ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI : i12345678910 xixi 20.118.5232019.51719.82118.618.2.

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1 ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI : i12345678910 xixi 20.118.5232019.51719.82118.618.2

2 ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI : bin ( x=2.2) 15-17.2 17.2-19.4 19.4-21.6 21.6-23.8 i12345678910 xixi 20.118.5232019.51719.82118.618.2

3 ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI : bin ( x=2.2) nknk 15-17.2 1 17.2-19.4 3 19.4-21.6 5 21.6-23.8 1 i12345678910 xixi 20.118.5232019.51719.82118.618.2 Numero di misure nellintervallo

4 ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI : bin ( x=2.2) nknk F k = n k /N 15-17.2 10.1 17.2-19.4 30.3 19.4-21.6 50.5 21.6-23.8 10.1 i12345678910 xixi 20.118.5232019.51719.82118.618.2 Frequenza Numero di misure nellintervallo

5 ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI : bin ( x=2.2) nknk F k = n k /N F k / x 15-17.2 10.10.045 17.2-19.4 30.30.136 19.4-21.6 50.50.227 21.6-23.8 10.10.045 Frequenza Densità di frequenza i12345678910 xixi 20.118.5232019.51719.82118.618.2 Numero di misure nellintervallo

6 ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI :

7 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Funzione densità di probabilità: Funzione della varabile x caratterizzata da due parametri: e gaussiana: x f(x)f(x)

8 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo lasse x)

9 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo lasse x)

10 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Al variare di varia la posizione della curva (traslazione lungo lasse x)

11 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Al variare di varia la larghezza della curva

12 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Al variare di varia la larghezza della curva

13 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Al variare di varia la larghezza della curva

14 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: corrisponde al valore vero che si vuole misurare è legata alla precisione sulla misura: minore è la larghezza della curva, migliore è la precisione della misura Nellipotetico caso di un numero infinito di misure il valor medio risulta uguale al valore vero. Nel caso reale di un numero finito di misure, il valor medio è la miglior stima del valore vero. Nellipotetico caso di un numero infinito di misure la deviazione standard risulta uguale al parametro. Nel caso reale di un numero finito di misure, la deviazione standard è la miglior stima di.

15 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità Larea tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di una deviazione standard. Tale area è pari a circa 0.68. Quindi nel 68% dei casi, ci aspettiamo di trovare come risultato della misura un valore che dista meno di una deviazione standard dal valore vero x 2 = x

16 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: Larea tratteggiata fornisce la probabilità di ottenere da una misura un valore che dista dal valore medio non più di due deviazioni standard. Tale area è pari a circa 0.95. La probabilità di trovare il risultato della misura nellintervallo ±2σ dal valore vero è quindi pari a circa il 95%. a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità x x 2 =

17 LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA : Significato della gaussiana nel caso di misure affette solo da errori casuali: È possibile ricavare tale probabilità per qualsiasi intervallo, simmetrico o meno, utilizzando una tabella che fornisce le probabilità di trovare un valore in un generico intervallo simmetrico ±tσ centrato intorno al valore vero μ. a ciascun area sottesa dalla curva corrisponde un valore di probabilità t= x 1 = t x 2 = t

18 LA TABELLA DELLA GAUSSIANA : tt

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20 LA COMPATIBILITA tra due misure : Due misure, supposte affette da errori casuali, si dicono tra loro compatibili quando la loro differenza può essere ricondotta ad una pura fluttuazione statistica attorno al valore nullo. Ovvero, se possono essere considerate uguali, nei limiti dei rispettivi errori sperimentali Qualitativamente: x ±S Le due gaussiane non si intersecano tra loro: non si ha compatibilità tra le due misure x ±S Maggiore è larea comune, maggiore è la compatibilità tra le due misure x ±S

21 LA COMPATIBILITA tra due misure : Il grado di intersezione tra le curve non dipende solo dalla distanza (differenza) tra i due valori medi, ma anche dalla larghezza delle gaussiane x ±S Le due gaussiane non si intersecano tra loro: non si ha compatibilità tra le due misure A parità di distanza tra i valori medi x 1 e x 2, la sovrapposizione tra le curve cresce al crescere della loro larghezza x ±S

