STATISTICA a.a DISTRIBUZIONE BINOMIALE (cenni)

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1 STATISTICA a.a. 2002-2003 DISTRIBUZIONE BINOMIALE (cenni)
DISTRIBUZIONE NORMALE DISTRIBUZIONE DI POISSON (cenni)

2 PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE
Vogliamo conoscere la probabilità di ottenere una sequenza di eventi favorevoli A e contrari B, contenente k volte A e n-k volte B, comunque disposti. La probabilità dell’evento A è p, quella di B è q = 1-p. La probabilità di una specifica sequenza è la probabilità composta dei k eventi A e degli n-k eventi B:

3 PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE
p · p · p….(k volte) · q · q · q….(n-k volte) ossia P = pk q n-k Calcolando su tutte le possibili sequenze ,

4 PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE
Quindi la probabilità di avere una qualsiasi sequenza con k eventi A e n-k eventi B sarà P probabilità di ottenere k eventi di probabilità costante p su n prove indipendenti.

5 DISTRIBUZIONE BINOMIALE
I lanci successivi devono essere indipendenti dai precedenti Le uscite devono essere completamente casuali La probabilità di una uscita deve essere costante nel tempo. Se poniamo in ascissa i valori di k e in ordinata le probabilità P(k), rappresentiamo graficamente la formula vista. Ad esempio assumiamo che la probabilità singola p sia 0.3, e il numero di prove n sia 10.

6 DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Distribuzione delle probabilità P(k) relative ai vari k considerati, quando p=0.3 e n=10.

7 DISTRIBUZIONE BINOMIALE
La distribuzione binomiale permette di calcolare, per numeri n piccoli, le probabilità di avere un certo numero k di successi nelle n prove. Se abbiamo molte prove, n diventa molto grande. Trovare le probabilità dei successi k diventa difficile. Per alti n il problema non è di trovare la probabilità connessa ad uno specifico numero k di successi, ma di trovare ad esempio la probabilità di trovare più o meno di k successi.

8 DISTRIBUZIONE NORMALE
Si ricorre allora alle distribuzioni NORMALE ( GAUSSIANA) o di Poisson, che valgono per n molto grande. In questo caso lo scaloide della distribuzione di probabilità binomiale, ossia l’insieme dei rettangoli che rappresentano le probabilità dei singoli k, tende a diventare un’area sottostante ad una linea continua.

9 DISTRIBUZIONE NORMALE

10 DISTRIBUZIONE NORMALE

11 DISTRIBUZIONE NORMALE

12 DISTRIBUZIONE NORMALE
La forma della curva cui tende la distribuzione al tendere di n all’infinito è differente secondo il valore che p (e quindi q) assume. Si danno due casi: Nel primo caso p e q non sono molto differenti fra loro e quindi nessuno dei due valori si scosta molto dal valore di probabilità ½. In questo caso al tendere di n all’infinito la distribuzione tende alla curva teorica che si chiama gaussiana.

13 DISTRIBUZIONE NORMALE
Si intende di solito che una distribuzione di probabilità è normale quando il prodotto n p è maggiore di 5 (nel caso p>q). Nel secondo caso p è molto maggiore o molto minore di q, in modo che ambedue si discostano molto da probabilità ½. Se al tendere di n all’infinito il prodotto p n rimane costante, la distribuzione tende alla cosiddetta curva di Poisson.

14 DISTRIBUZIONE NORMALE
Si parla di poissoniana quando il prodotto n p << n. Una distribuzione binomiale è simmetrica solo se n=p=1/2. Anche una distribuzione normale è in generale asimmetrica, ma diventa simmetrica al crescere di n. Per n infinito è perfettamente simmetrica.

15 DISTRIBUZIONE NORMALE
E’ sbagliato suddividere l’intervallo di variazione in un numero piccolo di intervalli: il diagramma risulta scarsamente informativo e si discosta molto dalla normale. E’ anche sbagliato suddividerlo in troppi intervalli. In questo caso l’informazione è troppo dispersa e si possono trovare dei buchi, ossia intervalli in cui la frequenza è molto minore che in quelli adiacenti. Un numero ragionevole di classi di frequenza può andare da un minimo di 16 ad un massimo di 30.

16 DISTRIBUZIONE NORMALE
Molte distribuzioni empiriche (ossia distribuzioni di frequenza) sono approssimativamente normali. Quando effettuiamo un campionamento e ne diagrammiamo la distribuzione di frequenza, se il numero di elementi del campione è sufficientemente elevato e il numero di classi non è troppo piccolo (almeno 10-15), troveremo quasi sempre un campione distribuito normalmente.

