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PubblicatoAnnunziata Mariotti Modificato 10 anni fa
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Difficoltà di apprendimento e Problemi didattici
ALGEBRA Difficoltà di apprendimento e Problemi didattici
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Esempi di difficoltà Non si applicano le conoscenze computazionali algebriche (anche buone…) al problem solving Spesso le formule hanno per gli allievi significati "inventati", anche pseudo-coerenti… Non sanno usare l'algebra come strumento per comprendere, individuare e comunicare correlazioni, svelare relazioni strutturali,… ma solo come uno strumento di "calcolo" In ogni caso lo studente non si sente "padrone" del procedimento
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Ciò che distingue l'algebra in modo essenziale dall'aritmetica e dalla geometria è il fatto che il suo oggetto non consiste nel trovare proprio i valori delle quantità cercate, ma nell'individuare il sistema delle operazioni da eseguire sulle quantità date per derivarne le quantità cercate, secondo le condizioni del problema. La sequenza di tali operazioni è quello che in algebra si chiama una formula; quando una quantità dipende da altre in modo che sia possibile esprimerla con una formula che contiene queste ultime, si dice allora che essa è funzione di tali quantità. Dunque si può definire l'algebra come l'arte di determinare le incognite come funzioni di quantità note o che si considerano tali. (Lagrange)
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TRE Assi concettuali Linguaggio naturale Struttura simbolica
Semantica Sintassi Aspetto relazionale Aspetto procedurale
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Linguaggio naturale Struttura simbolica
Nella scuola dell’obbligo è spesso il linguaggio a guidare il pensiero: “Se un etto di prosciutto costa 3.50 euro quanto costano 3 etti?” : 3,50 [:1] x 3 = 10,50. 2x+3=7 x= 2 . Oltre un certo livello non funziona più: “Se 2/3 di una certa quantità sono pari a 3,50, quanto valgono 4/7 della stessa quantità ?”: 3,50 : (2/3) x (4/7) = 3. 2x+3=5x-6 x= 3 .
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Sintassi Semantica Nel linguaggio naturale (e in quasi tutte le altre materie scolastiche…) il controllo semantico è essenziale e viene naturale. In algebra è spesso la sintassi a guidare, la semantica segue ! Es. Il gioco dell’indovino La sintassi invece è importnate, a volte permette “scoperte” che la semantica non consente Es. Il quadrato magico
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Aspetto relazionale Aspetto procedurale
Variabile Costante Incognita Parametro... E’ collegato alla classica differenziazione analisi sintesi Es. Dimostrazione geometrica o algebrica che (a+b)2= a2+b2+2ab Es. Risoluzione e verifica di un’equazione.
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Formalismo algebrico Funzione stenografica
tremila più quattromila fa settemila =7000 la velocità di un corpo a un dato istante t0 è pari al limite del rapporto fra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo, quando tale intervallo di tempo tende a 0 in prossimità di t0 v(t0) = s'(t0)
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Formalismo algebrico Funzione di sintesi e generalizzazione
criteri di divisibilità, per ogni numero dispari (n2-1) è divisibile per 8, polinomio di Taylor d una generica funzione
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Formalismo algebrico Funzione di trasformazione
partendo dalla formula Cn= Cn-1 +i Cn-1 , si ricava agevolmente per induzione che Cn=(i+1)n C0 , da cui è facile ricavare un dato in funzione dell'altro… (C0 e Cn rappresentano il capitale iniziale e quello al tempo n, dato l'interesse unitario i) formule di derivazione
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Esempi di errori Deviazioni nell'uso o nella verbalizzazione del formalismo (uso del segno = : per es. 75:2=37,5+12,5=50 …, limite "di" x tendente a… , sommatoria "di" x che va da… a … di…) Errori formali (es. di segno in equazioni, prodotto, parentesi,…) Difficoltà di direzione del lavoro risolvere x(x2+3x-5)+3(x2+3x-5)x2=0
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Uso di una stessa lettera per indicare variabili diverse
nel linguaggio naturale :"Un trapezio è equivalente alla metà di un rettangolo tale che…" o (peggio ancora) "Il numero dei divisori del numero 60 è il massimo numero di divisori fra tutti i sistemi di divisori di ogni numero minore di 100, e questa può essere stata la ragione della scelta del numero 60 come base di un sistema di numerazione…"
