ITERAZIONE e RICORSIONE (eseguire uno stesso calcolo ripetutamente) ITERAZIONE: ripetere piu volte una sequenza di operazioni istruzioni: for, while, do.

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1 ITERAZIONE e RICORSIONE (eseguire uno stesso calcolo ripetutamente) ITERAZIONE: ripetere piu volte una sequenza di operazioni istruzioni: for, while, do while. Es. somma i primi n interi: ( ( ( (1)+ 2) +3)+…+ n) for (i=1, i<=n, i++) somma=somma +i

2 ITERAZIONE e RICORSIONE (eseguire uno stesso calcolo ripetutamente) ITERAZIONE: ripetere piu volte una sequenza di operazioni istruzioni: for, while, do while. Es. somma i primi n interi: ( ( ( (1)+ 2) +3)+…+ n) for (i=1, i<=n, i++) somma=somma +i Es. Cerca il minimo tra A[0],…,A[n-1] {min=A[0]; for (i=1, i<n, i++) if (A[i]<min) min=A[i]}

3 SORTING (Ordinamento) Ordinare una lista significa permutare gli elementi in modo da averli in ordine non decrescente da sinistra a destra lista iniziale (3,1,4,1,5,9,2,6,3)

4 SORTING (Ordinamento) Ordinare una lista significa permutare gli elementi in modo da averli in ordine non decrescente da sinistra a destra lista iniziale (3,1,4,1,5,9,2,6,3) lista ordinata (1,1,2,3,3,4,5,6,9) La lista ordinata contiene gli stessi elementi e conserva il numero di occorrenze di ogni valore

5 LISTA ORDINATA Date le variabili a e b, a b se e solo se il valore di a è minore di quello di b oppure a e b hanno lo stesso valore Una lista (a 0,a 1,…,a n-1 ) è ordinata (sorted) se a 0 a 1 … a n-1

6 LISTA ORDINATA Date le variabili a e b, a b sse il valore di a è minore di quello di b oppure a e b hanno lo stesso valore Una lista (a 0,a 1,…,a n-1 ) è ordinata (sorted) se a 0 a 1 … a n-1 SORTING (Ordinamento) Input: lista (a 0,a 1,…,a n-1 ) output: lista (b 0,b 1,…,b n-1 ) tale che 1. è una lista ordinata 2. è una permutazione della lista input, ogni elemento appare con la stessa molteplicità nelle due liste

7 SELECTION SORT (algoritmo iterativo) La lista da ordinare è contenuta in un array A di n interi. METODO. Iteriamo il seguente passo: larray A è diviso in 2 parti Parte iniziale ordinata | parte da ordinare cerchiamo lelemento minimo nella parte non ordinata e lo scambiamo con il primo della parte non ordinata

8 SELECTION SORT (algoritmo iterativo) La lista da ordinare è contenuta in un array A di n interi. METODO. Iteriamo il passo: larray A è diviso in 2 parti Parte iniziale ordinata | parte da ordinare cerchiamo lelemento minimo nella parte non ordinata e lo scambiamo con il primo della parte non ordinata I iterazione: A[0..n-1] non ordinato, cerca minimo di A[0..n-1] e scambialo con A[0]. Quindi: A[0] |A[1..n-1]

9 SELECTION SORT (algoritmo iterativo) La lista da ordinare è contenuta in un array A di n interi. METODO. Iteriamo il passo: larray A è diviso in 2 parti Parte iniziale ordinata | parte da ordinare cerchiamo lelemento minimo nella parte non ordinata e lo scambiamo con il primo della parte non ordinata I iterazione: A[0..n-1] non ordinato, cerca minimo di A[0..n-1] e scambialo con A[0]. Quindi: A[0] |A[1..n-1] II iterazione: A[0] ordinato, A[1..n-1] non ordinato, cerca minimo di A[1..n-1] e scambialo con A[1]. Quindi: A[0]A[1] A[2..n-1]

10 SELECTION SORT (algoritmo iterativo) Parte iniziale ordinata | parte da ordinare I iterazione: A[0..n-1] non ordinato, cerca minimo di A[0..n-1] e scambialo con A[0]. Quindi: A[0] |A[1..n-1] II iterazione: A[0] ordinato, A[1..n-1] non ordinato, cerca minimo di A[1..n-1] e scambialo con A[1]. Quindi: A[0]A[1] A[2..n-1] generica iterazione: A[0..i-1] ordinato, A[i..n-1] non ordinato, cerca minimo di A[i..n-1] e scambialo con A[i]. Quindi: A[0..i] A[i+1..n-1]

