superfici matematiche in 3D

superfici matematiche in 3D
Università degli Studi di Napoli “Federico II” E-Learning: superfici matematiche in 3D Nicla Palladino Dottorato di Ricerca in Matematica Applicata e Informatica XVI ciclo 29 Settembre 2004

E-Learning e modelli matematici in 3D

Tutto ebbe inizio da ... Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo. Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perché forniscono concretezza ai risultati e sono accessibili all’esperimento. Con un modello matematico si rendono auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate. I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria, usando la percezione.

Come renderle facilmente reperibili ?
Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …? Molte di queste collezioni –come accaduto per tutti i materiali didattici - sono state trasformate in repository di Modelli 3D. Come renderle facilmente reperibili ? Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ? The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate, but the means we use for threading through the consequent maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-rigged ships. Vannevar Bush , “As we may think”, 1945 E-Learning e modelli matematici in 3D

Perché L’E-Learning -Problema Ipercomplessità tecnologica reti di computer il virtuale come spazio antropologico esser “ci” diventa inessenziale de-territorializzazione -le conoscenze aumentano in modo esponenziale incompletezza delle didattiche tradizionali "il sistema non è tutto“ - decostruzione dei saperi l'apprendimento come costruzione enattiva E-LEARNING Soluzione E-Learning e modelli matematici in 3D

Obiettivo: Dai concetti di “decostruzione” e “apprendimento enattivo” nasce l’idea dello sviluppo di tool per “ricontestualizzare” le antiche collezioni di modelli matematici, e di creare le basi per la costruzione di un corso in cui la conoscenza su uno specifico campo del sapere (la geometria delle quadriche) viene impartita nell’ambito dell’E-Learning. G. Minichiello, “Didattica ed Ipertesti”, Bibliopolis, Napoli, 1994 E-Learning e modelli matematici in 3D

La tesi è il risultato di un’attività di ricerca in un ambito che coinvolge il settore della computer grafica e quello dell’E-Learning. Capitolo Primo: L'E-Learning I Learning Object Un Learning Object per la classificazione delle quadriche La rappresentazione di oggetti 3D nel Web Semantico Capitolo Secondo: algoritmi di approssimazione 3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Capitolo Terzo: Le collezioni virtuali di modelli matematici Estensione di un LMS con un’applet 3D E-Learning e modelli matematici in 3D

Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : rappresentazione del dominio di conoscenza Instructor : esperto nel dominio di conoscenza. Definisce l’Ontologia e costruisce le risorse didattiche. Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, popola l’ontologia con le risorse didattiche. Learning Management System: piattaforma per la didattica a distanza. Implementa l’ontologia preparata dall’instructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti; Studente: costruisce le proprie conoscenze con l’aiuto del tutor che gli fornisce i “Learning Object” ed un’interpretazione personalizzata dell’Ontologia costruita dall’Instructor. Entropia Mediatore didattico Studente Learning Management System Ontologia Instructor E-Learning e modelli matematici in 3D

Frammento di Ontologia per la Geometria Vettore Spazio Vettoriale Combinazione Lineare Dimensione Sottospazio Somma Diretta Spazio Unione Formula di Grassmann Base Ortogonale Prodotto Scalare Norma Ortogonalità Omomorfismi Kernel Immagine Automorfismi Cambiamento di base Teorema fondamentale Ortogonalizzazione Di Grahm-Schmidt Disuguaglianza Di Holder Disuguaglianza di Schwartz E-Learning e modelli matematici in 3D

Learning Object L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consente l’accessibilità, l'interoperabilità e la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare senza la necessità di modificarne i componenti. Le conoscenze sono diventate complesse e rendono ugualmente complessi i materiali didattici; per costruire strutture complesse, è necessario che i loro componenti siano “riutilizzabili”. E-Learning e modelli matematici in 3D

Learning Object I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici. Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai Learning Object; I Learning Object sono gli strumenti che popolano le ontologie; I Learning Object sono rappresentati con metadata; I metadata di un Learning Object sono una successione ordinata (array) di attributi Esistono diversi standard per rappresentare i metadata; il più affermato sembra essere lo standard SCORM. E-Learning e modelli matematici in 3D

