APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

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1 APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

2 MENU Numeri Polinomi Frazioni algebriche Equazioni Sistemi
Disequazioni Geometria

3 1. NUMERI Insiemi numerici Criteri di divisibilità Addizione
Sottrazione Moltiplicazione Divisione Potenza Radice MENU

4 INSIEMI NUMERICI Naturali ℕ={0,1,2,3,4…}
Interi ℤ={…-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3…} Razionali ℚ={interi, decimali finiti, decimali illimitati periodici} ℚ={x|x=p/q, p∈ℤ e q∈ℕ*} Reali ℝ={razionali, irrazionali} (irrazionali: decimali illimitati non periodici) Complessi ℂ={reali, i} i=√-1 unità immaginaria

5 “+” positivi “-” negativi es. ℤ -={-1,-2,-3…} “*” escluso lo zero es. ℤ *={…-3,-2,-1,+1,+2,+3…} “a” assoluti es. ℤ a={0,1,2,3…}=ℕ “0” con l’aggiunta dello zero es. ℤ -o={0,-1,-2,-3…}

6 CRITERI DI DIVISIBILITA’
2: ultima cifra multipla di 2 (0,2,4,6,8) 5: ultima cifra multipla di 5 (0,5) 4: ultime due cifre multiplo di (00,04,16,52,76…sono 25) 25: ultime due cifre multiplo di (00,25,50,75) 8: ultime tre cifre multiplo di (000,432,520…sono 125) 125: ultime tre cifre multiplo di (000,125,250,375,500,625,750,875)

7 3: somma delle cifre multiplo di 3 (357,84…)
11: la differenza tra la somma delle cifre di posto pari con la somma delle cifre di posto dispari, multiplo di 11 (71533…) Nota: 7 e 13 esiste ma non è utilizzata

8 ADDIZIONE Operazione interna Commutativa Associativa
Esiste 0 elemento neutro Esiste il simmetrico di a: -a (opposto)

9 SOTTRAZIONE Invariantiva: se si somma o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo che al sottraendo, la differenza non cambia

10 MOLTIPLICAZIONE Operazione interna Commutativa Associativa
Distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione Esiste 1 elemento neutro Esiste il simmetrico di a (se a≠0): 1/a (reciproco) Esiste 0 elemento assorbente Legge di annullamento del prodotto

11 DIVISIONE Invariantiva: se si moltiplicano o si dividono sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non cambia mentre il resto se c’è viene moltiplicato o diviso per lo stesso numero Distributiva (solo da una parte) MENU

12 POTENZA Definizioni Proprietà Note

13 DEFINIZIONI an a base n esponente an potenza n∈ℤ se n=0 e a≠0: a0 = 1
se n=1: a1 = a se n≥2: an = a∙a∙a∙ ∙ ∙a (n volte) se n<0 e a≠0: an = (1/a)-n se n=0 e a=0: 00 indeterminata n∈ℚ se n=p/q e q≠0: an = q√ap

14 PROPRIETA’ Il prodotto di due o più potenze con ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti Il quoziente di due potenze con ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti

15 Il prodotto di due o più potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione: la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori. Il quoziente di due potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto alla divisione: la potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore

16 La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

17 NOTE In una espressione si applicano prima le proprietà delle potenze o si calcolano con la definizione, poi si eseguono le moltiplicazioni e le divisioni, così come si presentano, e infine le addizioni e le sottrazioni Se nelle espressioni ci sono delle parentesi bisogna cominciare a risolvere da quelle più interne

18 Le proprietà delle potenze sovvertono le priorità delle operazioni
Le proprietà delle potenze sovvertono le priorità delle operazioni. Bisogna dare sempre la precedenza alle proprietà piuttosto che alle definizioni Se non c’è la parentesi l’esponente è riferito solo al numero immediatamente alla sua sinistra Una potenza con esponente pari è sempre positiva; una potenza con esponente dispari conserva il segno della base

19 RADICE Definizioni Proprietà Note

20 a radicando n indice n√a radicale
DEFINIZIONI n√a a radicando n indice n√a radicale n√a = b se e solo se bn = a a,b∈ℝ n∈ℕ* radicali algebrici a,b∈ℝa n∈ℕ* radicali aritmetici

21 se n=0: 0√a priva di significato
se n=1: 1√a= a se n=2: 2√a=√a radice “quadrata” se n=3: 3√a radice “cubica” se n>0: n√0=0