17 DISTRIBUZIONE NORMALE
Se il campione è distribuito normalmente si possono applicare le proprietà della curva teorica gaussiana al campione rimanendo entro un intervallo accettabile di errore (il campione essendo finito non sarà mai perfettamente normale). Data una grandezza x distribuita normalmente con media m e deviazione standard s, l’equazione della curva normale è

18 DISTRIBUZIONE NORMALE
f(x) non dà la probabilità associata ad x, bensì la densità di probabilità. Per ottenere la probabilità associata ad un evento relativo ad una distribuzione normale occorre integrare su un intervallo appropriato.

19 DISTRIBUZIONE NORMALE
Ad esempio la probabilità che x sia minore di x0 sarà

20 DISTRIBUZIONE NORMALE
Ad esempio la probabilità che x sia compreso fra due valori x1 e x2 sarà

21 DISTRIBUZIONE NORMALE
Sappiamo che l’area delimitata dalla curva e dall’asse x vale 1. Quindi l’area sotto la curva compresa fra le due ordinate x=a e x=b , dove a<b, rappresenta la probabilità che x sia compreso fra a e b. Quando la variabile x viene espressa in unità standard, z= (x - m)/ s L’equazione precedente viene sostituita dalla sua FORMA STANDARDIZZATA

22 DISTRIBUZIONE NORMALE
e in tal caso diciamo che z è distribuita normalmente con media zero e varianza uno. Il grafico sarà simmetrico intorno allo zero.

23 DISTRIBUZIONE NORMALE
L’uso delle tavole ci risparmierà la fatica di risolvere gli integrali. Nel caso di approssimazione della distribuzione binomiale a quella normale si avrà m = n p s = n p q x=k numero di successi su n prove

24 DISTRIBUZIONE NORMALE
E quindi

25 DISTRIBUZIONE NORMALE
Rappresentando graficamente questa funzione otteniamo la caratteristica curva a campana simmetrica intorno alla media:

26 DISTRIBUZIONE NORMALE
In corrispondenza di +s e –s la curva presenta i suoi punti di flesso. Tracciando diversi diagrammi per diversi valori di s ci accorgiamo che la curva è tanto più appiattita quanto maggiore è la deviazione standard.

27 DISTRIBUZIONE NORMALE
Una proprietà fondamentale della gaussiana è la seguente: La probabilità che uno scarto dalla media sia maggiore di un certo valore è inversamente proporzionale al rapporto fra questo valore e la deviazione standard. Quindi esiste una probabilità definita e uguale per tutte le curve normali che un certo scarto sia inferiore a una (2, 3) deviazione standard. Tale probabilità è equivalente all’area tratteggiata in figura:

28 DISTRIBUZIONE NORMALE

29 DISTRIBUZIONE NORMALE

30 DISTRIBUZIONE NORMALE

31 DISTRIBUZIONE NORMALE
Probabilità che un valore cada casualmente entro alcune deviazioni standard: Entro 1.0 d.s. dalla media = 68.26% Entro 1.96 d.s. dalla media = 95.00% Entro 2.0 d.s. dalla media = 95.44% Entro d.s. dalla media = 99.00% Entro 3.0 d.s. dalla media = 99.73% Entro 3.29 d.s. dalla media = 99.90%

32 DISTRIBUZIONE NORMALE
Ossia il 95% delle osservazioni cade entro 1.96 d.s., ed entro 3 d.s. sono comprese pressochè tutte le osservazioni.

33 DISTRIBUZIONE DI POISSON
La distribuzione binomiale tende alla poissoniana quando la probabilità dell’evento p è molto piccola con n (prove) molto grande. La poissoniana è una distribuzione discreta, con la caratteristica che la media teorica (valore atteso) è uguale alla varianza: = s2 = n p

34 DISTRIBUZIONE DI POISSON
Quindi la funzione che rappresenta questa distribuzione è dove P è la probabilità che il valor medio si presenti k volte in n prove (con n molto grande).

35 DISTRIBUZIONE DI POISSON
Questo tipo di distribuzione di frequenze (eventi che si verificano con frequenza molto bassa in uno spazio o in un tempo molto grande) si presenta in natura in alcuni casi, ad es.: Numero di microorganismi in una certa superficie o volume Decadimento di sostanze radioattive Insorgenza di antibioticoresistenza in una popolazione batterica Numero di morti per una malattia non frequente in una grande popolazione.

36 DISTRIBUZIONE DI POISSON
Es. numero di morti dovute a calcio di cavallo nei reggimenti di cavalleria prussiani (studio statistico di Von Bortkiewicz): N. morti /reggimento/anno n. regg/anno