Learning Object Definizione: Un Learning Object è un’entità -digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia. D.A.Wiley, “The Instructional Use of Learning Objects’’, pp , AIT Editions, 2002. E-Learning e modelli matematici in 3D

Learning Object Definizione2: Un Learning Object è la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica. A. Vanni -F. Formato, Una nuova definizione di Learning Objects. Atti del Convegno “Sviluppo cognitivo e qualità della formazione’’, Ravello, Ottobre 2003. I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi 1) asset: una risorsa elementare -per esempio, un file- 2) altri Learning Object più semplici Strutture “molecolari” dotate di diversi gradi di “granularità” E-Learning e modelli matematici in 3D

L’E-Learning in the large
Modelli di E-Learning Content Provider Learning Service Community L’E-Learning in the large E-Learning e modelli matematici in 3D

I fornitori di contenuto (Content provider)
Modelli di E-Learning L’E-Learning coinvolge tre tipologie di attori: I fornitori di contenuto (Content provider) Possono essere le università o le aziende che fanno formazione. C’è la tendenza ad organizzarsi in comunità virtuali distribuite. Esempi: MIT OCW Repository di learning object prodotti al MIT MURL -Multi University virtual Research Laboratory Repository multimediale di seminari e corsi on-line The Geometry Center E-Learning e modelli matematici in 3D

I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider-LSP)
Modelli di E-Learning I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider-LSP) I fornitori di servizi di e-learning possono essere le stesse Università, oppure le società specializzate in LSP. Distribuiscono servizi per l’E-Learning prodotti con le risorse fornite dai content provider. Esempi: Global Virtual University -Stanford, Oxford, Cambridge distributed virtual university GRID –Arendal servizi di e-learning per la climatologia globale Sfera servizi di E-Learning just in time per le società del gruppo Wind E-Learning e modelli matematici in 3D

Comunità di apprendimento
Modelli di E-Learning Comunità di apprendimento Sono l’estensione del core business delle università tradizionali new university = old university + learning community Esempi: OCW: estende il MIT ai paesi dell’america latina BathMath: comunità di docenti di matematica di UniNa Comunità di pratica (Community of Practice) sostituiscono la formazione professionale E-Learning e modelli matematici in 3D

Problemi principali per il riutilizzo dei LO: Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca. Ricerca dell’informazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore); Estrazione dell’informazione: ad oggi, l’estrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione “manuale” e la lettura dei documenti; Manutenzione dell’informazione: aggiornare documenti è un’attività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi. E-Learning e modelli matematici in 3D

Soluzione: il Web Semantico
Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con metadati. Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. Attualmente l'informazione disponibile sul Web risulta difficilmente reperibile perché i Metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto. T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998 Nel Web Semantico l’informazione diventa machine-processable. E-Learning e modelli matematici in 3D

Tutti i livelli sono codificati in XML.
Il Web Semantico: l’RDF La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). E’ un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,… Tutti i livelli sono codificati in XML. L’URI è in corrispondenza biunivoca con la locazione della risorsa E-Learning e modelli matematici in 3D

Il Web Semantico: l’RDF I metadati limitano la semantica, la sintassi e la struttura a quanto esprimibile con un array. Una delle finalità di RDF è quella di estendere le semantiche per dati conservando la codifica nel formato XML, secondo modalità standardizzate che mirano all'interoperabilità del formalismo di rappresentazione. L’RDF è costituito da due componenti: RDF Data Model, che fornisce un modello per descrivere le risorse; RDF Schema, che definisce un modello per descrivere le relazioni tra le risorse. E-Learning e modelli matematici in 3D

Il Web Semantico: l’RDF Un dominio di conoscenza è una coppia ordinata di insiemi D = (R,T) tali che R  T = . R e T sono, rispettivamente le relazioni e i termini del dominio D. Associamo ad R una funzione : R  N+ chiamata arità. Un elemento r  R tale che (r)= 1 si chiama classe. Chiamiamo C l’insieme delle classi. Un elemento r  R tale che (r)= 2 si chiama relazione binaria. Chiamiamo RDF DATA Model di D l’insieme dei termini del dominio D. L’RDF schema di D è un grafo G = (V, E) in cui V ed E sono sottoinsiemi, rispettivamente, delle classe e delle relazioni binarie in D. L’RDF di D è un grafo G’ = (V’,E’) in cui V’ ed E’ sono, rispettivamente, sottoinsiemi di C  T e delle relazioni binarie, e tutti i nodi terminali, detti istanze di classe , sono elementi di T in relazione E’ con una classe in C E-Learning e modelli matematici in 3D

