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E-Learning e modelli matematici in 3D Tutto ebbe inizio da ... E-Learning e modelli matematici in 3D

I modelli matematici Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria Con un modello matematico si rendono auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perchè forniscono concretezza ad un risultato e sono accessibili all’esperimento.

Come renderle facilmente reperibili ?
Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …? Molte di queste collezioni –come accaduto per tutti i materiali didattici - sono state trasformate in repository di Modelli 3D. Come renderle facilmente reperibili ? Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ? The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate, but the means we use for threading through the consequent maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-rigged ships. Vannevar Bush , “As we may think”, 1945 E-Learning e modelli matematici in 3D

E-Learning e modelli matematici in 3D
Obiettivo: Sviluppare tool per contestualizzare le antiche collezioni di modelli matematici nelle didattiche dell’E-Learning. E-Learning e modelli matematici in 3D

Capitolo Primo: L'E-Learning I Learning Object Un Learning Object per la classificazione delle quadriche Capitolo Secondo: Algoritmi di approssimazione NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati La rappresentazione di oggetti 3D nel Web Semantico 3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs Capitolo Terzo: Le collezioni virtuali di modelli matematici E-Learning e modelli matematici in 3D

Perché L’E-Learning L’E-Learning si sta affermando … …è vietato opporsi… …. Ma qualcuno potrebbe chiedersi perché. Proviamo a dare una risposta….. E-Learning e modelli matematici in 3D

Perché L’E-Learning -Ipercomplessità tecnologica reti di computer il virtuale come spazio antropologico esser “ci” diventa inessenziale de-territorializzazione -le conoscenze aumentano in modo esponenziale incompletezza delle didattiche tradizionali "il sistema non è tutto“ - decostruzione dei saperi l'apprendimento come costruzione enattiva E-Learning E-Learning e modelli matematici in 3D

Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia Instructor Ambiente Studente Studente Mediatore didattico Learning Management System E-Learning e modelli matematici in 3D

Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : dominio di conoscenza dell’esperto Instructor : esperto nel dominio di conoscenza -Scrive l’Ontologia Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor Filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, associa all’ontologia le risorse didattiche, fornisce allo studente una interpretazione -ermeneutica- dell’ontologia Learning Management System Piattaforma per la didattica a distanza. Implementa i corsi e permette al tutor di seguire lo studente Ambiente esterni E-Learning e modelli matematici in 3D

I Learning Object E-learning in the small E-Learning e modelli matematici in 3D

I Learning Object Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai learning object I learning object sono gli strumenti che popolano gli ambienti di apprendimento I learning object sono rappresentati con metadata Esistono diversi standard per rappresentare i metadata E-Learning e modelli matematici in 3D

I Learning Object Definizione: Un learning object è un’entità-digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia- D.A.Wiley “The Instructional Use of Learning Objects”” in D.A.Wiley (Ed.) The instructional use of learning objects,, pp , AIT editions, 2002 E-Learning e modelli matematici in 3D

I Learning Object Asset : file Learning object : la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica (Vanni-Formato,2003) A. Vanni, F. Formato –Una nuova definizione di Learning Objects. Atti del Convegno “Sviluppo cognitivo e qualità della formazione Ravello, ottobre 2003 I componenti di un learning object possono essere di due tipi 1) assets 2) altri learning object più semplici E-Learning e modelli matematici in 3D

Learning Object L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consenta l’accessibilità, l'interoperabilità e la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare senza la necessità di modificarne i componenti. Per la costruzione di Learning Object complessi, è necessario che il materiale didattico sia “riusabile”. E-Learning e modelli matematici in 3D

I Learning Object Strutture “molecolari ” dotate di diversi gradi di granularità E-Learning e modelli matematici in 3D

Modelli di E-Learning Content Provider Learning Service Community L’E-Learning in the large E-Learning e modelli matematici in 3D

