1 Informazioni generali r Luca Becchetti m Tel.: 06 49918335 m URL: r Ricevimento: m Latina:

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1 1 Informazioni generali r Luca Becchetti m Tel.: 06 49918335 Email: becchett@dis.uniroma1.it m URL: www.dis.uniroma1.it/~becchett r Ricevimento: m Latina: martedì e giovedì, ore 9.00-9.45 m Roma: mercoledì, ore 10-12, Dip. Informatica e Sistemistica, via Salaria 113 II piano, 00198 Roma r Testo adottato: m A. Drozdek, Algoritmi e strutture dati in Java, Apogeo m Ingegneria 2000, via della polveriera 15 (S. Pietro in vincoli), tel. 06 4744169/06 4746609 r Testi consigliati: m T. Cormen e altri. Introduzione agli algoritmi. Ed. Jackson libri r Altro materiale: documentazione su Java disponibile in rete

2 2 Informazioni generali/2 r Java tutorial: http://java.sun.com/docs/books/tutorial/ http://java.sun.com/docs/books/tutorial/ r Il Java tutorial è parte di una più ampia documentazione disponibile al sito Sun r API Java: la documentazione è disponibile al sito: http://java.sun.com/products/jdk/1.2/docs/api/in dex.html e può essere scaricata a partire da: http://java.sun.com/products/jdk/1.2/docs/ http://java.sun.com/products/jdk/1.2/docs/api/in dex.html r J. Bishop: Java gently – Corso introduttivo. Addison - Wesley r P. Niemeyer e altri. Learning Java. O'REILLY r D. Flanagan. Java in a nutshell. O'REILLY

3 3 Obiettivi r A cosa serve la progettazione di algoritmi e strutture dati r Come si misura lefficienza delle strutture dati e degli algoritmi r Come scegliere gli algoritmi e le strutture dati adatti a risolvere in modo efficiente un problema r Implementazione di algoritmi e strutture dati in Java

4 4 Argomenti del corso r Introduzione: efficienza e sua misura. r Riepilogo sulle principali strutture dati di base: liste, code, pile, alberi r Code di priorità r Dizionari r Aspetti avanzati degli algoritmi di ordinamento r Grafi o Rappresentazione e algoritmi di visita o Algoritmo di Dijkstra per il calcolo del percorso minimo o Minimo albero ricoprente

5 5 Algoritmi e strutture dati - Definizioni r Struttura dati: organizzazione sistematica dei dati e del loro accesso r Algoritmo: procedura suddivisa in passi che, eseguiti in sequenza, consentono di eseguire un compito in tempo finito r Esempio: Max. di un vettore di n elementi Algorithm arrayMax(A, n) currentMax = A[0]; for (i=0; i < n; i++) if (A[i] > currentMax) currentMax = A[i]; return currentMax;

6 6 Nel mondo reale....... r Gli algoritmi intervengono (in modo più o meno nascosto) in molti aspetti r Esempi m Internet m DBMS m Motori di ricerca m Struttura del Web m Analisi di documenti

7 7 Esempio: Routing in Internet Astrazione usando grafi: r I nodi rappresentano router r Gli archi descrivono i link fisici m Costi sugli archi (link) : ritardo, costo in £, livello di congestione Obiettivo: determinare buon cammino sorg.-dest. Protocollo di Routing A E D CB F 2 2 1 3 1 1 2 5 3 5 r Cammino buono: m Di solito significa cammino a costo minimo m Possibili def. alternative

8 8 Esempio: Accesso a basi di dati Obiettivo: rispondere rapidamente. Interrogazione Data base... Interrogazione

9 9 Qualità di algoritmi e strutture dati r Efficienza m Tempo di esecuzione m Spazio (quantità di memoria) I due aspetti sono interdipendenti

10 10 Tempo di esecuzione r In generale aumenta con n r Per lo stesso valore di n può variare con il particolare input considerato (es. Vettore da ordinare) r Dipende dalla piattaforma Hw/Sw In generale: può essere poco rappresentativo

11 11 Come misurare lefficienza? r Perché B gira più velocemente ? r Possiamo affermare che B sia migliore di A? Programma AProblemaProgramma B 10 ms 1 ms Dati

12 12 Misura dellefficienza - obiettivi r Indipendenza dallimplementazione r Generale (valida per ogni input, di qualsiasi dimensione) r Misura indipendente dalla piattaforma Hw/Sw

13 13 Modello di costo RAM Random Access Machine r Assegnazione r Op. aritmetiche r Test r Lettura/Scrittura A = 10; (costo 1) A = B*C + D – 7; (costo 4) A == B (costo 1) System.out.println(A); (Costo 1) Macchina che esegue le istruzioni in sequenza. Insieme di operazioni primitive a costo unitario:

14 14 Modello di costo/2 Costo di operazioni complesse: r Ciclo: somma costo test di fino ciclo e costo corpo del ciclo r if…then…else: costo test più costo blocco istruzioni che segue then o else (a seconda del caso) r Attivazione di un metodo: somma dei costi di tutte le istruzioni presenti nel metodo Costo: somma di tutti i costi