Un Learning Object Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che trasmette le conoscenze e l’apprendimento si può vedere come costruzione interpretata da parte dello studente. Per illustrare il concetto di apprendimento come filtraggio dell'informazione fornita dall'ambiente, si è messo a punto un Learning Object in cui lo studente deve classificare una superficie quadrica secondo un metodo che non si basa sulla tradizionale classificazione delle quadriche, ma è un processo enattivo, in cui l'utente deve classificare la quadrica mediante effettiva manipolazione, usando un robot che sonda informazioni di tipo locale: tipo di punti, molteplicità, limitatezza … E-Learning e modelli matematici in 3D

Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro particolare flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D al disegno industriale. Si definiscono funzioni di base B-Spline di grado hN sul vettore dei nodi U=(u0,…,up), le funzioni costruite mediante la formula ricorrente u,v  [0,1] con E-Learning e modelli matematici in 3D

Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Assegnati mn punti pi,jR3, dei pesi wijR, un vettore di nodi U=(u0,…,up), un vettore di nodi V=(v0,…,vq), un grado h ed un grado k, si definisce “superficie NURBS” una superficie la cui rappresentazione parametrica è data da Dove u, v  [0,1] sono i parametri della rappresentazione, le Ni,h(u) e le Nj,k(v) sono le funzioni di base B-Spline. I pij sono detti punti di controllo. Sussiste una relazione che lega il grado, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi nelle due direzioni u e v: p=m+h+1 e q=n+k+1 E-Learning e modelli matematici in 3D

Approssimazione con NURBS nel senso dei minimi quadrati Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue: Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata: per opportuni valori si e tj dei parametri. E-Learning e modelli matematici in 3D

L’algoritmo Per risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline. Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è con u[0,1] parametro della rappresentazione parametrica; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i punti di controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline sul vettore dei nodi U=(u0,…,um). Una relazione lega il grado della curva B-Spline, il numero dei punti di controllo ed il numero dei nodi: m=n+h+1. E-Learning e modelli matematici in 3D

L’algoritmo Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij dati, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j. E-Learning e modelli matematici in 3D

L’algoritmo Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1) per opportuni valori tj del parametro. Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineare NTNP=NTQ dove

L’algoritmo Presi in input i gradi h e k per la superficie NURBS approssimante, e la matrice dei punti Qij del problema, i=0,…,m, j=0,…,n, l’algoritmo 1. Costruisce due opportune parametrizzazioni (s0,s1,…,sm), (t0,t1,…,tn); 2. Costruisce i vettori dei nodi U=(u0,u1,…,um+h) e V=(v0,v1,…,vn+k) ; 3. A partire dalle colonne della matrice Q=(Qij), dai parametri (s0,s1,…,sm), dai nodi U=(u0,u1,…,um+h), costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(si)) i,j=0,…,m-1; 4. Calcola il prodotto NTN (matrice simmetrica definita positiva); 5. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NTN=LLT; 6. Calcola i prodotti NTa, NTb, NTc; 7. Risolve i tre sistemi finali LLTx=NTa, LLTy=NTb, LLTz=NTc mediante forward e back substitution. E-Learning e modelli matematici in 3D

L’algoritmo 8. Si ottengono così le coordinate dei punti provvisori pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1; 9. Su ogni riga della matrice P=(pij) i=0,..,m-1,j=0,…,n-1, a partire dai parametri (t0,t1,…,tn), dai nodi V=(v0,v1,…,vn+k), effettua l’approssimazione mediante curve B-Spline, costruendo la matrice dei coefficienti M=(Mj,k(ti)) i,j=0,…,n-1; 10. Calcola il prodotto MTM (matrice simmetrica definita positiva); 11. Applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice MTM ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che MTM=LLT; 12. Calcola i prodotti MTx, MTy, MTz; 13. Risolve i tre sistemi finali LLTx=MTx, LLTy=MTy, LLTz=MTz mediante forward e back substitution; 14. Si ottengono così le coordinate dei punti di controllo pij=(xij,yij,zij) i=0,…,m-1, j=0,…,n-1. E-Learning e modelli matematici in 3D