11 SELECTION SORT (algoritmo iterativo) Parte iniziale ordinata | parte finale da ordinare I iterazione: A[0..n-1] non ordinato, cerca minimo di A[0..n-1] e scambialo con A[0]. Quindi: A[0] |A[1..n-1] II iterazione: A[0] ordinato, A[1..n-1] non ordinato, cerca minimo di A[1..n-1] e scambialo con A[1]. Quindi: A[0]A[1] A[2..n-1] generica iterazione: A[0..i-1] ordinato, A[i..n-1] non ordinato, cerca minimo di A[i..n-1] e scambialo con A[i]. Quindi: A[0..i] A[i+1..n-1] Per i=n-2: A[0..n-2] A[n-1]. ARRAY ORDINATO

12 SELECTION SORT (algoritmo iterativo) (1) for (i=0,i<n-1,i++) { (2) small=i /* variabile small rappresenta la prima occorrenza del minimo di A[i..n-1] */ (3) for (j=i+1, j<n,j++) if (A[j]<A[small]) small=j; /* trova indice del minimo e mettilo in small */ (4) temp=A[small]; (5) A[small]=A[i]; (6) A[i]=temp; /* scambia valori di A[i] ed A[small] */ }

13 SELECTION SORT (algoritmo iterativo) (1) for (i=0,i<n-1,i++) { (2) small=i /* variabile small rappresenta la prima occorrenza del minimo di A[i..n-1] */ (3) for (j=i+1, j<n,j++) if (A[j]<A[small]) small=j; /* trova indice del minimo e mettilo in small */ (4) temp=A[small]; (5) A[small]=A[i]; (6) A[i]=temp; /* scambia valori di A[i] ed A[small] */ } Es. A=[5|7] i=0, small=0 j=1, A[1]>A[small] Scambia A[0] e A[0] Risultato A[5|7]

14 SELECTION SORT (algoritmo iterativo) (1) for (i=0,i<n-1,i++) { (2) small=i /* variabile small rappresenta la prima occorrenza del minimo di A[i..n-1] */ (3) for (j=i+1, j<n,j++) if (A[j]<A[small]) small=j; /* trova indice del minimo e mettilo in small */ (4) temp=A[small]; (5) A[small]=A[i]; (6) A[i]=temp; /* scambia valori di A[i] ed A[small] */ } Es. A=[5|7] i=0, small=0 j=1, A[1]>A[small] Scambia A[0] e A[0] Risultato A[5|7] Es. A=[7|5] i=0, small=0 j=1, A[1]<A[small], small=1 Scambia A[0] e A[1] Risultato A[5|7]

15 Es. A=[40|30|20|10] i=0, small=0 j=1, A[1]=30<A[small]=40, small=1 j=2, A[2]=20<A[small]=A[1]=30, small=2 j=3, A[3]=10<A[small]=A[2]=20, small=3 Scambia A[0] e A[3] Risultato Parziale A=[10|30|20|40]

16 Es. A=[40|30|20|10] i=0, small=0 j=1, A[1]=30<A[small]=40, small=1 j=2, A[2]=20<A[small]=A[1]=30, small=2 j=3, A[3]=10<A[small]=A[2]=20, small=3 Scambia A[0] e A[3] Risultato Parziale A=[10|30|20|40] i=1, small=1 j=2, A[2]=20<A[small]=A[1]=30, small=2 j=3, A[3]=40>A[small]=A[2]=20 Scambia A[1] e A[2] Risultato Parziale A=[10|20|30|40]

17 Es. A=[40|30|20|10] i=0, small=0 j=1, A[1]=30<A[small]=40, small=1 j=2, A[2]=20<A[small]=A[1]=30, small=2 j=3, A[3]=10<A[small]=A[2]=20, small=3 Scambia A[0] e A[3] Risultato Parziale A=[10|30|20|40] i=1, small=1 j=2, A[2]=20<A[small]=A[1]=30, small=2 j=3, A[3]=40>A[small]=A[2]=20 Scambia A[1] e A[2] Risultato Parziale A=[10|20|30|40] i=2, small=2 j=3, A[3]=40>A[small]=A[2]=30 Scambia A[2] e A[2] Risultato A=[10|20|30|40] =[10|20|30|40] ordinato

