Uso dei cicli y t =c+ty t-1 +e Un uso dei cicli può essere quello di creare una serie storica per cui y t =c+ty t-1 +e dove poniamo c e t scalari ed e~N(0,1).

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1 Uso dei cicli y t =c+ty t-1 +e Un uso dei cicli può essere quello di creare una serie storica per cui y t =c+ty t-1 +e dove poniamo c e t scalari ed e~N(0,1). Realizzare questo processo con un ciclo è immediato e ovviamente richiede di predefinire c e theta, la numerosità n e il primo valore, dal quale far partire la serie. n=30; v=zeros(n,1); v(1)=2.1; theta=0.6; for i=2:n; v(i)=v(i-1)*theta+randn(1,1); end;

2 Uso dei cicli Va ricordato che nel ciclo il passo del contatore non è necessariamente 1 e inoltre può non essere un numero fisso ma collegato ad una variabile; poniamo ad esempio che abbiamo una matrice quadrata di ordine nxm costruita a blocchi, ossia a blocchi quadrati nxn sui quali vogliamo. Pertanto in una matrice 6x6 possiamo identificare 6 sottomatrici 2x2 sulle quali costruire un loop. Poniamo di aver creato con il comando rand una matrice 6x6 di numeri casuali; considerata ora una matrice della stessa dimensione, vogliamo che essa presenti solo i blocchi situati sulla diagonale. Per ottenere questo risultato dobbiamo, come al solito, predeterminare la dimensione della matrice che accoglierà i blocchi sulla diagonale e poi impostare il passo del loop. Il codice, posto m=3 e n=2 può essere il seguente:

3 Uso dei cicli n=2; m=3; r=rand((m*n),(m*n)); d=zeros((m*n),(m*n)); for i=1:n:(m*n); d(i:i+n-1,i:i+n-1)=r(i:i+n-1,i:i+n-1); end; Notiamo che la matrice d ha uguali dimensioni di r, e che il passo di i è determinato da n, in quanto devo saltare di n in n per poi considerare le sottomatrici nxn. Proviamo ora in modo analogo a costruire un codice che trasferisca tutti i blocchi usando un doppio loop:

4 Uso dei cicli n=2; m=3; c=rand((m*n),(m*n)); z=zeros((m*n),(m*n)); for i=1:n:(m*n); for k=1:n:(n*m); z(i:i+n-1,k:k+n-1)=c(i:i+n-1,k:k+n-1) end; Nel caso di doppio loop il programma esegue prima il loop interno e finito il ciclo aggiorna il loop esterno e quindi riinizia con il loop interno. Questo significa che lordine con il quale MATLAB attribuisce i valori a i (contatore che agisce sulle righe) e k (contatore che agisce sulle colonne) è:

5 Uso dei cicli i=1; k=1; i=1; k=3=1+n; i=1; k=5=1+n+n; i=3=1+n; k=1; i=3=1+n; k=3=1+n; i=3=1+n; k=5=1+n+n; i=5=1+n+n; k=1; i=5=1+n+n; k=3=1+n; i=5=1+n+n; k=5=1+n+n;

6 Uso dei cicli Quindi inizia il ciclo delle righe, si esaurisce il ciclo delle colonne, si aggiorna il ciclo delle righe, … Supponiamo ora di volerci cimentare in un loop più complesso: presa una matrice casuale quadrata di ordine n*m, poniamo di voler trasportare su di unaltra matrice i blocchi della prima presi in senso antiorario, e quindi vogliamo che lultima sottomatrice 2x2 diventi la prima nella nuova matrice e così via. Il grado di complessità risiede solamente nel modificare gli elementi presi in considerazione:

7 Uso dei cicli n=2; m=3; t=rand((m*n),(m*n)); g=zeros((m*n),(m*n)); for i=1:n:(m*n); for k=1:n:(n*m); g(i:i+n-1,k:k+n-1)=t((m*n)-i:(m*n)-i+1,(m*n)-k:(m*n)-k+1);end; A differenza del loop precedente ora gli indici degli elementi presi delle due matrici sono differenti! Ovviamente consideriamo sempre sottomatrici quadrate, ma a sx partiamo dallultima sottomatrice mentre a dx partiamo dalla prima!

8 Cicli I cicli for sono generalmente più efficienti dei cicli while, in termini di velocità di calcolo. Entrambi i tipi di cicli (for e while) possono essere bloccati allinterno con il comando break. Questo comando risulta particolarmente utile utilizzandolo con if (v. dopo). La struttura del ciclo sarebbe del tipo: for / while if …(se succede questo) ….. (continua il loop e calcola questo) elseif …(se invece succede questaltro) break(termina il ciclo) end;

9 If statement Il comando if valuta quando una certa condizione è vera e in tal caso esegue il comando. La struttura del comando è: if (se) …… (succede questo) …. (fai questo) elseif (se invece) …. (succede questaltro) …. (fai questo) elseif (se invece) …. (succede questaltro) …. (fai questo) …. else (se non è successo niente delle precedenti cose) …. (fai questo) end

