Lavoro, Forza Gravitazione, Campi di Forze Centrali

Presentazione sul tema: "Lavoro, Forza Gravitazione, Campi di Forze Centrali"— Transcript della presentazione:

1 Lavoro, Forza Gravitazione, Campi di Forze Centrali
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2 Campi di … 2

3 Esempi: Campo: geometrizzazione della “forza” =
Campi di Forze Forza che agisce su un punto materiale P dipende da: posizione, velocità, istante considerato …. Campo: geometrizzazione della “forza” = = “fisicizzazione” della geometria Esempi: campo gravitazionale campo elettrico campo magnetico 3

4 l Lavoro elementare: dL=F·dr =Fdrcosα N m=joule (J)
[L]=[mlt-2 l]=[ml2t-2] F α α<π/2 dL>0 lavoro motore A dr l α>π/2 dL<0 lavoro resistente O B 4

5 l Lavoro della forza F nell’intervallo di tempo (t1, t2): F dL=F·dr
Ancora lavoro Lavoro della forza F nell’intervallo di tempo (t1, t2): F dL=F·dr =Fdrcosα α t1-A dr= dt v Potenza: W=dL/dt l (integrale di linea o integrale curvilineo) t2-B O 5

6 Punto materiale di massa m e velocità v:
Energia Cinetica Punto materiale di massa m e velocità v: Energia cinetica Ec =½mv2 [Ec]=[ml2t2]=[L] Identità: joule (J) ½d(v2)= ½d(v·v)= d(v)·v =(dv/dt)·vdt 6

7 Teorema dell’Energia Cinetica
LAB,l =Ec(B) - Ec(A) = ΔEc R=F R=m (dv/dt) {II legge Newton} m A vA Ec(A) l vB Ec(B) (Teorema delle Forze Vive) B 7

8 Significato dell’Energia Cinetica 1
L12,l =Ec(2) - Ec(1) = ΔEc Se v1=0  F m P1 Energia cinetica di un corpo, rispetto ad un osservatore, è uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocità considerata. v1 Ec(1) l v2 Ec(2) P2 8

9 Significato dell’Energia Cinetica 2
L12,l =Ec(2) - Ec(1) = ΔEc Se v2=0  m P1 Energia cinetica di un corpo è opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto all’osservatore considerato. v1 Ec(1) l F v2 Ec(2) P2 9

10 l Ll : dipende da l ! Se, qualunque sia la traiettoria chiusa, Ll=0 
Campi Conservativi Ll : dipende da l ! Se, qualunque sia la traiettoria chiusa, Ll=0  Forze Conservative Campo Conservativo l 10

11 Teorema su forze conservative
Dato un campo conservativo, il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria Campo conservativo : A 1 2 B 11

12 Qual è il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )?
Energia Potenziale Se campo conservativo  possibile definire una funzione della sola posizione, Energia Potenziale EP Qual è il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (LAB )? A B LAB= [K-EP(B)]-[K-EP(A)] = = EP(A) - EP(B) =-ΔEP O EP(O)=K 12

13 Energia Cinetica & Energia Potenziale
In un Campo Conservativo  LAB= EP(A) - EP(B) =-ΔEP Teorema energia cinetica  LAB=Ec(B) - Ec(A) = ΔEc 0=Ec(B)+EP(B) – [Ec(A)+EP(A)] Energia Totale =Ec(B)+EP(B) = Ec(A)+ EP(A) =cost. Se agiscono solo Forze Conservative l’Energia Totale si CONSERVA (Teorema di Conservazione dell’Energia Meccanica) 13

14 Gravitazione universale
Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause. Isaac Newton intuì che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole è la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra. Tale forza è universale! Vale per qualsiasi coppia di oggetti.

15 Legge di gravitazione universale
La forza che si esercita tra due corpi puntiformi di masse m1 e m2 è: direttamente proporzionale alle masse dei corpi; inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r. Poiché le masse sono sempre (e solo!) positive è sempre attrattiva!

16 La gravitazione universale
L'espressione matematica è: G è la costante di gravitazione universale:

17 Dipendenza dalla massa
Fissata la distanza r tra i due corpi, variamo m1, m2

18 Dipendenza dalla distanza
Fissate le masse dei due corpi m1 e m2: se r raddoppia, la forza diventa 1/4; se r triplica, la forza diventa 1/9; se r si dimezza, la forza quadruplica.

19 La gravitazione universale
Il modulo di F è inversamente proporzionale a r2: F diminuisce rapidamente al crescere di r; F aumenta velocemente al tendere di r a zero.

20 Forza-peso e costante G
La forza-peso FP è la forza (di gravità) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando è posta vicino alla superficie terrestre. MT , RT: massa e raggio della Terra Ricaviamo G: Con i valori di MT , RT noti a Newton si ottiene

21 Accelerazione di gravità alla superficie della Terra
noti MT e RT, si ricava il valore di g: La quantità in parentesi è una costante e vale:

22 Accelerazione di gravità sulla superficie della Terra
Il valore dell'espressione corrisponde proprio al valore sperimentale di g. Da cui si ricava: FP = mg come caso particolare della legge di gravitazione, in prossimità della superficie terrestre con

23 Lavoro della Forza Peso
x z (dz= -cosα dr) A g zA dr m dz = EP(A) - EP(B) =-ΔEP O K=0 α P zB B EP(A)=P zA = mg zA Energia potenziale della forza peso 23

24 Esperimento di Cavendish
Henry Cavendish (1798) misurò per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione. Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse più grandi M1 e M2. Dall'angolo di torsione del filo si misura il valore di F. Si ottiene

25 Massa inerziale = massa gravitazionale
massa inerziale, mi: indica la resistenza del corpo ad essere accelerato; massa gravitazionale, mg: indica la capacità di attrarre oggetti ed essere attratto da essi. I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali.