18 Esercizi. Simulare lesecuzione del selection sort per i seguenti array: A=[6|8|14|17|23] A=[17|23|14|6|8] A=[23|17|14|6|6]

19 ORDINE LESSICOGRAFICO Possiamo ordinare ogni volta che esiste una relazione di minore ( < ). Ordina lessicografico: Dato un alfabeto A con un ordine sulle lettere (es. a<b<c<…<z) ed una coppia di sequenze c 1 c 2 …c k, d 1 d 2 …d m risulta c 1 c 2 …c k < d 1 d 2 …d m 1) se k<m e c 1 =d 1,…,c k =d k 2) oppure c 1 =d 1,..,c i-1 =d i-1, c i <d i per qualche i. Es. 1) ala < alato Es. 2) alano < alati (n < t) albero < foglia (a<f)

20 SORTING ON KEYS A volte vogliamo ordinare usando solo una parte specifica dei valori (KEY). Se abbiamo delle strutture possiamo ordinare su di un solo campo Es. type struct studente { int matricola; chararray nome int voto} possiamo ordinare secondo uno dei 3 campi. Se ordiniamo per matricola allora dobbiamo confrontare i campi matricola.Nel SelectionSort, A è un array di strutture e si hanno i confronti A[j].matricola < A[small].matricola

21 INDUZIONE Data una affermazione S(n), vogliamo dimostrare che essa vale per ogni intero n>a. Es. S(n): risulta Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1.

22 INDUZIONE Vogliamo dimostrare che S(n) vale per ogni intero n>a.

23 INDUZIONE Una dimostrazione per induzione consiste di 2 fasi 1.BASE INDUTTIVA. Si dimostra che laffermazione è vera per il primo valore, cioè S(a) è vera. 2.PASSO INDUTTIVO. Assumiamo che S(n-1) è vera e dimostriamo che allora anche S(n) è vera.

24 INDUZIONE 1.BASE INDUTTIVA. S(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera. Es. S(n): Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1.

25 INDUZIONE 1.BASE INDUTTIVA. S(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera. Es. S(n): Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1. Base. S(1) è vera perché

26 INDUZIONE 1.BASE INDUTTIVA. S(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera. Es. S(n): Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1. Base. S(1) è vera perché Passo. Ipotesi induttiva S(n-1):

27 INDUZIONE 1.BASE INDUTTIVA. S(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera. Es. S(n): Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1. Base. S(1) è vera perché Passo. Ipotesi induttiva S(n-1): Si ha Quindi S(n) è vera.

28 INDUZIONE Esercizio. Dimostrare per induzione che la seguente affermazione S(n) è vera per ogni intero n>0. S(n):

29 VALIDITA delle dimostrazioni per INDUZIONE Dim. per induzione S(n) vera, ogni n>a Base: S(a) vera Passo induttivo Minimo controesempio. Supponiamo S(n) falsa per qualche n. Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa. Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a. Essendo b-1>a ed avendo scelto b come il minimo intero per cui laffermazione è falsa, risulta S(b-1) vera Per il Passo Induttivo, se S(b-1) è vera allora anche S(b) è vera. Abbiamo una contraddizione con lipotesi che S(b) è falsa. Quindi non può esistere un intero per cui laffermazione è falsa.

30 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI Dato un programma (o frammento di programma) si vuole mostrare che il risultato è quello desiderato.

31 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI Invariante di ciclo: proprietà vera ad ogni iterazione; al termine del ciclo fornisce il risultato desiderato.

32 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI (1)small=i; (2) for(j=i+1, j<n, j++) (3) if (A[j]<A[small]) small=j; small=i j=i+1 j<n Falso, ESCI vero (3) j++ Invariante di ciclo: proprietà vera ad ogni iterazione; al termine del ciclo fornisce il risultato desiderato. Si vuole mostrare che al termine del ciclo for la variabile small è tale che A[small] contiene il min A[i..n-1]

33 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI (1)small=i; (2) for(j=i+1, j<n, j++) (3) if (A[j]<A[small]) small=j; small=i j=i+1 j<n Falso, ESCI vero (3) j++ Invariante di ciclo: proprietà vera ad ogni iterazione; al termine del ciclo fornisce il risultato desiderato. Invariante di ciclo. S(k): Se si raggiunge il test j<n con valore di j pari a k allora A[small] contiene il valore minimo in A[i..k-1]. Si vuole mostrare che al termine del ciclo for la variabile small è tale che A[small] contiene il min A[i..n-1]