Risultati dell’algoritmo Paraboloide parabolico File di input Gradi della NURBS 3 3 Dimensioni della griglia 5 5 Punti appartenenti al modello da costruire (-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8) Pesi Tutti uguali ad 1 E-Learning e modelli matematici in 3D

Risultati dell’algoritmo Paraboloide parabolico E-Learning e modelli matematici in 3D

Risultati dell’algoritmo Iperboloide iperbolico Sfera E-Learning e modelli matematici in 3D

Resource Discovery Un Learning Object composto da un insieme di asset; Ad esempio questo Learning Object 3D, in cui il robot deve riconoscere una superficie disturbato da due mostri. La superficie S, i due robot e i mostri si possono modellare come asset di LO; I due mostri introducono l’inatteso necessario nell’apprendimento enattivo (Minichiello 94, Varela & Maturana, 79 ) E-Learning e modelli matematici in 3D

3D Resource discovery con Shape Descriptor Un algoritmo di ricerca di oggetti 3D deve essere i) Corretto ii) Efficiente Esistono diverse metriche di insiemi di R3 in grado di confrontare oggetti 3D Nessuna di queste è efficiente per l’uso in algoritmi di 3D resource Discovery sul Web. Invece di indicizzare l’intero oggetto 3D, si indicizza il suo shape descriptor E-Learning e modelli matematici in 3D

3D Resource discovery con Shape Descriptor
Intuitivamente, lo shape descriptor è un’astrazione del modello 3D, che ne cattura le informazioni rilevanti in una struttura adatta alle comparazioni. Oggetti trovati dallo shape descriptor in una directory 3D 3D Shape descriptor di un ellissoide E-Learning e modelli matematici in 3D

3D Resource discovery con Shape Descriptor Nello stadio di preprocessing si computa lo shape descriptor di ciascun modello del Database. Poi, in presenza di una query Q, viene dapprima calcolato lo shape descriptor Sh(Q) della query Q. Infine, Sh(Q) viene confrontato con lo shape descriptr di tutti i modelli del database e ne vengono estratti i matching migliori. E-Learning e modelli matematici in 3D

Shape Descriptor e Web Semantico Definizione: Uno shape descriptor è un applicazione  di uno spazio metrico (S,d) in uno spazio di Banach S’ a dimensione finita IDEA: Definire uno shape descriptor s, tale che due oggetti X e Y sono simili nella misura in cui lo sono s(X) e s(Y); Codificare s con una opportuna RDF del web semantico. In questo modo lo shape descriptor è memorizzato nel database e usato nel linguaggio di query come una stringa XML. E-Learning e modelli matematici in 3D

Resource Discovery Soluzione: Come linguaggio di query consideriamo un linguaggio sufficientemente potente per esprimere un insieme di punti S (SQL); Rappresentiamo l’insieme S con un RDF; Come shape descriptor (S) consideriamo la NURBS generata con l’algoritmo di approssimazione. Calcoliamo la distanza –che è anche il grado di similarità -tra (S) e lo shape descriptor (S’) della risorsa sul web S’. Nel caso delle NURBS, sia (S) che (S’) possono essere espressi con una semplice RDF. E-Learning e modelli matematici in 3D

Resource Discovery Resource broker Learning Object NURBS -based Shape descriptor RDF Mondo web NURBS -based Shape descriptor RDF RDF Componenti del Learning Object LO LO 3D repository RDF RDF RDF LO LO LO E-Learning e modelli matematici in 3D

Resource Discovery Supponiamo di voler associare una RDF al Learning Object 1) Si dichiara lo schema XML dell'RDF. <?xml version="1.0" encoding="ISO " ?> <xs:schema xmlns:xs=" ...... </xs:schema> 2) Si mette questo file nel URL che è l'URI del "namespace" delle quadriche. 3) Per la superficie in questione, si crea il nuovo file RDF: <xs: xlns = quadriche uri = URL: <quadriche : equazione> x^2 + y^2 ....</quadriche:equazione> <quadriche: determinante>30 </quadriche:determinante> chiamato superficie_ xml