22 LA COMPATIBILITA tra due misure : E possibile quantificare la compatibilità tra due misure tramite il calcolo dellintervallo di confidenza (confidence level – CL) che indica la probabilità che la differenza tra i due valori misurati sia una fluttuazione statistica intorno al valore nullo. Operativamente dati i due valori x ±S si calcola: 1) La differenza tra i due valori: 2) Lerrore su questa differenza (propagazione degli errori per somme e differenze): 3) Se ne fa il rapporto: Minore è il valore di t, maggiore sarà la compatibilità 4) Si ricava dalla tabella della gaussuana la probabilità associata P(t): 5) Se ne fa il complementare: Maggiore è il valore di CL, maggiore sarà la compatibilità In genere due misure si considerano compatibili se CL>5%, non compatibili se CL <0.3%

23 Determinare il livello di confidenza tra queste coppie di valori Esempio: x ±S tP(t)CL 25 ±1.340 ±1.3>>99.999%<<0.001% 25 ±1.330 ±1.399.35%0.65% 25 ±1.328 ±1.389.96%10.04% 25 ±1.340 ±1.396.51%3.49% LA COMPATIBILITA tra due misure :

24 Determinare il livello di confidenza tra queste coppie di valori Esempio: x ±S tP(t)CL 25 ±1.340 ±1.3>>99.999%<<0.001% 25 ±1.330 ±1.399.35%0.65% 25 ±1.328 ±1.389.96%10.04% 25 ±1.340 ±1.396.51%3.49% LA COMPATIBILITA tra due misure :

25 Determinare il livello di confidenza tra queste coppie di valori Esempio: x ±S tP(t)CL 25 ±1.340 ±1.3>>99.999%<<0.001% 25 ±1.330 ±1.399.35%0.65% 25 ±1.328 ±1.389.96%10.04% 25 ±1.340 ±1.396.51%3.49% LA COMPATIBILITA tra due misure :

26 Determinare il livello di confidenza tra queste coppie di valori Esempio: x ±S tP(t)CL 25 ±1.340 ±1.3>>99.999%<<0.001% 25 ±1.330 ±1.399.35%0.65% 25 ±1.328 ±1.389.96%10.04% 25 ±1.340 ±796.51%3.49% LA COMPATIBILITA tra due misure :

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28 Rappresentazione grafica : x ±S ± x ±S =40 ± 1.3 Misura 1Misura 2 I punti sono come gaussiane viste dallalto dove la barra di errore corrisponde ad una deviazione standard

29 Rappresentazione grafica : x ±S ± x ±S =30 ± 1.3 Misura 1Misura 2

30 Rappresentazione grafica : x ±S ± x ±S =28 ± 1.3 Misura 1Misura 2

31 Rappresentazione grafica : x ±S ± x ±S = 40 ± 7 Misura 1Misura 2

32 Esercizi Uno studente misura il diametro di una popolazione di 100 cellule, trovando come risultato per il valor medio: d medio = 8.03 ± 0.06 m Supponendo che la distribuzione dei valori sia di tipo gaussiano, trovare lintervallo [x 1, x 2 ], simmetrico rispetto al valor medio, corrispondente alla probabilità dell85% che una misura vi cada allinterno. Dalla tabella relativa alla distribuzione gaussiana si trova che lintervallo dell85% corrisponde ad un t = 1.44, Dove il valore vero corrisponde al valor medio e la larghezza corrisponde alla deviazione standard Gli estremi dellintervallo si calcolano come: x 1 = t x 2 = t Essendo noti il numero di misure e la deviazione standard della media, si ricava la deviazione standard come: E quindi:

33 Esercizi In un allevamento ci sono 23000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± 0.05 kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N 1 dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N 2 dei capi con peso inferiore a 55 kg La distribuzione del peso degli ovini è centrata sul valore medio 45.5 con deviazione standard pari a: Per il calcolo di N 1 si ha a che fare con un intervallo simmetrico [43-48] rispetto al valore medio 45.5. Per il calcolo della probabilità associata a tale intervallo si ricava dapprima il valore di t e poi si guarda la tabella della gaussiana: Vi è quindi una probabilità del 25.86% che le pecore abbiano un peso tra 43 e 48 kg. Essendo le pecore totali 23000 ne consegue che: (segue)