34 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI (1)small=i; (2) for(j=i+1, j<n, j++) (3) if (A[j]<A[small]) small=j; small=i j=i+1 j<n Falso, ESCI vero (3) j++ Invariante di ciclo: proprietà vera ad ogni iterazione; al termine del ciclo fornisce il risultato desiderato. Invariante di ciclo. S(k): Se si raggiunge il test j<n con valore di j pari a k,1<k<n, allora A[small] contiene il valore minimo in A[i..k-1]. Si vuole mostrare che al termine del ciclo for la variabile small è tale che A[small] contiene il min A[i..n-1] Si esce dal for con k=n. => S(n)

35 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI (1)small=i; (2) for(j=i+1, j<n, j++) (3) if (A[j]<A[small]) small=j; /* small: indice min A[i..n-1]*/ small=i j=i+1 j<n Falso vero (3) j++ Invariante di ciclo. S(k): Se si raggiunge il test j<n con valore di j pari a k, 1<k<n, allora A[small] contiene il min di A[i..k-1]. DIMOSTRAZIONE (per induzione su k). BASE. k=i+1. Abbiamo small=i; min A[i..k-1]=min A[i]=A[i]. A[small]=A[i]= min A[i..k-1]. Ok!

36 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI (1)small=i; (2) for(j=i+1, j<n, j++) (3) if (A[j]<A[small]) small=j; /* small: indice min A[i..n-1]*/ small=i j=i+1 j<n Falso vero (3) j++ Invariante di ciclo. S(k): Se si raggiunge il test j<n con valore di j pari a k, 1<k<n, allora A[small] contiene il min di A[i..k-1]. PASSO Induttivo. Sia S(k-1) vera. S(k-1): Se si raggiunge il test j<n con valore di j pari a k-1 allora A[small] contiene il minimo in A[i..k-2]. Eseguiamo il ciclo con j pari a k-1.

37 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI (1)small=i; (2) for(j=i+1, j<n, j++) (3) if (A[j]<A[small]) small=j; /* small: indice min A[i..n-1]*/ small=i j=i+1 j<n Falso vero (3) j++ Invariante di ciclo. S(k): Se si raggiunge il test j<n con valore di j pari a k, 1<k<n, allora A[small] contiene il min A[i..k-1]. PASSO Induttivo. Sia S(k-1) vera. Eseguiamo il ciclo con j pari a k-1. Distinguiamo 2 casi: 1)Se A[k-1] > A[small], small invariata A[small]=min A[i..k-2]=min A[i..k-1] ok!

38 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI (1)small=i; (2) for(j=i+1, j<n, j++) (3) if (A[j]<A[small]) small=j; /* small: indice min A[i..n-1]*/ small=i j=i+1 j<n Falso vero (3) j++ 2) Se A[k-1] < A[small], Per ipotesi ind. A[small]=min A[i..k-2] Quindi A[k-1]< min A[i..k-2] Otteniamo A[k-1]=min{A[k-1], min A[i..k-2] } = min A[i..k-1] Quando small è posto a k-1, A[small]=min A[i..k-1]. A questo punto j è incrementato a k e si ritorna al test con valore di j pari a k e A[small]=min A[i..k-1]. Quindi S(k) è vera. OK!

39 CORRETTEZZA DI PROGRAMMI (1)small=i; (2) for(j=i+1, j<n, j++) (3) if (A[j]<A[small]) small=j; small=i j=i+1 j<n Falso, ESCI vero (3) j++ Invariante di ciclo. S(k): Se si raggiunge il test j<n con valore di j pari a k, i+1<k<n, allora A[small] contiene il min. di A[i..k-1]. Correttezza ciclo: si esce dal ciclo quando si raggiunge il test j<n con valore di j pari a n. Linvariante S(n) per k=n ci dice che A[small] contiene il min. di A[i..n-1]. BASE + PASSO Ind. S(k) vera per ogni k=i+1,…, n.