Resource Discovery 4) Quando il broker prende il file “superficie_ xml", va a fare il parsing in base al template dichiarato che trova 5) Successivamente, calcola lo shape descriptor e poi calcola una distanza tra questa matrice e la matrice dello shape descriptor della query, che è stata calcolata con una NURBS. Se la distanza è minore di una certa soglia, allora l'iperboloide ellittico viene trasferito in un altro sito oppure vengono attivati dei metodi remoti per interagire con esso a distanza E-Learning e modelli matematici in 3D

Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche
3x2+4y2+2xy+9z2-1=0 Quadrica Piano Tangente det(Quadrica) Intersezione C det=0 det0 C reale non degenere C reale non degenere C immaginaria Cono Reale Immaginario Cilindro Iperbolico Parabolico Ellittico C degenere Ellissoide det>0 Paraboloide Ellittico Iperbolico det=-99<0 det<0 Iperboloide Ellittico Iperbolico Iperboloide Ellittico C 2 rette reali C 2 rette immaginarie C 1 retta

Codifica dell’RDF in XML
<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <rdf : xmlns:rdf =“ xmlns :xsd =“ xmlns : quadriche = “ > <rdf: Description> <quadrica: determinante> <quadrica: R_neg value= “-99” > </quadrica:determinante> <quadrica:equazione> 3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0 </quadrica:equazione> <quadrica: intersezione_piano_improprio> <quadrica: Conica_reale_non_degenere> <quadrica: discriminante> <quadrica: R+ value = “99”/> </quadrica: discriminante> </quadrica: Conica_reale_non_degenere </quadrica: intersezione_piano_improprio> </rdf: Description>

Stato dell’arte della Ricerca
Ho definito un modello di e-learning in the large in cui riusare le collezioni matematiche. Ho costruito un Learning Object in base alle didattiche eleborate per l’e-learning. Ho sviluppato un algoritmo di approssimazione di superfici con NURBS Ho costruito un 3D-resource broker con l’algoritmo di approssimazione mediante NURBS. E-Learning e modelli matematici in 3D

3 contributi essenziali: Un nuovo ambiente di apprendimento 3D, il web semantico per la grafica 3D, la Nurbs approximation si può fare 1) una prima parte in cui ai problemi risolti si aggiungono quelli non risolti 2) una seconda parte in cui si descrivono le soluzioni proposte nella tesi PUNTI: Il LO 3D Dove siamo partiti? Dall’idea della Trasposizione on-line delle lezioni di Luigi Campedelli I modelli matematici. Una cosa va evidenziata: la completezza della geometria euclidea che permette di esprimere in modo visuale le proposizioni dimostrabili. Il LO è basato su questa proprietà. La completezza della geometria euclidea-Tarski. Il modello SCORM. Questo è uno dei problemi: attenersi al modello scorm. risposta nostra: abbiamo scritto una RDF per il LO e una RDF -che è anche metadata- per gli asset, perché lo SCORM non permette di specificare i componenti di un LO e quindi non ne consente il riuso. Ricapitolando:1. E-learning 1.2 Un ambiente di apprendimento 3D 1.3 Trasposizione on-line delle lezioni di Luigi Campedelli Storicizzazione Completezza della geometria E-learning 1.4.2Learning Object Lo standard SCORM . 7) Semantic web Semantic Web per i modelli matematici E-Learning e modelli matematici in 3D

1.1 I Learning Object 1.2 Un learning object 3D? 1.3Trasposizione on-line delle lezioni di Luigi Campedelli? 1.3.1 Storicizzazione 1.3.2 Completezza della geometria 1.4.1 Lo standard SCORM 1.5. Semantic Web 1.5.2 Un RDF per l'ambiente 3D 1.5.3 Una RDF per i modelli matematici 1.6 L'algoritmo NURBS riuso dei modelli matematici con NURBS approximation 1.6.2 Il paraboloide a sella NURBS riusato per l'ambiente 3D E-Learning e modelli matematici in 3D

D shape descriptors 1.7.2 Il smapling set come shape descriptor 1.7.3 Una RDF per il sampling set 1.7.4 Una RDF per le NURBS 1.7.5 Proposta: Le NURBS come resource brokers Nuovi scenari per la didattica con il riuso NURBS-based dei modelli matematici Il 4D Modelling Il filtraggio collaborativo 1.8 Concusioni E-Learning e modelli matematici in 3D

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