22 PROPRIETA’ Proprietà invariantiva: il valore di un radicale aritmetico non cambia se si moltiplicano o si dividono l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0 Il prodotto di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto alla moltiplicazione: la radice di un prodotto è uguale al prodotto dei singoli radicali

23 Il quoziente di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto alla divisione: la radice di un quoziente è uguale al quoziente dei singoli radicali La potenza di un radicale è uguale a un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza del radicando La radice di una radice è una radice che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando

24 NOTE Sviluppare l’espressione “sotto” radice
Lavorare “con” il radicale Operare “tra” i radicali Non si lasciano radici al denominatore e denominatori sotto radice MENU

25 2. POLINOMI Prodotti notevoli Divisioni Scomposizioni MENU

26 PRODOTTI NOTEVOLI Prodotto somma per differenza (A+B)(A-B)=A2-B2
Quadrato di binomio (A+B)2=A2+2AB+B2 Quadrato di trinomio (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC Cubo di binomio (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

27 Prodotto somma (differenza) per il suo falso quadrato
(A+B)(A2-AB+B2)=A3+B3 (A-B)(A2+AB+B2)=A3-B3 Potenza di binomio il polinomio consta di n+1 termini, ciascuno è il prodotto del coefficiente (preso dal triangolo di Tartaglia) per le potenze decrescenti del primo termine (da n a 0) per le potenze crescenti del secondo (da 0 a n)

28 DIVISIONI Divisione tra due polinomi
Divisione con la regola di Ruffini

29 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI
Il dividendo deve essere ordinato e completo Il divisore ordinato Il grado del quoziente è uguale alla differenza dei gradi del dividendo e del divisore Il grado del resto è minore del grado del divisore La divisione termina quando il grado del resto diventa minore del grado del divisore Prova B.Q+R=A A dividendo B divisore Q quoziente R resto

30 DIVISIONE CON RUFFINI Il dividendo A(x) deve essere ordinato e completo Il divisore (x-a) deve essere un binomio ordinato di primo grado con il primo coefficiente uguale a 1 Il resto R è un termine di grado 0 Nella regola di Ruffini si utilizzano solo i coefficienti Teorema del resto: R=A(a) (il resto è il valore che il dividendo assume in a, cioè il valore che si ottiene sostituendo “a” al posto di “x”) Se il primo coefficiente non è 1 è possibile effettuare la divisione con Ruffini dopo averla opportunamente modificata applicando la proprietà invariantiva

31 SCOMPOSIZIONI Definizioni Uso

32 DEFINIZIONI Raccoglimento a fattor comune AM+BM+CM=M(A+B+C) Regola. Si individua il MCD; si mette in evidenza e si moltiplica per il polinomio ottenuto divedendo ciascun termine per il MCD. È l’inverso della proprietà invariantiva. Raccoglimenti successivi AM+BM+AN+BN=M(A+B)+N(A+B)=(A+B)(M+N) Regola. Si effettua quando non è possibile raccogliere a fattor comune ma solo a 2 a 2 oppure a 3 a 3. Ci deve essere un numero pari di termini o 9. Il secondo passaggio è sempre il raccoglimento a fattor comune.

33 Differenza di due quadrati
A2-B2 =(A+B)(A-B) Regola. Si moltiplica la somma delle basi per la loro differenza. Trinomio quadrato di binomio A2+2AB+B2=(A+B)2 Quadrinomio cubo di binomio A3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3 Polinomio quadrato di trinomio A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)2

34 Somma o differenza di due cubi A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
Trinomio notevole X2+(A+B)X+AB=(X+A)(X+B) Regola. È un trinomio ordinato in cui il primo termine ha grado doppio del secondo e il terzo è noto. Il primo coefficiente è 1; il secondo è la somma di due termini e il terzo è il prodotto degli stessi.