Modelli di E-Learning I fornitori di contenuto (Content provider) Possono essere le università o le aziende che fanno formazione, organizzate in unità distribuite. Esempi: MIT OCW ocw.mit.edu MURL -Multi University virtual Research Laboratory The Geometry Center E-Learning e modelli matematici in 3D

Modelli di E-Learning I fornitori di servizi di E-learning (Learning Service Provider) I learning service provider possono essere le stesse Università, oppure le società specializzate in LSP. Distribuiscono servizi per l’E-Learning agli utenti finali Esempi: - Global Virtual University -GRID –Arendal -Sfera E-Learning e modelli matematici in 3D

Modelli di E-Learning Le Comunità di apprendimento
Sono l’estensione del core business delle università tradizionali new universities = old universities + learning community Esempi: OCW : estende il MIT ai paesi dell’america latina BatMath: comunità di docenti di matematica Comunità di pratica (Community of Practice) sostituiscono la tradizionale formazione professionale E-Learning e modelli matematici in 3D

Modelli di E-Learning Filtri di informazione information filter
Per eliminare i learning object “spuri”, è necessario dotare il sistema di un dispositivo di filtraggio, che permetta di accedere a learning object “buoni” Questi filtri sono chiamati Web Reccommender, e si dividono in due categorie: Filtri di informazione information filter Filtri collaborativi (collaborative filter) E-Learning e modelli matematici in 3D

Modelli di E-Learning Content Provider Learning Service Community Collaborative Filter Content Provider Learning Service Community Information Filter I filtri informativi selezionano i LO in base ai loro contenuti. I filtri collaborativi selezionano i LO in base ai loro contenuti e alle caratteristiche comuni di un gruppo di utente. E-Learning e modelli matematici in 3D

Il giardino di Archimede
I filtri collaborativi BatMat Pisa Medialab CS Princeton Harvard CSCI CAVE Stanford MIT OCW TopologyAtlas Polito Mathworld MURL Il giardino di Archimede Chaos on the web Yale FractGeo B’ A’ S A e B sono entrambi interessati all’argomento T. Supponiamo che A e B abbiano esplorato lo stesso insieme di risorse S, con la differenza che A ha visto i learning object S  A’ e B ha visto i learning object S  B’ , con A’ e B’ learning object inizialmente non condivisi. Si comparano le pagine A’ , B’ e S’. Se sono simili , allora A = S  B’ B = S  A’ E-Learning e modelli matematici in 3D

Il Web Semantico Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i Metadati descrivono i dati contenuti sul Web. Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. Attualmente l'informazione disponibile sul Web risulta difficilmente reperibile perché memorizzata sotto forma di metadati – intesi come una pura e semplice combinazione di stringhe- indipendente dal contesto. Nel Web Semantico l’informazione diventa machine-processable. Tim Berners-Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998 E-Learning e modelli matematici in 3D

RDF La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). E’ un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i Metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,… L’RDF è codificato in XML. E-Learning e modelli matematici in 3D

Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche 3x2+4y2+2xy+9z2-1=0 det=-99<0 Quadrica Piano Tangente det(Quadrica) Intersezione C det=0 det0 C reale non degenre C immaginaria Cono Reale Immaginario Cilindro Iperbolico Parabolico Ellittico C degenre Ellissoide det>0 Paraboloide Ellittico Iperbolico det<0 Iperboloide Ellittico Iperbolico C 2 rette reali C 2 rette immaginarie C 1 retta Iperboloide ellittico E-Learning e modelli matematici in 3D

<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <rdf : xmlns:rdf =“ xmlns :xsd =“ xmlns : quadriche = “ > <rdf: Description> <quadrica: determinante> <quadrica: R_neg value= “-99” > </quadrica:determinante> <quadrica:equazione> 3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0 </quadrica:equazione> <quadrica: intersezione_piano_improprio> <quadrica: Conica_reale_non_degenere> <quadrica: discriminante> <quadrica: R+ value = “99”/> </quadrica: discriminante> </quadrica: Conica_reale_non_degenere </quadrica: intersezione_piano_improprio> </rdf: Description> E-Learning e modelli matematici in 3D

Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che trasmette le conoscenze e l’apprendimento si può vedere come costruzione interpretata da parte dello studente. Per illustrare il concetto di apprendimento come filtraggio dell'informazione fornita dall'ambiente, si è messo a punto un Learning Object in cui lo studente deve classificare una superficie quadrica secondo un metodo che non si basa sulla tradizionale classificazione delle quadriche, ma è un processo enattivo, in cui l'utente deve classificare la quadrica usando un robot che sonda informazioni di tipo locale (tipo di punti, molteplicità…). E-Learning e modelli matematici in 3D

NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro particolare flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D al disegno industriale. Una superficie NURBS ha equazione parametrica u,v  [0,1] dove le Ni,h e Nj,k sono le funzioni di base B–Spline definite da: con sui vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq); i pij sono i punti di controllo, e i wij sono i pesi. Valgono le relazioni p=m+h+1 e q=n+k+1 È controllata dai gradi (h e k), dai punti di controllo (pij)e dai pesi (wij). E-Learning e modelli matematici in 3D

NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue: Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata: per opportuni valori si e tj dei parametri. E-Learning e modelli matematici in 3D

L’algoritmo Per risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline. Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è con u[0,1] parametro della rappresentazione parametrica; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i punti di controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline sul vettore dei nodi U=(u0,…,um). m=n+h+1. E-Learning e modelli matematici in 3D

L’algoritmo Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij da approssimare, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j. E-Learning e modelli matematici in 3D

L’algoritmo Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1) per opportuni valori tj del parametro. Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineare NTNP=NTQ dove E-Learning e modelli matematici in 3D

L’algoritmo Passo 1. Si costruisce un'opportuna parametrizzazione (t0,t1,…,tn) Passo 2. Si costruisce il vettore dei nodi U=(u0,u1,…,un+h) Passo 3. Si costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(ti)) i,j=0,…,n-1 Passo 4. Si calcola il prodotto NT N Passo 5. Si applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NT N=LLT. Passo 6. Si calcolano i prodotti NTa ed NTb (Chi sono a e b?)) Passo 7. Si risolvono i sistemi finali LLTx=NTa e LLTy=NTb mediante forward e back substitution. E-Learning e modelli matematici in 3D

Risultati dell’algoritmo File di input Gradi della NURBS 3 3 Dimensioni della griglia 5 5 Punti da approssimare (-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8) Pesi Tutti uguali ad 1 E-Learning e modelli matematici in 3D

Risultati dell’algoritmo E-Learning e modelli matematici in 3D

Resource Discovery Un Learning Object composto da un insieme di asset Ad esempio questo Learning object 3D, in cui il robot deve riconoscere una superficie disturbato da due mostri. La superficie S, i due robot e i mostri si possono modellare come asset di LO Problema: Si puo’ cambiare il LO riusando una superficie in rete? E-Learning e modelli matematici in 3D

Resource Discovery Soluzione: 1) Si definisce un linguaggio di query basato sul web semantico –RDF di un sampling set- 2) Si determina uno shape descriptor della query basato sul sampling set: Nel nostro caso lo shape descriptor di un sampling set è la NURBS generata con l’algoritmo di approssimazione. Si definisce un grado di similarity tra lo shape descriptor del sampling set S e lo shape descriptor S’ della risorsa sul web. Per esempio (Kazdhan 2004) R(S,S’) = Raster(RS)  EDTS(S’) + Raster(RS’) EDTS(S) E-Learning e modelli matematici in 3D

Resource Discovery Resource broker Learning Object RDF NURBS -based Shape descriptor LO Shape descriptor RDF RDF 3D repository LO LO RDF RDF RDF LO LO LO E-Learning e modelli matematici in 3D

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