40 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++){ (2) small=indice min A[i..n-1]; (3) scambia A[i] ed A[small]; } i=0 i<n-1 Falso vero (2), (3) i++

41 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++){ (2) small=indice min A[i..n-1]; (3) scambia A[i] ed A[small;} i=0 i<n-1 Falso vero (2), (3) i++ Si vuole mostrare la Correttezza del ciclo, cioè che quando si esce dal ciclo larray A[0..n-1] è ordinato.

42 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++){ (2) small=indice min A[i..n-1]; (3) scambia A[i] ed A[small;} i=0 i<n-1 Falso vero (2), (3) i++ Invariante di ciclo. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con valore di i pari a m, 0<m<n-1, allora 1)A[0..m-1] è ordinato 2)Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. Si vuole mostrare la Correttezza del ciclo, cioè che quando si esce dal ciclo larray A[0..n-1] è ordinato.

43 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++){ (2) small=indice min A[i..n-1]; (3) scambia A[i] ed A[small;} i=0 i<n-1 Falso vero (2), (3) i++ Invariante di ciclo. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con valore di i pari a m, 0<m<n-1, allora 1)A[0..m-1] è ordinato 2)Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. Si vuole mostrare la Correttezza del ciclo, cioè che quando si esce dal ciclo larray A[0..n-1] è ordinato.

44 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++) { (1) small=indice min A[i..n-1]; (2) scambia A[i] ed A[small;ù } Invariante. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con i pari a m, 0<m<n-1, 1) A[0..m-1] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. T(n-1) vera CORRETTEZZA DEL CICLO

45 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++) { (1) small=indice min A[i..n-1]; (2) scambia A[i] ed A[small;ù } Invariante. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con i pari a m, 0<m<n-1, 1) A[0..m-1] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. T(n-1) vera CORRETTEZZA DEL CICLO Quando si raggiunge il test con i pari a n-1 si esce dal ciclo.

46 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++) { (1) small=indice min A[i..n-1]; (2) scambia A[i] ed A[small;ù } Invariante. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con i pari a m, 0<m<n-1, 1) A[0..m-1] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. T(n-1) vera CORRETTEZZA DEL CICLO Quando si raggiunge il test con i pari a n-1 si esce dal ciclo. T(n-1) vera 1) A[0..n-2] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..n-2] è < A[n-1].

47 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++) { (1) small=indice min A[i..n-1]; (2) scambia A[i] ed A[small;ù } Invariante. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con i pari a m, 0<m<n-1, 1) A[0..m-1] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. T(n-1) vera CORRETTEZZA DEL CICLO Quando si raggiunge il test con i pari a n-1 si esce dal ciclo. T(n-1) vera 1) A[0..n-2] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..n-2] è < A[n-1]. Quindi A[0..n-1] è ordinato

48 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++) { (1) small=indice min A[i..n-1]; (2) scambia A[i] ed A[small;ù } Invariante. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con i pari a m, 0<m<n-1, 1) A[0..m-1] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. Mostriamo per induzione che T(m) vera per ogni m>0.

49 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++) { (1) small=indice min A[i..n-1]; (2) scambia A[i] ed A[small;ù } Invariante. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con i pari a m, 0<m<n-1, 1) A[0..m-1] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. BASE. m=0. Array A[0..m-1] è vuoto, niente da provare

50 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++) { (1) small=indice min A[i..n-1]; (2) scambia A[i] ed A[small]; } Invariante. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con i pari a m, 0<m<n-1, 1) A[0..m-1] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. PASSO. Ipotesi induttiva (i.i.):T(m) vera. Mostriamo T(m+1) vera.

51 CORRETTEZZA del SelectionSort (1)For (i=0,i<n-1,i++) { (2) small=indice min A[i..n-1]; (3) scambia A[i] ed A[small]; } Invariante. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con i pari a m, 0<m<n-1, 1) A[0..m-1] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. PASSO. Ipotesi induttiva (i.i.):T(m) vera. Mostriamo T(m+1) vera. Eseguiamo (1) e (2) con i pari a m. Abbiamo (2) A[small]=min A[m..n-1] (3) A[m]=min A[m..n-1]

52 CORRETTEZZA del SelectionSort For (i=0,i<n-1,i++) { (2) small=indice min A[i..n-1]; (3) scambia A[i] ed A[small]; } Invariante. T(m): Se si raggiunge il test i<n-1 con i pari a m, 0<m<n-1, 1) A[0..m-1] è ordinato 2) Ogni elemento di A[0..m-1] è < ogni elemento di A[m..n-1]. PASSO. Ipotesi induttiva (i.i.):T(m) vera. Mostriamo T(m+1) vera. Eseguiamo (2) e (3) con i pari a m. Abbiamo (2) A[small]=min A[m..n-1] (3) A[m]=min A[m..n-1] Usando 1) e 2) in i.i. A[0]<A[1]<…<A[m-1]<A[m] Quindi A[0..m-1] ordinato 1) vale per m. Inoltre elemento A[m+1..n-1] > elemento A[0..m-1] A[m] Quindi elemento in A[m+1..n-1] > elemento in A[0..m] 2) vale per m.