15 15 Esempio r Nel primo caso (vett. di 3 elementi) si ha costo 1 (ass.)+1 (ass. nel for) + 6 (test e incr. nel for) + 1 (test finale for) + 3 (test if) + 1 (istruz. return) = 13 r Nel secondo caso si ha 1 (ass.) + 1 (ass. nel for) + 10 (test e incr. nel for) + 1 (test finale for) + 5 (test if) + 1 (istr. ass. nellif) + 1 (istruz. return) = 20 AlgorithmarrayMax(A, n) currentMax=A[0]; for (i=0; i<n; i++) if (A[i]>currentMax) currentMax=A[i]; return currentMax; 7 1 4 1 8 6 3 4 n=3 n=5

16 16 Perché il modello è accettabile? A=A+B*C; MUL B,C ADD A,B A B C N finito (es. 32 o 64 ) Ogni istruzione corrisponde a una sequenza finita di istruzioni macchina Ogni variabile occupa una quantità finita di memoria e quindi i tempi di accesso a due variabili sono legati da una costante

17 17 Vantaggi e svantaggi r Vantaggi: prescinde dalla piattaforma Hw/Sw e dal linguaggio di programmazione r Svantaggi: lindicazione che si ottiene è qualitativa

18 18 Quale input considerare? r La misura deve dipendere dalla dimensione dellinput (n nel nostro esempio) ma non dal particolare input considerato r Possibile alternative: r Analisi del caso peggiore: si considera il costo di esecuzione nel caso peggiore r Analisi del caso medio: si considera il costo medio dellalgoritmo rispetto ad una distribuzione dellinput (richiede la conoscenza della distribuzione) r In ogni caso occorre definire la dimensione dellinput

19 19 Dimensione dellinput r In generale: No. bit necessari a rappresentare linput r Esempio (calcolo del Max. in un array di n interi) r n interi finiti (< MAXINT) r log(MAXINT) bit per rappresentare ogni valore. r Poiché MAXINT è una costante in pratica, il numero di bit necessari a rappresentare un intero è costante (es. 32) r Quindi: dimensione input è proporzionale a n r A volte le cose possono non essere così ovvie (si pensi al problema di indovinare un numero proposto nellultima slide)

20 20 AlgorithmarrayMax(A, n) currentMax=A[0]; for (i=0; i<n; i++) if (A[i]>currentMax) currentMax=A[i]; return currentMax; Analisi nel caso peggiore (esempio) r Nel caso peggiore lelemento massimo è lultimo r In questa ipotesi listruzione currentMax=A[i]; è eseguita n-1 volte. r Il costo complessivo dellalgoritmo è allora 1+1+(n- 1)+1+2(n-1)+1=4n+1 1 4 6 3 8

21 21 Analisi asintotica r Se si considerano tutte le costanti lanalisi può divenire eccessivamente complessa r Interessa conoscere il costo al variare della dimensione dellinput, a meno di costanti r Motivo: il costo è comunque calcolato a meno di costanti, per le ipotesi fatte circa il modello r Unanalisi di questo tipo è detta asintotica r Lanalisi asintotica è influenzata dalloperazione dominante di un algoritmo

22 22 Analisi asintotica/2 r f(n), g(n) funzioni dagli interi ai reali r f(n)=O(g(n)) se esiste c>0 reale, e una costante intera tali che, per ogni che per ogni r se esiste c>0 reale, e una costante intera tali che, per ogni che per ogni r se f(n)=O(g(n)) e r f(n)=o(g(n)) se, per ogni c>0, esiste n 0 >0 tale che per ogni (attenzione alle differenze!!) r se g(n)=o(f(n)) r In base a tali definizioni, lalgoritmo AlgorithmarrayMax ha costo O(n)

23 23 Istruzione dominante r Un operazione o istruzione si dice dominante se il numero d(n) di volte che essa è eseguita nel caso peggiore di input di dimensione n soddisfa: f(n)<=a d(n) + b, dove f(n) è la complessità dellalgoritmo nel caso peggiore ed a e b sono costanti opportune r Es.: istruzione if (A[i]>currentMax) in AlgorithmarrayMax(A, n)

24 24 Esempi r In base a tali definizioni, lalgoritmo AlgorithmarrayMax ha costo r f(n)= 3n 2 +10 n = O(n 2) Per c=4 e n 0 >=10, 3n 2 +10 n <= 4 n 2 r Per c 1 = 1/14, c 2 = 1/2, n 0 >=7,

25 25 Analisi asintotica/3 Limiti dellapproccio: r Le costanti nascoste possono essere molto grandi: un algoritmo con costo 10 50 n è lineare ma potrebbe essere poco pratico r Comportamento nel caso di istanze piccole (es. 3n contro n 2 ) r Il caso peggiore potrebbe verificarsi raramente