35 Ruffini. Si applica in presenza di un polinomio ordinato
Ruffini. Si applica in presenza di un polinomio ordinato. E’ la prova di una divisione di cui si conosce solo il dividendo A(x) (il polinomio da scomporre); il divisore (x-a) si cerca per tentativi; il quoziente Q(x) si trova con la regola di Ruffini; il resto R deve essere zero. prova: A(x)=Q(x)(x-a)+R, R=0 a: si cerca tra i divisori del termine noto o tra le frazioni aventi al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del primo coefficiente in modo che R=0

36 USO Due termini: - raccoglimento a fattor comune
- differenza di due quadrati - somma o differenza di due cubi - Ruffini Tre termini: - trinomio quadrato di binomio - trinomio notevole

37 NOTE Se ci sono delle frazioni spesso conviene fare il denominatore comune e poi scomporre il numeratore Si raccoglie il primo segno che si incontra Le parentesi quadre diventano tonde e le tonde si eliminano facendo i calcoli Per iniziare e per finire una scomposizione è necessario scomporre i polinomi dentro le parentesi

38 - raccoglimento a fattor comune - raccoglimenti successivi
Quattro termini: - raccoglimento a fattor comune - raccoglimenti successivi - quadrinomio cubo di binomio - misto - Ruffini Cinque o più termini: - raccoglimenti successivi (solo con sei, otto, nove termini …) - polinomio quadrato di trinomio MENU

39 3. FRAZIONI ALGEBRICHE Semplificazione Moltiplicazione e divisione
Potenza Somma algebrica Sviluppo espressioni Espressioni frazionarie Espressioni con i radicali MENU

40 SEMPLIFICAZIONE Scomporre il numeratore e il denominatore
Individuare il dominio della frazione (cioè escludere quei valori che annullano ciascun fattore del denominatore: C.E. condizioni di esistenza) Semplificare i fattori

41 MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
Scomporre tutti i numeratori e tutti i denominatori Individuare il dominio della frazione (…) Semplificare un qualsiasi fattore al numeratore con un qualsiasi fattore al denominatore

42 POTENZA Scomporre il numeratore e il denominatore
Indicare il dominio della frazione (…) Semplificare Applicare la proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione e alla divisione

43 SOMMA ALGEBRICA Scomporre i denominatori “sotto”
Indicare il dominio della frazione (…) Scomporre i numeratori “sopra” solo se si vede la possibilità di semplificare la frazione Individuare il m.c.m. dei denominatori Fare il denominatore comune Fare i calcoli al numeratore Scomporre il numeratore Semplificare la frazione MENU

44 SVILUPPO ESPRESSIONI Eseguire prima le operazioni dentro parentesi
Ordine delle operazioni: - potenze - moltiplicazioni e/o divisioni - somme e/o sottrazioni Proprietà delle potenze e/o prodotti notevoli hanno la precedenza

45 ESPRESSIONI FRAZIONARIE
Sviluppare ogni espressione presente in ciascun numeratore e in ciascun denominatore Moltiplicare il numeratore per il reciproco del denominatore E’ possibile semplificare tra loro i numeratori o i denominatori prima del punto 2. se, scomposti, contengono fattori uguali

46 ESPRESSIONI CON I RADICALI
Sviluppare l’espressione “sotto” radice Lavorare “con” il radicale Operare “tra” i radicali N.B. Non si lasciano radici al denominatore e denominatori sotto radice MENU

47 4. EQUAZIONI Principi d’equivalenza Equazioni lineari in una incognita
Equazioni fratte Equazioni letterali Equazioni di secondo grado Equazioni parametriche Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni irrazionali MENU

48 PRINCIPI D’EQUIVALENZA
1° Principio dell’addizione: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione lo stesso valore o espressione si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: a) principio del trasporto b) legge di cancellazione c) riduzione di un membro a zero P(x)=0

49 2° Principio della moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per lo stesso valore o espressione diversi da zero si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: a) cambiamento del segno b) moltiplicazione per un multiplo comune (eliminazione denominatori) c) divisione per un divisore comune (semplificazione termine a termine)

50 EQUAZIONI LINEARI IN UNA INCOGNITA
Una equazione in una sola incognita è di primo grado (o lineare) quando, in Forma Normale, si riduce ad un binomio di primo grado. In questo caso la F.N. assume tale aspetto: ax=b a≠0 a,b costanti x variabile a si dice coefficiente dell’incognita b si dice termine noto

51 a≠0: ax=b eq. det. 1 sol. x=b/a
a=0, b=0: 0=0 eq. indet. ∀x a=0, b≠0: 0=b eq. imp. ∄ x Per raggiungere la F.N. occorre utilizzare le regole dello sviluppo delle espressioni e i due principi di equivalenza o le loro conseguenze Raggiunta la forma normale la soluzione è sempre data da: x= termine noto diviso coefficiente dell’incognita

52 Si elimina un termine o un gruppo di termini se hanno “stesso segno e parti opposte” oppure “stessa parte e segno opposto” Fare la verifica di un’equazione consiste nel sostituire la soluzione trovata al posto dell’incognita nel testo e controllare che soddisfi la definizione di soluzione

