Algoritmi e Strutture Dati 20 aprile 2001

Presentazione sul tema: "Algoritmi e Strutture Dati 20 aprile 2001"— Transcript della presentazione:

1 Algoritmi e Strutture Dati 20 aprile 2001
Alberi Rosso-Neri Algoritmi e Strutture Dati 20 aprile 2001

2 Alberi Binari di Ricerca
Gli alberi di ricerca binari consentono l’individuazione di un elemento al proprio interno in un tempo mediamente proporzionale all’altezza dell’albero considerato Costruiamo un albero a partire dalla sequenza: 4, 2, 6, 1, 3, 5, 7 3 = O(log(n)) 4 2 6 1 3 5 7

3 Alberi Binari di Ricerca
Inseriamo gli stessi elementi con un diverso ordine: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4 5 6 1 2 3 7 7 = O(n)

4 Alberi Rosso-Neri Gli alberi Rosso-Neri sono alberi binari di ricerca estesi Ciascun nodo di tali alberi contiene un campo addizionale che riporta il suo colore Le operazioni di inserimento e cancellazione vengono opportunamente integrate in modo tale da rendere l’albero binario bilanciato

5 Un esempio di albero Rosso-Nero

6 Caratterizzazione La caratterizzazione degli alberi Rosso-Neri avviene attraverso la formulazione di quattro proprietà vincolanti

7 Proprietà n. 1 Ogni nodo dell’albero è rosso o nero 46 26 62 21 31 51
85

8 Proprietà n. 2 Ogni foglia dell’albero (NIL) è nera 52 45 NIL NIL NIL

9 Proprietà n.3 Se un nodo è rosso entrambi i suoi figli sono neri 42 12
78

10 Proprietà n.4 Dato un nodo, tutti i percorsi discendenti che
raggiungono una foglia contengono lo stesso numero di nodi neri 65 42 73 32 51 NIL 26

11 Proprietà Ogni nodo è rosso o nero Ogni foglia (NIL) è nera
Se un nodo è rosso entrambi i suoi figli sono neri Dato un nodo, tutti i percorsi discendenti che raggiungono una foglia contengono lo stesso numero di nodi neri

12 Osservazione Proviamo a costruire un albero Rosso-Nero sbilanciato… 1
4 5 6 1 2 3 NIL

13 Osservazione 1 NIL 2 NIL 3 NIL 4 NIL 5 NIL 6 NIL NIL

14 Altezza-nero Definiamo altezza-nero di un nodo x (black-height(x)) il numero di nodi neri che si incontrano in un qualsiasi cammino discendente da x verso una foglia Definiamo l’altezza-nero di un albero Rosso-Nero come l’altezza-nero della sua radice

15 Altezza-nero black-height(32) = 2 black-height(42) = 2 black-height(T)
65 42 73 32 51 NIL 26 black-height(42) = 2 black-height(T) = black-height(65) = 3

16 Lemma 1 Un albero Rosso-Nero con n nodi interni ha
altezza al più 2lg(n+1)

17 Lemma 2 Dato un nodo x appartenente ad un albero Rosso-Nero, il sottoalbero ivi radicato contiene almeno 2bh(x)-1 nodi interni

18 Dimostrazione Lemma 2 Dimostriamo il Lemma 2 per induzione
sull’altezza del nodo x. Se l’altezza di x è 0, x è una foglia… questo implica che Il sottoalbero radicato in x ha 0 = 20-1 nodi interni NIL

19 Dimostrazione Lemma 2 Consideriamo un nodo x che ha altezza > 0,
esso avrà quindi due figli… Ciascuno dei due figli di x avrà altezza bh(x) oppure bh(x)-1. 6 8 2 6 2 8

20 Dimostrazione Lemma 2 Per l’ipotesi induttiva, poiché l’altezza dei figli di x è inferiore all’altezza di x possiamo affermare che ciascun figlio ha almeno 2bh(x)-1-1 nodi interni Quindi, il sottoalbero radicato in x ha almeno (2bh(x)-1-1) + (2bh(x)-1-1) + 1 nodi interni (2bh(x)-1-1) + (2bh(x)-1-1) + 1 = 2bh(x)-1 + 2bh(x)-1 – = 2*2bh(x)-1 – = 2bh(x) –1

21 Dimostrazione Lemma 1 Un albero Rosso-Nero con n nodi interni ha
altezza al più 2lg(n+1) Dim. Sia h l’altezza dell’albero considerato. La proprietà 3 degli alberi Rosso-Neri impone che almeno la metà dei nodi che separano la radice dalle foglie siano neri. Questo implica che l’altezza-nero dell’albero è perlomeno h/2.