34 Esercizi In un allevamento ci sono 23000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± 0.05 kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N 1 dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N 2 dei capi con peso inferiore a 55 kg Per il calcolo di N 2 si ha a che fare con un intervallo NON simmetrico. Il numero di ovini con peso inferiore a 55 kg si trova andando a determinare dapprima il valore di t corrispondente a 55: Dalla tabella della gaussiana, si trova che P(t=1.25) = 78.37% e corrisponde alla probabilità di avere ovini con peso compreso tra 36 e 55 kg (segue) Devo tuttavia considerare anche tutti gli ovini con peso inferiore ai 36 kg (coda a sinistra della curva).

35 Esercizi In un allevamento ci sono 23000 pecore il cui peso medio è di 45.5 ± 0.05 kg. Se i pesi degli ovini sono distribuiti secondo una curva gaussiana, dare il numero N 1 dei capi con peso compreso tra 43 e 48 kg e il numero N 2 dei capi con peso inferiore a 55 kg E sufficiente ricordarsi che larea totale sottesa dalla gaussiana corrisponde al 100% La probabilità di avere un peso inferiore a 55 kg è quindi pari a : Da cui il numero di pecore: :

36 Esercizi Una grandezza è distribuita normalmente attorno al valore 30 con deviazione standard pari a 3. Quale è la percentuale di misure che ci aspetta essere comprese tra 31 e 33? Lintervallo considerato è un intervallo non simmetrico in cui entrambi gli estremi si trovano a destra del valore centrale della distribuzione: Sostituendo i valori degli estremi x 1 e x 2, del valore medio e della deviazione standard si ricavano i due valori di t : Dalla tabella della gaussiana si trova: P(t 1 )= 25.86 % (figura A) e P(t 2 )=68.27 % (figura B) x 1 = t 1 x 2 = t 2 (segue)

37 Esercizi Una grandezza è distribuita normalmente attorno al valore 30 con deviazione standard pari a 3. Quale è la percentuale di misure che ci aspetta essere comprese tra 31 e 33? Guardando le curve la probabilità associata allintervallo non simmetrico si ricava come:

38 Esercizi Sia data una distribuzione centrata intorno a 25 con larghezza sigma 1.3. Trovare: (a)lintervallo corrispondente alla probabilità del 68.27%; (b)La probabilità di trovare un valore compreso tra 21.9 e 25.5. a) La probabilità del 68.27% corrisponde allintervallo: [ ] Quindi: b) Lintervallo è non simmetrico. Calcolo i valori di t relativi ai due estremi: Dalla tabella della gaussiana: P(t 1 )= 98.27 % P(t 2 )= 30 % P(t1)P(t2) (segue)

39 Esercizi Sia data una distribuzione centrata intorno a 25 con larghezza sigma 1.3. Trovare: (a)lintervallo corrispondente alla probabilità del 68.27%; (b)La probabilità di trovare un valore compreso tra 21.9 e 25.5. P(t1) /2 P(t2) /2 Osservando le aree e sfruttando la simmetria della curva si trova:

40 Esercizi Due gruppi di studenti effettuano la misura della densità di un oggetto, trovando rispettivamente i valori 13.7 ± 0.9 g/cm 3 e 11300 ± 1300 kg/m 3. Si può affermare che i due valori così trovati sono compatibili con un livello di confidenza del 10%? E del 25%? Come prima cosa è necessario uniformare le unità di misura per poter confrontare i valori. Esprimiamo entrambe le densità in g/cm 3 E quindi corretto affermare che i valori sono compatibili con un livello di confidenza del 10%, mentre non sono compatibili con un CL del 25% Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t : Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=87.15% Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-87.15%=12.85%

41 Esercizi Due carpentieri misurano con un metro a nastro la larghezza di una porta. Il primo trova 46.8 cm, il secondo 48.6 cm. Sapendo che lincertezza su ognuna delle due misure può essere stimata pari a 5 mm, dire a quale livello di confidenza le due misure sono compatibili tra loro Per calcolare il CL si calcola dapprima il valore di t : Dalla tabella della gaussiana si ricava che la probabilità corrispondente è: P(t)=98.92% Il livello di confidenza CL è quindi pari a: CL=100- P(t)=100%-98.92%=1.08%