I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/08 TEMA 1 1.Si illustri il criterio di Liapunov per la verifica della stabilità di punti di equilibrio di.

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1 I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/08 TEMA 1 1.Si illustri il criterio di Liapunov per la verifica della stabilità di punti di equilibrio di un sistema n.l. e le mappe di Poincarè per lo studio dei cicli. (pt.15) 2. Dato il modello definito dalle equazioni : dx/dt = -k01 x –ax/(b+x) +u(t) con u(t) ingresso esterno y=x(t) x(0)=0 si verifichi la stabilità del punto di equilibrio con il criterio di Liapunov assumendo che i parametrisiano tutti >0 e che la x(t) sia anche essa sempre >0 (pt.15)

2 I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/08 TEMA 2 1. Si illustri il modello epidemiologico base e le ipotesi su cui è fondato. Si ricavi e si illustri il significato dellintegrale di Kendall. 2.Il modello di figura è il modello minimo 7. Le cui equazioni riparametrizzate sono: dG/dt = (p 1 + p 2 X)G + p 3 /(1 + p 4 X)G(0) = Gss+D/V p3 ingresso costante di valore incognito dX/dt = p 5 X + i(t)X(0) = X0 Y(t) = G(t) Dallanalisi in condizioni stazionarie ottiene p3=p1 Gss Se ne verifichi lidentificabilità con il metodo delle trasformazioni di similitudine rispetto ai parametri p1 p2 p3 p4 p5. K3K3 K2K2 i G K4K4 K1K1 i(t) K5K5

3 I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/08 TEMA 3 1.Si illustri ilmodello SIR e le ipotesi che ne sono alla base. Si analizzi per tale modello la stabilità rispetto al punto di equilibrio non banale 2.Si analizzi lidentificabilità del modello di figura con il metodo delle trasformazioni di similitudine. x1 x2 k k y=Kx2 1/(a+x2) u(t) x1(0) = x2(0) = 0

4 I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/2008 TEMA 4 1.Si consideri il modello compartimentale di figura: In cui k02=k02+kx1 e le condizioni iniziali siano x1(0)=x2(0)=0. Dimostrare lidentificabilità del modello con il metodo dello sviluppo in serie delluscita. 2.Analisi del modello epidemiologico SIR x1 x2 k02 k y U(t)

5 I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/08 TEMA 5 1.Si illustrino i modelli di crescita cellulare in cui si tiene conto dellinterazione età-volume 2.Si consideri il modello di figura con condizioni iniziali x1(0)=x2(0)=0 e in cui luscita misurata sia y1(t)=x1, y2(t)=x1+x2 Si analizzi lidentificabilità con il metodo delle trasformazioni di similitudine. x1x2 u(t) a/(b+x2) k y1(t) y2(t)

6 I ESONERO DI MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI 16/5/08 TEMA 6 1.Il modello di figura relativo al metabolismo del glucosio (modello minimo 6) è descritto dalle equazioni (modello riparametrizzato): dG/dt = (p 1 -X) G+ p 4 G(0) = Gss +D/V dX/dt = p 2 X + p 3 i(t)X(0) = 0 Y=G Se ne analizzi lidentificabilità con il metodo dello sviluppo in serie delluscita rispetto ai parametri: p1 p2 p3 e V 2.Si illustrino i modelli del ciclo cellulare di pura crescita, indicando i principali limiti. K3K3 K2K2 i G K4K4 K1K1 i(t) K6K6 K5K5

7 I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/2008 TEMA 7 1.Si illustrino i modelli di crescita cellulare in cui si tiene conto della fase G0 2. Il modello di figura è il modello minimo 7. Le cui equazioni riparametrizzate sono: dG/dt = (p1 + p2X)G + p3/(1 + p4X)G(0) = Gss+D/V p3 ingresso costante di valore incognito dX/dt = p5X + i(t)X(0) = X0 Y(t) = G(t) Dallanalisi in condizioni stazionarie ottiene p3=p1 Gss Se ne verifichi lidentificabilità con il metodo dello sviluppo in seri delluscita rispetto ai parametri p1 p2 p3 p4 p5. K3K3 K2K2 i G K4K4 K1K1 i(t) K5K5

8 I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/2008 TEMA 8 1.Si consideri il modello compartimentale di figura: In cui k02=k02+kx1 e le condizioni iniziali siano x1(0)=x2(0)=0. Dimostrare lidentificabilità del modello con il metodo delle trasformazioni di similitudine. 2.Analisi del modello epidemiologico SIR k01 x1 x2 k02 k y U(t)

9 I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/2008 TEMA 9 1.Si illustrino i modelli di crescita cellulare in cui si tiene conto dellinterazione età-volume 2.Si consideri il modello di figura con condizioni iniziali x1(0)=x2(0)=0 e in cui luscita misurata sia y1(t)=x1, y2(t)=x1+x2 Si analizzi lidentificabilità con il metodo delle trasformazioni di similitudine. x1x2 u(t) a/(b+x2) k y1(t) y2(t)

10 I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 16/5/2008 TEMA 10 1.Si consideri il modello compartimentale di figura: In cui lingresso al compartimento 2 (incognito) viene modificato secondo la pL= pL - x1 e le condizioni iniziali siano x1(0)=x2(0)=0. Dimostrare lidentificabilità del modello con il metodo dello sviluppo in serie delluscita. 2.Modello della diffusione dellAIDS x1 x2 k01 k02 U1 pL y