22 Dimostrazione Lemma 1 Dall’applicazione del Lemma 2 possiamo affermare che il numero di nodi interni n è maggiore o uguale di 2h/2 –1 n 2h/2 –1 n h/2 log(n+1) h/2 h 2lg(n+1)

23 Alberi Rosso-Neri Il mantenimento delle proprietà caratterizzanti
gli alberi Rosso-Neri deve essere garantito in corrispondenza delle comuni operazioni che vanno a modificare la struttura dell’albero stesso Le operazioni di inserimento e cancellazione già viste per gli alberi binari di ricerca vengono mantenute ed integrate con una successiva operazione di ribilanciamento

24 Rotazioni Ai fini dell’implementazione delle procedure di ribilanciamento si rivela utile l’introduzione delle operazioni di left-rotation (rotazione sinistra) e right-rotation (rotazione destra) y x b a c Right-Rotate(T,y) Left-Rotate(T,x)

25 Rotazione sinistra b z y x a c

26 Left-Rotate Left-Rotate(T,x) Yright[x] right[x] left[y]
b z y x a c Left-Rotate(T,x) Yright[x] right[x] left[y] If left[y]  NIL then p[left[y]]  x p[y]p[x] If p[x] = NIL then root[T]  y else if x = left[p[x]] then left[p[x]]  y else right[p[x]]  y left[y]  x p[x]  y

27 Inserimento L’algoritmo di inserimento di un nodo x in un albero Rosso-Nero: Inserisce il nuovo nodo nell’albero secondo il tradizionale algoritmo di inserimento per alberi binari di ricerca Verifica se l’albero risultante viola le proprietà degli alberi Rosso-Neri In caso di violazione, si risale l’albero sino alla radice operando opportunamente rotazioni e cambiamenti di colore

28 Inserimento L’algoritmo di inserimento che presenteremo distingue tre possibili casi di intervento per ripristinare le proprietà degli alberi Rosso-Neri più altri tre simmetrici

29 RB-Insert(T,x) RB-Insert(T,x) Tree-Insert(T,x) color[x] RED
While x  root[T] and color[p[x]] = RED do if p[x] = left[p[p[x]]] then y  right[p[p[x]]] if color[y] = RED then color[p[x]] = BLACK color[y] = BLACK color[p[p[x]]] = RED x p[p[x]] …

30 RB-Insert(T,x) …. else if x = right[p[x]] then x  p[x]
Left-Rotate(T,x) color[p[x]] = BLACK color[p[p[x]]] = RED Right-Rotate(T,p[p[x]]) else Color[root[T]]  BLACK

31 Un esempio 1/3 Inseriamo nell’albero corrente l’elemento x = 24 65 42
73 32 51 NIL 26 NIL NIL NIL NIL NIL

32 Un esempio 2/3 Ci troviamo nel terzo caso della procedura di ribilanciamento 65 42 73 32 51 NIL p[p[x]] p[x] 26 NIL NIL NIL x 24 NIL NIL NIL

33 Un esempio 3/3 65 42 73 32 51 NIL 26 24 x

34 Cancellazione L’algoritmo di cancellazione di un nodo x da un albero Rosso-Nero opera secondo la stessa filosofia dell’algoritmo di inserimento: Cancella il nodo dall’albero secondo il tradizionale algoritmo di cancellazione per alberi binari di ricerca Verifica se l’albero risultante viola le proprietà degli alberi Rosso-Neri In caso di violazione, si risale l’albero sino alla radice operando opportunamente rotazioni e cambiamenti di colore

35 Cancellazione L’algoritmo di cancellazione prevede quattro possibili casi di intervento più altri quattro simmetrici La complessità di tale algoritmo è di ordine O(h)

36 Un esempio 65 26 73 24 42 NIL NIL x 32 51 NIL NIL NIL NIL NIL NIL