53 EQUAZIONI FRATTE E’ necessario mettere le condizioni perchè non solo bisogna indicare il dominio di una frazione algebrica ma anche il secondo principio permette di eliminare solo denominatori diversi da zero. Esse si mettono guardando i denominatori di un qualsiasi passaggio (dal testo alla soluzione). Si mettono solo sui fattori letterali non scomponibili (*) di primo grado (**). Trovata la soluzione bisogna fare il controllo dell’accettabilità. (*) Infatti se un polinomio di grado superiore al primo non è scomponibile non si annulla in alcun numero razionale (se esistesse tale numero sarebbe scomponibile con Ruffini!). (**) inoltre una potenza è zero solo se la sua base è zero.

54 EQUAZIONI LETTERALI In queste equazioni oltre all’incognita compare anche un’altra lettera (costante o parametro) al cui variare varia anche la natura dell’equazione (determinata, indeterminata, impossibile) e della soluzione (accettabile, non accettabile).

55 Raggiungere la F.N. mettendo le condizioni su tutti i fattori letterali presenti al denominatore (*)
Nella F.N. scomporre sia il coefficiente della x che il termine noto Mettere le condizioni sul coefficiente della x (**) Risolvere l’equazione x=b/a

56 Fare la discussione (*) condizioni sui denominatori a) solo sul parametro (C.E.): eq. perde significato b) sull’incognita (C.A.): sol. non accettabile (**) condizioni sul coefficiente dell’incognita a) annulla anche il termine noto: eq. indeterminata b) non annulla il termine noto: eq. impossibile

57 C.A. Bisogna confrontare la soluzione ottenuta con i valori che la rendono non accettabile. Si tratta di risolvere piccole equazioni in cui l’incognita è il parametro a) Se l’eq. sul parametro è di grado superiore al primo, si scrive nella forma P(a)=0, si scompone e si applica la legge di annullamento del prodotto b) Se l’eq. sul parametro è impossibile: soluzione sempre accettabile c) Se l’eq. sul parametro è indeterminata: soluzione mai accettabile Doppioni: perde significato: “vince sempre” eq. indet. / sol. non acc. : “tutte e due” eq. imp. / sol. non acc. : “impossibile”

58 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Una equazione in una sola incognita è di secondo grado quando ridotta a Forma Normale assume tale aspetto: ax2+bx+c=0 a≠0 a,b,c costanti x variabile

59 b≠0, c≠0 ax2+bx+c=0 eq. completa
discriminante: =b2-4ac >0 due soluzioni reali e distinte =0 due soluzioni reali e coincidenti <0 nessuna soluzione reale

60 b≠0, c=0 ax2+bx=0 eq. incompleta spuria
due soluzioni reali di cui una uguale a zero b=0, c≠0 ax2+c=0 eq. incompleta pura a, c discordi: due soluzioni reali opposte a, c concordi: nessuna soluzione reale b=0, c=0 ax2 =0 eq. monomia due soluzioni reali uguali a zero

61 x1, x2 soluzioni reali s = x1+x2 = -b/a p= x1∙x2 = c/a F.N. x2-sx+p=0 ax2+bx+c = a(x-x1)∙(x-x2)

62 EQUAZIONI PARAMETRICHE
Si chiamano “parametri” le lettere contenute in almeno un coefficiente di una equazione letterale ed “equazioni parametriche” quelle in cui i coefficienti dipendono da uno o più parametri. Nelle equazioni parametriche si cerca di risolvere il problema di determinare , se possibile, quei particolari valori da attribuire al parametro affinché le soluzioni dell’equazione verifichino determinate condizioni. Generalmente ciò si risolve ricorrendo alle relazioni tra coefficienti e soluzioni, mai risolvendo l’equazione.