26 26 Analisi di Insertion Sort Algorithm insertionSort(A, n) for (i=0; i<n; i++) { tmp=A[i]; for (j=i; j>0 && tmp<A[j-1]; j--) A[j]=A[j-1]; A[j] = tmp; } return A; Inserisce lelemento A[i] nella posizione corretta nel vettore ordinato A[0,…,i-1] Ex: 5 4 3 2 1 i=0 5 4 3 2 1 0 confronti i=1 4 5 3 2 1 1 confronto i=2 3 4 5 2 1 2 confronti i=3 2 3 4 5 1 3 confronti i=4 1 2 3 4 5 4 confronti Ex: 1 2 3 4 5 f(n)= n

27 27 Esempi class esercizio { public void Ex1(int n) { int a, i; for (i=0; i<n;i++) a=i; } public void Ex2(int n) { int a, i; for (i=0; i<n*n;i++) a=i; } public void Ex3(int n) { int a, i, j; for (i=0; i<n;i++) for (j=0; j<=i;j++) a=i; } Valutare la complessità dei tre metodi Complessità di Ex3: 1+2+....+n=O(n 2 )

28 28 Calcolo delle somme dei prefissi r Dato un vettore di interi X[0....n-1], calcolare le componenti del vettore A[0...n-1] tale che A[i]=X[0]+....+X[i-1]. Due algoritmi: Algorithm prefix1(X, n) for (i=0; i<n; i++) { A[i]=0; for (j=0; j<=i; j++) A[i]=A[i]+X[j]; } return A; r O(n 2 ) Algorithm prefix2(X, n) A[0]=X[0]; for (i=1; i<n; i++) A[i]=A[i-1]+X[i]; return A; r O(n)

29 29 Metodo Divide et Impera r Il problema è risolto ricorsivamente attraverso la sua scomposizione in problemi di taglia inferiore r Divide: Problema suddiviso in un numero di sottoproblemi di taglia inferiore Impera: Sottoproblemi risolti ricorsivamente o direttamente se di dimensione piccola a sufficienza Combina: Le soluzioni dei sottoproblemi sono combinate per ottenere la soluzione al problema originale

30 30 Merge Sort A[0...n] Si suppone n pari per semplicità A[0...n/2-1] A[n/2...n-1] Suddividi A in due sottovettori di dim. n/2 A[0...n/2-1] A[n/2...n-1] MergeSort A[0...n/2-1] MergeSort A[n/2...n-1] Merge A ordinato

31 31 Merge Sort/2 void mergesort(int[] A, int first, int last) { if (first < last) { int mid = (first + last) / 2; mergesort(A, first, mid); mergesort(A, mid+1, last); merge(A, first, last); }

32 32 Merge Sort A[0...n] /3 r Divide: divide gli n elementi da ordinare in due sottosequenze da n/2 elementi. Costo: O(n) Impera: ordina ricorsivamente usando il merge sort le due sottosequenze. Costo: 2f(n/2) Combina: fonde le due sottosequenze ordinate. Costo: O(n) r La ricorsione termina quando si hanno solo due elementi da ordinare. Costo:O(1) r Costo dellalgoritmo Merge Sort:

33 33 Larray [1 8 6 4 10 5 3 2 22] ordinato con mergesort

34 34 Merge void merge(int[] data, int first, int last) { int mid = (first + last) / 2; int i1 = 0, i2 = first, i3 = mid + 1; while (i2 <= mid && i3 <= last) if (data[i2] <data[i3]) temp[i1++] = data[i2++]; else temp[i1++] = data[i3++]; while (i2 <= mid) temp[i1++] = data[i2++]; while (i3 <= last) temp[i1++] = data[i3++]; for (i1 = 0, i2 = first; i2 <= last; data[i2++] = temp[i1++]); }

35 35 Equazioni di ricorrenza r Tempo di esecuzione di algoritmi ricorsivi descritti con equazioni di ricorrenza. Ex: MergeSort: r Semplificazioni: m Argomenti non interi. m Condizioni al contorno: per n piccolo

36 36 Soluzione di equazioni di ricorrenza r Metodo per sostituzione. Si tenta una soluzione e si verifica se soddisfa lequazione di ricorsione. r Ex: Merge Sort:

37 37 Esercizi r Mostrare che la soluzione di f(n)=f(n/2)+1 è O(log n) r Mostrare che la soluzione di f(n)=2f((n/2)+17)+n è O(n log n)

38 38 Esercizi/2 r Si consideri il problema della ricerca in un vettore di interi: dato il vettore A[1..n] ed un intero k, si vuole stabilire se k sia tra gli elementi di A o meno m Considerato il classico algoritmo basato sulla ricerca binaria, si mostri che esso ha complessità O(log n)

39 39 Esercizi/3 r Si consideri il problema di indovinare un numero intero nel numero minimo di tentativi: ad ogni tentativo, lalgoritmo propone un valore ad un oracolo, che conosce il numero da indovinare. Loracolo risponde dicendo se il numero proposto sia maggiore, minore o uguale a quello da indovinare (nell ultimo caso il gioco termina). m Si proponga un algoritmo efficiente e se ne esprima la complessità temporale in funzione del generico numero N da indovinare