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Estensione indebita di proprietà
(a+b)2= a2+b2 in analogia con 2(a+b)=2a+2b, oppure similmente f(x+h)=f(x)+f(h) Mancanza di collegamento fra una data formula o simbolo algebrico e l'oggetto rappresentato (anche nelle applicazioni alla scienza o alla fisica) Mancanza di consapevolezza e controllo sui meccanismi di trasformazione (da qui l'incapacità di capire che due formule diverse esprimono la stessa quantità o la disponibilità a passaggi acritici e semplificazioni…)
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Abilità algebriche “auspicabili” (1)
analizzare un'espressione algebrica per fare stime approssimative degli schemi che emergeranno nella loro rappresentazione numerica e grafica saper eseguire confronti (argomentati…) degli ordini di grandezza per funzioni con regole del tipo k, k2,k3,…
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Abilità algebriche “auspicabili” (2)
saper analizzare una tabella di valori o il grafico di una funzione per - interpretare condizioni enunciate verbalmente - identificare la probabile forma di un'espressione algebrica che corrisponda a tale tabella o tale grafico
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Abilità algebriche “auspicabili” (3)
analizzare le operazioni da eseguire e predire la probabile forma del risultato (o viceversa, analizzare il risultato per individuarne la correttezza…) determinare quale fra le diverse forme potrebbe essere la più adatta per rispondere a una certa domanda.
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E le abilità "più basse", quelle computazionali di base?
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Senso dell'algebra calcolo algebrico
Non è "dimostrato" alcun rapporto diretto causa-effetto fra i due: non si se uno provochi l'altro e quale…. E' però certo il fallimento di una pratica di non integrazione fra i due, trascurando la costruzione del senso dei simboli matematici, cioè del nesso fra segni e concetti, provocando un approccio squilibrato alla matematica.
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Senso dell'algebra calcolo algebrico
Puntare sul "senso", sui concetti significa sperare [troppo ?] in un adeguamento automatico del linguaggio simbolico ai concetti. Puntare sulla prassi di calcolo significa sperare [vanamente ?] che dall'uso continuo delle competenze segniche nasca (da sé ?) un'acquisizione dei concetti retrostanti.
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L'algebra è un codice convenzionale, ma non arbitrario, in quanto è un prodotto culturale e condiviso. La comprensione del codice algebrico coinvolge aspetti cognitivi corrispondenti ai "meccanismi di comprensione delle regole del gioco". In generale si apprende un codice convenzionale solo a livello di mediazione sociale: afferro una regola in quanto interiorizzo le funzioni di un sistema notazionale socialmente condiviso. apprendimento di un linguaggio di programmazione o di un software bottega d'arte rinascimentale…
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Spunti per una “bottega algebrica”
Situazioni ricche e stimolanti usando anche una calcolatrice o un software (dato un grafico o una tabella, costruire una formula…) Invitare a discutere la sequenza di passaggi, il loro senso,… Provocare discussioni Ristrutturare il "contratto didattico": non solo costruire "identità" ma "identità false", passaggi "sbagliati",…
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Problema 1 Si consideri un rettangolo. Come cambia la sua area se si aumenta un lato del 10% e si diminuisce l'altro del 10% ?
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Problema 2 È noto [in generale agli studenti…] cosa rappresenti l'equazione y=mx+n e cosa si ottenga se pongo m=2 ed n=3: la retta y=2x+3 …. Ma cosa succede se in y=mx+n pongo y=2 e x=3 ? Cosa rappresenta 2=m3+n ?
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Problema 3 Dimostrare che dato un numero di quattro cifre, facendo la differenza fra esso e il suo "trasposto" (quello con le stesse cifre scritte in ordine inverso), si ottiene sempre un numero divisibile per 11. [Più in generale, dimostrare un qualunque criterio di divisibilità]
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Problema 4 Decidere la tariffa più conveniente per il proprio telefonino
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