63 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
Sono equazioni aventi una Forma Normale del tipo P(x)=0 dove P(x) è un polinomio di grado superiore al secondo. La loro soluzione si riconduce a quella di equazioni di primo o di secondo grado. Eq. abbassabili di grado: F.N. P(x)=0. Si scompone P(x) in fattori di primo o di secondo grado, si risolve applicando la legge di annullamento del prodotto

64 Eq. binomie: F.N. axn+b=0. n pari a,b concordi: nessuna soluzione reale a,b discordi: due soluzioni reali opposte n dispari una soluzione reale

65 Eq. trinomie: F. N. ax2n+bxn+c=0
Eq. trinomie: F.N. ax2n+bxn+c=0. Si risolvono con un cambio di variabile y=xn. Casi particolari eq. biquadratiche: ax4+bx2+c=0 eq. del tipo: a(…)2n+b(…)n+c=0

66 EQUAZIONI IRRAZIONALI
Si dice irrazionale un’equazione in cui l’incognita compare sotto radice. I radicali con indice pari sono da considerarsi aritmetici, quelli con indice dispari algebrici. Teorema: elevando ad uno stesso esponente i due membri di un’equazione se ne ottiene un’altra il cui insieme soluzione contiene quello dell’equazione di partenza.

67 Primo caso: un radicale
Isolare il radicale con il segno positivo Elevare a potenza entrambi i membri Risolvere l’equazione ottenuta Verificare l’accettabilità della soluzione sostituendo il valore trovato nel testo. Secondo caso: due radicali Isolare un radicale con il segno positivo Proseguire come nel primo caso

68 Terzo caso: tre o quattro radicali Isolare due radicali
Elevare a potenza entrambi i membri Proseguire come nel secondo caso MENU

69 5. SISTEMI Sistemi lineari Metodo di sostituzione Metodo di confronto
Metodo di addizione Metodo di Cramer Metodo grafico Sistemi letterali MENU

70 SISTEMI LINEARI Raggiungere la Forma Normale
Applicare un metodo di soluzione: tre metodi (sostituzione, addizione, confronto) hanno come scopo quello di ottenere un’equazione con una sola incognita; quello di Cramer è un metodo “meccanico”; quello grafico consiste nel rappresentare nel piano cartesiano le equazioni e la soluzione del sistema. a/a1≠b/b1 sistema determinato a/a1=b/b1≠c/c1 sistema impossibile a/a1=b/b1= c/c1 sistema indeterminato

71 METODO DI SOSTITUZIONE
Raggiungere la F.N. Ricavare un’incognita in una delle due equazioni (a piacere) e sostituirla nell’altra Risolvere l’equazione in una sola incognita così ottenuta al punto 2. Ricavare l’altra incognita sfruttando l’altra equazione ottenuta al punto 2.

72 METODO DI CONFRONTO Raggiungere la F.N.
Ricavare la stessa incognita in entrambe le equazioni Costruire un sistema avente come prima equazione quella ottenuta dal confronto delle espressioni ottenute al punto 2., come seconda una delle due equazioni del punto 2. Risolvere l’equazione in una sola incognita così ottenuta al punto 3. Ricavare l’altra incognita utilizzando l’altra equazione del punto 3.

73 METODO DI ADDIZIONE Raggiungere la F.N.
Applicando il principio della moltiplicazione fare in modo che la stessa incognita abbia coefficiente opposto nelle due equazioni (m.c.m. dei coefficienti) Sommare termine a termine le due equazioni Risolvere l’equazione in una sola incognita così ottenuta al punto 3. Ricavare l’altra incognita utilizzando una delle due equazioni della F.N.

74 METODO DI CRAMER Raggiungere la F.N.
Calcolare D il determinante della matrice dei coefficienti Calcolare Dx il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti della x Calcolare Dy il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti della y Risolvere: x= Dx / D y= Dy / D

75 METODO GRAFICO Si dimostra che una equazione di primo grado ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una retta. Raggiungere la F.N. Disegnare le rette nel piano cartesiano Individuare, se esiste, il punto di intersezione rette incidenti: sistema determinato rette coincidenti: sistema indeterminato rette parallele: sistema impossibile

76 SISTEMI LETTERALI Raggiungere la F.N. mettendo le condizioni su tutti i fattori letterali presenti al denominatore (*) Risolvere il sistema con il metodo di Cramer mettendo le condizioni sul determinante della matrice dei coefficienti (**)

77 (*) condizioni sui denominatori a) solo sul parametro (C.E.):
Fare la discussione (*) condizioni sui denominatori a) solo sul parametro (C.E.): sistema perde significato b) sull’incognita (C.A.): sol. non accettabile (**) condizioni sul determinante della matrice dei coefficienti: sostituire nelle F.N. a) a/a1=b/b1= c/c1 o un’eq. indeterminata: sistema indeterminato b) a/a1=b/b1≠c/c1 o un’eq. impossibile: sistema impossibile MENU