53 CORRETTEZZA CICLI WHILE Possiamo nuovamente provare la correttezza per induzione sul numero di volte per cui il ciclo è stato eseguito. Però può non esistere variabile che conta numero di esecuzioni. Inoltre bisogna anche provare che il ciclo termina.

54 CORRETTEZZA CICLI WHILE (1)i=1; (2)s=0; (3)while (i<n) { (4) s=s+i; (5) i=i+1; } Si vuole provare che al termine del ciclo la variabile s contiene la somma dei primi n interi, cioè 1+2+…+n. Possiamo nuovamente provare la correttezza per induzione sul numero di volte per cui il ciclo è stato eseguito. Però può non esistere variabile che conta numero di esecuzioni. Inoltre bisogna anche provare che il ciclo termina.

55 CORRETTEZZA CICLI WHILE (1)i=1; (2)s=0; (3)while (i<n) { (4) s=s+i; (5) i=i+1; } Terminazione. Ad ogni iterazione la variabile i è incrementata di 1, quindi raggiungerà il valore n+1 ed il ciclo termina.

56 CORRETTEZZA CICLI WHILE (1)i=1; (2)s=0; (3)while (i<n) { (4) s=s+i; (5) i=i+1; } Invariante di cilclo T(j):Se si raggiunge il test i<n con i pari a j allora il valore di s è pari alla somma dei primi j-1 interi.

57 CORRETTEZZA CICLI WHILE (1)i=1; (2)s=0; (3)while (i<n) { (4) s=s+i; (5) i=i+1; } Base. j=1. Quando j=1 si ha s=0. Quindi T(0) vera. Invariante di cilclo T(j):Se si raggiunge il test i<n con i pari a j allora il valore di s è pari alla somma dei primi j-1 interi.

58 CORRETTEZZA CICLI WHILE (1)i=1; (2)s=0; (3)while (i<n) { (4) s=s+i; (5) i=i+1; } Base. j=1. Quando j=1 si ha s=0. Quindi T(0) vera. Passo. Assumiamo per i.i. che T(j) vera. Proviamo T(j+1) vera. Se i vale n+1 si esce dal ciclo, altrimenti iteriamo il ciclo Eseguendo il ciclo con i pari a j, il valore di s è incrementato di j. Usando li.i. s vale (1+…+j-1)+j Invariante di cilclo T(j):Se si raggiunge il test i<n con i pari a j allora il valore di s è pari alla somma dei primi j-1 interi.

59 CORRETTEZZA CICLI WHILE (1)i=1; (2)s=0; (3)while (i<n) { (4) s=s+i; (5) i=i+1; } Base. j=1. Quando j=1 si ha s=0. Quindi T(0) vera. Passo. Assumiamo per i.i. che T(j) vera. Proviamo T(j+1) vera. Se i vale n+1 si esce dal ciclo, altrimenti iteriamo il ciclo Eseguendo il ciclo con i pari a j, il valore di s è incrementato di j. Usando li.i. s vale (1+…+j-1)+j Inoltre i viene incrementata a j+1. Quindi quando si arriva al test con i pari a j+1 s vale 1+…+j T(j+1) vera. Invariante di cilclo T(j):Se si raggiunge il test i<n con i pari a j allora il valore di s è pari alla somma dei primi j-1 interi.

60 CORRETTEZZA CICLI WHILE (1)i=1; (2)s=0; (3)while (i<n) { (4) s=s+i; (5) i=i+1; } Correttezza. Usciamo dal ciclo quando eseguiamo il test con i pari a n+1. T(n+1) valore di s è pari alla somma dei primi n interi. Invariante di cilclo T(j):Se si raggiunge il test i<n con i pari a j allora il valore di s è pari alla somma dei primi j-1 interi.