = 449,95 M 4 = 11248,64+ 449,95 =11698,59 Fine 5° anno = stadio 5I 5 = 11698,59* 4%*1 = 467,94 M 5 = 11698,59 + 467,94 = 12166,53

14 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli La Funzione Esponenziale Nella tabella seguente è riportato linteresse e il montante per lo stesso investimento di 10.000 euro al tasso del 20% a interesse composto

15 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli La Funzione Esponenziale Anni investimento Montante maturato Il Montante è funzione esponenziale del tempo

16 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli La Funzione Esponenziale Elenco fenomeni

17 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli Il modello preda-predatore (Lotka-Volterra) Lo studio matematico dei sistemi biologici fu suggerito a Volterra da suo genero, il biologo Umberto D'Ancona D'Ancona aveva osservato che le popolazioni di piccoli pesci commestibili (sardine...) e quelle di predatori (squali...) dell'alto Adriatico avevano andamenti oscillanti di uguale periodo, ma erano sfasate tra loro La popolazione di sardine raggiungeva il suo massimo prima di quella dei predatori La diminuzione di sardine era seguita, con un certo ritardo, dalla diminuzione di predatori Il ciclo poi riprendeva con nuovi aumenti sfasati

18 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli Come funziona il modello Se non ci fossero predatori, il numero di prede salirebbe senza limiti, perché il cibo è sempre disponibile Se non ci fossero le prede, i predatori si estinguerebbero per mancanza di cibo In presenza di entrambe le specie, gli incontri tra prede e predatori porterebbero a: –diminuzioni del numero di prede –aumento del numero di predatori, che avrebbero cibo a disposizione e potrebbero riprodursi più facilmente È quindi possibile che si crei una situazione che consente la sopravvivenza di entrambe le specie

19 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli N 0 = numero iniziale di prede, P 0 = numero iniziale di predatori Prede senza predatori: la variazione delle prede ΔN nel tempo Δt è direttamente proporzionale al loro numero iniziale: ΔN = a N 0 Δt (a costante >0) N cresce esponenzialmente Predatori senza prede: la variazione dei predatori è direttamente proporzionale al loro numero iniziale (ma ha un segno negativo): ΔP = – c P 0 Δt (c costante >0) P decresce esponenzialmente Traduzione in linguaggio matematico

20 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli Prede e predatori: gli incontri tra le due specie portano a una diminuzione di prede e a un aumento di predatori. Nel caso più semplice, queste variazioni sono direttamente proporzionali al prodotto N 0 P 0 : ΔN = –b N 0 P 0 Δt, ΔP = d N 0 P 0 Δt (b, d costanti >0)

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22 le equazioni di Volterra-Lotka sono equazioni differenziali alle derivate parziali. Abbiamo considerato un modello semplificato discreto in cui si considerano intervalli di tempo finiti (e non infinitesimi)

23 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli La figura mostra un tipico andamento delle due popolazioni ottenibile dal modello, in buon accordo qualitativo con le osservazioni di DAncona (N=prede, P=predatori) Laltezza relativa dei picchi delle 2 popolazioni non è laspetto più significativo e dipende dalla coppia di specie considerate. La caratteristica importante è la ciclicità (sfasata) dei due andamenti Il periodo è legato alle costanti che caratterizzano la crescita/decrescita delle due popolazioni

24 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli Analisi del modello Risolvendo il sistema si ottengono due possibili soluzioni: N 0 =0; P 0 =0 corrisponde all'assenza delle due specie N 0 =c/d; P 0 =a/b l'interazione prede-predatori produce effetti esattamente contrari a quelli della loro crescita-decrescita spontanea Oscillazioni: in assenza di equilibrio le popolazioni oscillano con uno sfasamento di circa π/2 (¼ di periodo) attorno al punto di equilibrio (N 0 =c/d; P 0 =a/b)

25 Liceo Scientifico "R.Caccioppoli"- Napoli L.S.S. R. Caccioppoli Alunni partecipanti: Cuofano AntonioCuofano Antonio De Luca EmanueleDe Luca Emanuele Martorelli Maria IreneMartorelli Maria Irene Menna EmiliaMenna Emilia Nocerino RaffaellaNocerino Raffaella Palumbo PierluigiPalumbo Pierluigi Piscopo AntonioPiscopo Antonio Soria GiovanniSoria Giovanni Relatori: P. Palumbo – E. Menna Docenti referenti : Vincenzo Gagliotta – Salvatore Montesano