78 6. DISEQUAZIONI Studio del segno di primo grado
Studio del segno di secondo grado Principi d’equivalenza Disequazioni di primo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni fratte Sistemi di disequazioni Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni con valore assoluto MENU

79 STUDIO DEL SEGNO DI PRIMO GRADO
Si dimostra che una equazione di primo grado y=ax+b ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una retta. Risolvere l’equazione associata per trovare il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle x (y=0) Disegnare la retta: a>0 retta crescente a=0 retta parallela all’asse delle x a<0 retta decrescente

80 STUDIO DEL SEGNO DI SECONDO GRADO
Si dimostra che una equazione di secondo grado y=ax2+bx+c ha come rappresentazione grafica, nel piano cartesiano, una parabola. Risolvere l’equazione associata per trovare il punto di intersezione tra la parabola e l’asse delle x (y=0) Disegnare la parabola: >0 due punti di intersezione =0 un punto di intersezione <0 nessun punto di intersezione a>0 concavità verso l’alto a<0 concavità verso il basso

81 PRINCIPI D’EQUIVALENZA
Principio dell’addizione: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una disequazione lo stesso valore o espressione si ottiene una disequazione equivalente alla data. Conseguenze: principio del trasporto legge di cancellazione secondo membro=0

82 Principio della moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per lo stesso valore o espressione maggiore di zero si ottiene una disequazione equivalente alla data. Conseguenze: cambiare i segni solo cambiando verso eliminare i denominatori senza variabile dividere tutti i termini per valori positivi

83 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Per risolvere occorre utilizzare le regole dello sviluppo delle espressioni e i due principi di equivalenza o le loro conseguenze Casi particolari. Se giunti a F.N. non compare più la x, è sufficiente chiedersi se la relazione è vera o falsa: V ∀x F ∄x

84 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Raggiungere la F.N. Risolvere l’equazione associata Disegnare la parabola Decidere la soluzione confrontando il disegno con il verso della disequazione

85 DISEQUAZIONI FRATTE Raggiungere la F.N. (secondo membro=0)
Fare lo studio del segno del numeratore Fare lo studio del segno del denominatore Riportare i segni in uno stesso grafico Fare il prodotto dei segni Decidere la soluzione confrontando i segni del punto 5. con il verso della F.N. del punto 1.

86 SISTEMI DI DISEQUAZIONI
Raggiungere la F.N. di ciascuna disequazione Preparare il sistema per le soluzioni Risolvere direttamente le disequazioni di primo grado Risolvere separatamente le disequazioni di secondo grado o fratte Riportare le soluzioni nel sistema del punto 2. Riportare le soluzioni nello stesso grafico Fare l’intersezione delle soluzioni Scrivere la soluzione

87 DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
Raggiungere la F.N. (primo membro polinomio o frazione) Fare lo studio del segno di ciascun fattore Riportare i segni in uno stesso grafico Fare il prodotto dei segni Decidere la soluzione confrontando i segni del punto 4. con il verso della F.N. del punto 1.

88 DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI
Tenendo conto della definizione di valore assoluto a, a>0 |a| =[ -a, a<0 trasformare la disequazione in due o quattro sistemi di disequazioni Risolvere separatamente i sistemi Fare l’unione delle soluzioni MENU

89 7. GEOMETRIA Definire e dimostrare Principali teoremi
Algebra applicata alla geometria MENU

90 DEFINIRE E DIMOSTRARE DEFINIRE DIMOSTRARE no si PAROLE (“si dice…”)
PROPOSIZIONI IMPLICAZIONI (“scende…”) no CONCETTI PRIMITIVI punto-retta-piano movimento rigido insieme-appartenenza POSTULATI O ASSIOMI (scendono dall’intuizione) si DEFINIZIONI TEOREMI-LEMMI-COROLLARI (scendono da definizioni, postulati, teoremi, ecc.)

91 PRINCIPALI TEOREMI DELLA GEOMETRIA
(documento word)

92 ALGEBRA APPLICATA ALLA GEOMETRIA
Fare disegno, hp, th Attribuire la x ad un elemento della figura Mettere le condizioni geometriche Individuare l’equazione che risolve l’esercizio Sostituire in funzione di x o dei dati delle hp le misure degli elementi dell’equazione

93 Risolvere l’equazione mettendo anche eventuali condizioni algebriche
Verificare l’accettabilità delle soluzioni confrontandole sia con le condizioni geometriche sia con le condizioni algebriche Continuare l’esercizio MENU