26 Forza di gravitazione universale
dr m A ds F α rA l Energia potenziale gravitazionale r Punto di riferimento a r=∞ , K=0 C mc rB B Potenziale gravitazionale di mc 26

27 Relazione tra Forza ed Energia Potenziale
dL=Fdr x y z F Fz Fy drdxi i j k Fx 27

28 Campo di Forza Centrale (definizione)
In ogni punto P, F è diretta lungo PO, dove O è un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva) |F| è funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) ) + O 28 28

29 Campo di Forza Centrale : Conservativo !
dL=Fds=±|F|dr ds dr P F Superfici equipotenziali ??? + O Linee di forza ??? 29 29

30 Linee di Forza e Superficie Equipotenziale
Superficie equipotenziale= luogo punti EP(x,y,z)=cost Campo gravitazionale: c1 c2 mc F  sup equ Linee di forza 30

31 Campo di Forza Centrale : Momento Angolare ?
mv lO=r×p=r×mv G r F =0 lO=costante ; Cosa implica ??? lO: direzione costante  moto in un piano lO: verso costante  ruota sempre nello stesso verso intorno ad O + O 31 31

32 Campo di Forza Centrale : Velocità Areolare ?
mv dt lO=r×p=r×mv G rd r F d lO: cost. in modulo  vel areolare costante + O 32 32

33 Modello tolemaico / modello copernicano: sintesi
Tolomeo: La Terra è ferma al centro dell'Universo, Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico). Epicicli e deferenti (perfezionamento) Corpi celesti, sferici e perfetti, “traiettorie” circolari. Copernico: Sole al centro, fermo, pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico). Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche.

34 Prima legge di Kepler Joannes Kepler (1571-1630) Prima legge di Kepler
Le orbite dei pianeti sono figure piane, ellissi, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Si definiscono: - perielio: il punto dell'orbita più vicino al Sole. - afelio: il punto dell'orbita più lontano dal Sole.

35 Seconda legge di Kepler
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. Vale per qualunque corpo che orbiti!!!

36 Terza legge di Kepler Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell'orbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T è costante (lo stesso per tutti i pianeti). T aumenta al crescere di a   i pianeti lontani impiegano più tempo a compiere un giro intorno al Sole.

37 La deduzione delle leggi di Keplero
Le tre leggi di Keplero sono conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale. Prima legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della proporzionalità della F gravitazionale a 1/r2: le traiettorie possono essere ellissi, parabole o iperboli; le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze).

38 La deduzione delle leggi di Keplero
Seconda legge di Keplero: è conseguenza della conservazione del momento angolare. Al perielio rP è minimo, quindi vP è massima; all'afelio rA è massimo, quindi vA è minima. poiché L è costante, r e v sono inversamente proporzionali.

39 La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero: per orbite circolari. Moto circolare uniforme: Essendo si ha ovvero Poiché la quantità a destra dell'uguale è costante, la terza legge di Keplero è verificata.

40 L'energia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto l'azione di una massa maggiore M. Si dimostra che Quindi l'energia potenziale U è:

41 Energia potenziale si annulla all'infinito
Nella formula di U è conveniente porre k=0. Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita. Si scrive dunque

42 Energia potenziale che si annulla all'infinito
Rappresentiamo il grafico della funzione U(r). U(r) è sempre negativa (potenziale attrattivo). La dipendenza da 1/r determina: l'annullarsi di U(r) per r che tende ad infinito; il tendere all’infinito di U per r che tende a zero.

43 Gravità / conservazione dell'energia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validità della legge di gravitazione universale e dei princìpi della dinamica, anche perché nel vuoto spaziale non esiste attrito.

44 forza di gravità / conservazione dell'energia meccanica
La legge di conservazione dell'energia in questo caso è valida e dà un'altra spiegazione alla seconda legge di Keplero.

45 forza di gravità / conservazione dell'energia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza è infinita. Se il proiettile percorre un'orbita ellittica, v<vfuga e l'energia totale E=K+U è negativa. Se il proiettile ha v=vfuga, riesce a liberarsi e l'energia totale E=K+U è zero. Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica, v>vfuga e l'energia totale E=K+U è positiva.

46 Il moto dei satelliti sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocità arbitraria).

47 L'orbita di un proiettile con v0=7,9x103 m/s è una circonferenza.
Diversi tipi di orbite L'orbita di un proiettile con v0=7,9x103 m/s è una circonferenza. All'aumentare ancora di v0 la traiettoria diventa un'ellisse; superato un certo valore la traiettoria è un'iperbole: il proiettile si allontana dalla Terra.

48 La velocità dei satelliti in orbita circolare
Satellite di massa m in orbita circolare di raggio R con velocità v intorno alla Terra. Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta: R al denominatore: più il satellite è lontano dalla Terra, più è lento.

49 v fuga: minima per raggiungere ∞  ET(∞)= EP(∞)=0
Velocità di Fuga Qual è la velocità di fuga di una molecola di O2 dell’atmosfera terrestre ? ET(r)=½mv2-GMm/r v fuga: minima per raggiungere ∞  ET(∞)= EP(∞)=0 ET(∞)= ET(r)=½mv2-GMm/r=0 G=6.67×10-11, r=6.35×106, M=5.98×1024 r M 1.1×103 m/s 49

50 Satelliti geostazionari
si muovono alla velocità di rotazione terrestre, quindi appaiono fermi rispetto alla Terra.