10 If statement I comandi if ed end (che termina lif) devono necessariamente esserci, elseif ed else possono o meno esserci. Facciamo un esempio. Possiamo scrivere un codice che mi dia come output la parola quadrata se una matrice è nxn, la parola rettangolare se la matrice è rxc, con r diverso da c. Riprendendo la struttura di prima e considerando che una matrice o è quadrata o è rettangolare (per cui posso usare else) la struttura (non il codice!) è la seguente: if n° righe di A = n° colonne di A stampa a video quadrata else stampa a video rettangolare end

11 If statement Associando al codice una funzione che chiamo cm (da check matrix) potrebbe essere function[] = cm(A); if size(A,1) == size(A,2); quadrata else; rettangolare end

12 Relazioni logiche Nelluso di if risultano di fondamentale utilizzo i comandi che permettono di stabilire relazioni logiche (maggiore di, minore di e eguale a). Loutput di questi comandi è sempre costituito da numeri, vettori o matrici logiche, ossia composti da zeri ed uno: Lo zero compare quando la relazione non è rispettata Luno compare se la relazione è rispettata. I simboli da utilizzare sono: ==uguale ~=diverso maggiore maggiore o uguale

13 Relazioni logiche Così se scriviamo >> 5 > 3 la risposta è 1, >> 4 ~= 2 la risposta è 1, etc. Diversi sono invece i connettivi logici, ossia operatori che collegano due espressioni, che sono: and (e anche) & or (oppure) | not (non) ~

14 Relazioni logiche Nellambito delle relazioni logiche e dellalgebra delle matrici, due comandi risultano molto utilizzati: Il comando find(..), applicato ad una matrice/vettore, fornisce la posizione degli elementi della matrice/vettore che soddisfano la condizione tra parentesi. Ad es.: >> B = randn(10,4); >> v = find(B>0.3); v è il vettore contenente la posizione (quindi non è un vettore logico!!) degli elementi >0.3. se applicato a matrici gli indici scorrono in verticale, nel senso che il numero 2 è associato allelemento a 2,1. Se non è indicata alcuna relazione logica ma solo la matrice, fornisce la posizione degli elementi diversi da zero.

15 Relazioni logiche Il comando any(..), applicato ad un vettore, fornisce 1 se qualche (almeno un) elemento del vettore è diverso da zero, e quindi fornisce zero solo se tutti gli elementi del vettore sono nulli. Applicato ad una matrice fornisce un vettore con tanti elementi quanti i vettori colonna della matrice, con 1 se la colonna ha almeno un elemento diverso da zero e 0 se ha tutti elementi diversi da zero. Specificando any(matrice,k) la funzione lavora solo sulla k-esima riga.

16 Relazioni logiche Lutilità di questi operatori è grande nellambito matriciale e con lif. Ad esempio se ci stiamo chiedendo se gli elementi di una matrice A siano o meno maggiori di 0.5, digitando >> A>0.5 otteniamo una matrice logica di zeri ed uno, in cui l1 è associato a elementi > di 0.5. Se volessimo da una matrice ottenere solo gli elementi > di 0.5 basta fare >> A(A>0.5) In tal modo prima otteniamo la matrice logica, poi selezioniamo di A solo gli elementi cui è associato 1. Otteniamo così un vettore con tutti e soli gli elementi che rispettano la condizione.

17 Relazioni logiche Un altro esempio. Poniamo di voler considerare di una matrice B 0.030.050.07 0.50.230.25 0.020.010.29 0.450.580.15 e di chiedere al programma di stampare a video quanti elementi sono compresi tra 0.2 e 0.3. Possiamo vedere il risultato confrontando due codici: uno che utilizza solo i connettivi logici, un altro che usa anche i loop.

18 Relazioni logiche Il primo codice è brevissimo: function[j]=mc(a); b=a(a>0.2 & a<0.3); j=length(b); vengono selezionati gli elementi della matrice che siano maggiori di 0.2 e anche minori di 0.3 (quindi compresi tra 0.2 e 0.3), e poi si estraggono da A i corrispondenti elementi, che vengono posti in un vettore b. Dopodiché ne calcolo la lunghezza, che coincide con il numero di elementi che soddisfano la condizione. Un codice con loop e if sarebbe il seguente, ma rispetto al primo è molto più lungo e quindi inefficace:

19 Relazioni logiche function[b]=mc2(A); b=0; for i=1:size(A,1); for j=1:size(A,2) if A(i,j)>0.2 & A(i,j)<0.3; b=b+1; end End Un modo per valutare la velocità computazionale in termini di tempo di una funzione è scrivere nel command tic, (funzione), toc

20 Relazioni logiche Provando a creare una matrice A=rand(100,200) e applicando le due funzioni troverete che la prima funzione è decisamente più veloce. >> tic, mc(a), toc ans = 2029 elapsed_time = 0.0500 >> tic, mc2(a), toc ans = 2029 elapsed_time = 0.2200